老张

黑格尔说，数学是上帝描述自然的符号。它是科学发展的桥梁，是人类解开愚昧、走向文明的使者。古典的数论问题散发着无穷的魅力，激励一代又一代数学家去探索，去触碰智慧的火花。

曾

思

欣

河南洛阳人，北大数学系86级。曾在纽约工作，现居美国加州，从事金融业。

Lao

老

Zhang

张

几年前有一个从国内来的“数学家诗人”来此间访问，本地的华人文学协会邀请他来座谈，讲什么“数学和诗的关系”，讲完还朗诵了他写的那些诗。朗诵完后还不尽兴，于是协会的秘书长大姐一挥手：“好吧，我带你们去见张益唐！”

我吃了一惊。这么一帮八竿子打不着的人，要去见张益唐？我终于明白，老张真成了一个明星，一个文化符号。数学家成为明星是罕见的事。我想起以前读书时八十年代名闻全国的陈景润和哥德巴赫猜想，那时我们数学系的系主任李忠老师对报告文学《哥德巴赫猜想》不以为然，认为数学家的形象不是这样的。但是，生米已经煮成熟饭，想改也来不及了，再说它也未必真的影响了多少形象。但老张不一样，现在已经是个能够“吸粉无数”的明星，大妈们见了老张要拉起手来跳广场舞，这可是陈景润从未有过的高度。社会显然进步了。

    老张在香港中文大学（深圳）2020年度入学典礼上

那么，老张到底干了什么呢？

老张的工作和所谓孪生素数猜想有关。素数是指正整数里没有非平凡因子的数，比如2，3，5，7，11，13，17，19，23等等。孪生素数是指相差为2的素数对，比如（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）等等。孪生素数猜想是说这样的素数对有无穷多个。这是个古典的未解决难题。顺便说一句，从表面看似乎这样的问题都很随意，随便一编就有一个，其实不是的。这样的古典问题就那么几个。在1912年的数学家大会上，解析数论的大家朗道在报告里列出了4个问题，他认为当时掌握的方法还难以接近，其中就包括孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。所以孪生素数猜想是有很强的历史意义的。

老张并没有证明孪生素数猜想，他证明的是存在无穷多的素数对，满足“它们的差都小于7千万”的条件。这个当然比孪生素数猜想弱一点，叫有限间隙素数猜想。

老张的论文摘要

老张是1955年生人，比我们都大不少。他是北大1978级的，本科毕业之后又在北大读的硕士，他的硕士导师是潘承彪教授。潘老师我们都很熟悉，教过我们级初等数论的。老张跟潘老师学了三年解析数论，这段经历非常重要。里尔克说“你读的书会进入你的血液，成为你生命的一部分”。老张大概是真的做到了。跟潘老师学的功夫，老张不但几十年没忘，还最终用它成功地证明了素数的有限间隙猜想。

1985年老张硕士毕业，来到美国印第安纳州的普渡大学读博士。老张选的导师姓莫，是个台湾来的数学家。莫老师是个坚定的左派，七十年代保钓运动里的积极分子。七十年代中期还一度到中国参加革命，自称到北大任教（一年后他又回来了）。八十年代中他被邀请到中国参与陈省身项目的学生考试，因而认识了丁校长。老张出国是丁校长写的推荐信，找莫老师当导师似乎是顺理成章的事。后来证明，这个决定恐怕不是明智的。

北大数学系1978级毕业合影

老张在普渡学的是代数几何，这个领域和其他相比，准备的时间要长一些，因为内容比较多。老张自己选的博士题目是所谓雅可比猜想，这是个大大的败招。这个雅可比猜想陈述很初等，好像不需要学什么就可以试着做，所以对初学的人有点吸引力，但事实证明这是个泥坑。我知道好几个人都是掉到这个坑里出不来。雅可比猜想为人所知，是因为八十年代初老一代的学者阿比扬卡写了篇文章，以此来说明有些问题看上去很初等，其实很困难。阿比扬卡是莫老师的导师，也在普渡。在他影响下不少人去做这个问题，每年都有新的证明被宣布，全是初等的，但是所有的证明都被发现有错。现在倾向认为这个猜想本身是错的。

这个作为例子也说明，不是所有的数学问题都是有意义的，数学作为一个学科有其自己发展的内在逻辑。老张作为初学者可以不知道，但他的导师应该知道，雅可比猜想作为学生的博士题目并不合适。但是莫老师显然没有管老张，也许他们之间的交流一直有点问题。到了1991年，老张终于拿到学位，但是他明白靠他写的论文，是不可能在学术界找到位置了。

普渡大学

从1991年毕业到1999年在新罕普谢尔大学找到一个教书职位，老张在社会上漂泊了八年。这期间他到底怎么过来的，只有他自己知道。从现在网上的资料看，他并没有去找一份正规的工作，而是到处打着短工，干过各种各样的工作。这段时间相信他的心情不会很好，意懒疏亲朋，根据他妹妹的回忆他和国内的家庭也失去了联系。人生天地间，忽如远行客。这段时间应该是他人生的低点，能熬过来真不容易。种种迹象显示老张是个对生活要求很低的人，但总是愿意在大学附近，这样有时间他还可以到学校的图书馆去读读书籍期刊，大概在那里他才能够得到心灵的平静。

古典经济学假设人都会理性地追求自身的经济利益，认为在这样的社会中经济效率会自然优化。这个假设显然是不对的，人要复杂得多。很多时候人非但没有理性，追求的也不是自身的最大利益。很多时候在不可抗拒的力量驱使下，人的行为甚至都是自我毁灭式的。老张给自己挖了这么深的一个坑，居然还能爬出来，而且是以这么一种王者归来的方式，不能不说是个奇迹。我常想起“Life of Pi”前言里的一句话：This story will make you believe in god。

