【数学阅读】刘徽和出入相补原理

一

数学家刘徽

刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。在中国数学史上作出了极大的贡献，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。他著名的“出入相补”原理解决了一个又一个的数学难题，系统的给出了各种图形面积公式的证明。被称为“中国数学史上的牛顿”。

二

“出入相补”原理的含义

“出入相补”（又称以盈补虚），即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。其内容有四：

1.一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积或体积维持不变——所有小图形面积或体积之和。

2.一个几何图形，可以任意旋转、倒置、移动、复制，面积或体积不变。

3.多个几何图形，可以任意拼合，总面积或总体积不变。

4.几何图形与其复制图形拼合，总面积或总体积加倍。

出入相补的本质是等积变换。

三

刘徽与“出入相补”原理

“出入相补”原理是中国数学中用于推证几何图形的面积或体积的基本原理。大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中，“方田章”就论述了平面图形面积的算法，书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步”，其中，“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽，也就是说，长方形面积=长×宽。还说：“圭田术曰，半广以乘正从。”圭田——三角形田地，广——底边，正从——高,就是说三角形面积=底×高÷2。

刘徽在《九章算术注》中提及了三角形面积的计算方法。

“半广者，以盈补虚，为直田也。”译文：取底边的一半，通过割补，使三角形变为长方形。

“亦可半正从以乘广。”——也可以取高的一半，通过割补变成长方形。

刘徽通过“出入相补之术”，也就是我们常说的割补法，不仅巧妙的将三角形面积问题转化为四边形问题，更给出了各种图形面积公式的证明。

四

“出入相补”原理的应用之小学生篇

人教版小学数学五年级上册第94页“你知道吗？”谈到了刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积。下图是学生运用这一原理计算图形面积的思维过程。

“出入相补”原理不仅可以求图形面积，还可以测量出山的高度和水的深度……把一个个陌生的或者复杂的图形，经过分割、移补，变成熟悉的简单的图形，把未知知识转化为已知知识，这种转化思想正是我们学习数学所必须具备的，亦乃人生哲学：以多补少，优劣互存，相辅相成。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生，为中国古典数学的发展做出了卓越的贡献，也为中华民族留下了宝贵的财富，他的思想智慧，跨越千年，依然熠熠生辉。

转自：“安阳市小学数学教学与研究”微信公众号

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