1999年的时候，通过朋友帮忙，老张在新罕普谢尔大学找到一个职位，虽然不是学术界标准职位，但至少回到了学校，比以前不知好了多少。老张是个认真的老师，教课很受学生欢迎，这样他的生活慢慢安定了下来。老张又把目光转回了数学世界，其实他也从未离开过，他的着眼点回到了从前研究过的解析数论。

虽然素数这个概念和一些基本性质在古希腊就已经为人所知，但深入的研究到近代才有可能。比如说人们早就注意到，随着数的增大，素数出现的频率越来越稀疏，但如何定量地研究这个现象？这就是著名的素数分布问题。历史上第一个对此进行深入研究的是高斯。高斯认为数论是经验科学，为了研究素数的分布规律，他手算了五百万以内的素数表。通过这些经验研究，高斯提出了著名的素数定理（当时是猜想）：给定一个正整数N，那么在小于N的正整数中素数出现的密度，当N很大时渐进等于1/log(N)。高斯的学生黎曼为此写了一篇九页的文章，指出证明这个猜想的关键是需要理解所谓zeta函数的解析性质。黎曼的文章当然是划时代的贡献，代表着解析数论的诞生。几十年后法国数学家阿达马根据黎曼所指出的路线图，果然证明了素数定理。

高斯与黎曼

素数定理的一个推论是，如果pn是第n个素数，那么pn和pn+1的距离，当n很大时渐进于log(pn)。这就定量地解释了素数越大越稀疏这个现象。注意孪生素数是pn+1-pn=2， 所以孪生素数是渐进意义下的特殊的例外集。这也一定意义上解释了为什么孪生素数猜想很困难：我们需要能够说明虽然孪生素数是例外集，但也有无穷多个。

一个定量的办法是考虑商(pn+1-pn)/log(pn)，然后取n趋于无穷的下极限，这样得到一个0与1之间的数α。如果有限间隙素数猜想是对的话，则有α = 0。反过来如果知道了α = 0，能推出有限间隙素数猜想吗？这可一点也不显然。在老张的工作之前，没人能知道这两个距离有多远。α = 0这个猜想如上所述要比有限间隙素数猜想要弱。

素数螺旋

α = 0 这个猜想在2005年被三个人合作直接证明了，这三人是美国的Daniel Goldston, 土耳其的Cem Yildirim和匈牙利的Janos Pintz。这是个很大的突破，背后的故事也有些戏剧性。最早是1999年时Goldston和Yildirim同在伯克利的MSRI数学所访问，他们商定合作一些问题。到了2003年他们觉得取得了突破，可以证明α = 0，这在当时引起了很大的轰动，但他们的论文挂到网上后被发现有错。幸运的是很多人看了他们的文章，其中包括了陶哲轩和Ben Green。小陶和Green在他们著名的素数算术级数的工作里用到了Goldston-Yildirim的文章，肯定了Goldston和Yildirim的结果至少有很大一部分是对的，这给了这俩人很大的信心。他们意识到最终有些组合上的困难，于是找了这方面的专家Pintz合作，终于在2005年证明了α = 0。

GPY的结果出来后很多人认为有限间隙素数猜想已经很接近了，这引发了很多人的努力，甚至为此开了专门会议。但到了2008年，学界都趋于相信不会这么简单。也许距离有限间隙素数猜想还像以前那么遥远。这也是正常的，很多看上去很接近的猜想其实很遥远，数学史上这样的例子多了。

美国国家数学科学研究所（MSRI）

这时轮到老张出手了。

老张应该是2010年才注意到了GPY的结果，和其他人一样老张意识到有限间隙素数猜想可能很接近了。但老张没有随大流，而是独立思考了三年，终于在2013年取得突破，发现GPY的方法还可以再改进一下，再结合其他的一些办法，就可以证明这个猜想了。老张的灵感来临一刻据称是在一个朋友家里，在后院看梅花鹿的时候。等他把论文寄到权威数学期刊《数学年鉴》，主编Iwaniec是解析数论的大家，他一下就看懂了。所以老张的文章几周后就得以被接受发表，大概是创了《数学年鉴》发表文章速度的记录。

数学年鉴

表面上看老张好像只是解决了一个技术问题，其实不是的。科学上的进步往往比想象的要困难，虽然历史上很多大的突破现在都可以写进教科书，学生都可以学，但是当时知道和不知道的距离差得远去了。为什么有人能成功有人不成功？事后来看，很多人都是走到了突破的边缘而迈不过最后一步，这其中的困难很难解释，也许很大程度是心理性的。

从任何角度来看老张的结果都是革命性的，怎么赞誉都不过分。老张的工作自然引起了很多这方面的工作，一个关注点是老张的定理里的上界七千万太大了，如何把它降下来？为此陶哲轩和英国的Gower等人主持了Polymath8项目，号召数学家们公开合作来降低这个上界，引来了很多年轻人的参与。目前的记录是246。在这轮解析数论的热潮里有个英国的小伙子James Maynard做得很出色，他大概率今年会得菲尔兹奖。

    任凭生活再怎么辛苦，老张也没有放弃学习

我记得当年潘老师给我们上课时，有位同学问他“什么是当代数学的主流？”潘老师很不高兴，说你们现在小小年纪关心什么主流不主流，“难道不是主流就不学么？”哈哈其实主流不主流，一个领域做的人多了就是主流了。老张的工作真的让解析数论现在变成了主流，如果今天再有人去问潘老师，他是不是会说“我教的东西就是主流”？

潘老师应该很高兴。

    张益唐在珠海演讲“我对数学的追求”

    演唱：The Beatles

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