高中数学的课型大致可分为新授课、习题课与复习课。实际上，这些课型中涉及到的典例讲解、资料处理、试卷讲评、错题点评甚至概念域与概念系、命题域与命题系的建构等本质都是在进行解题教学。本文从课型意义上对习题课解题教学进行探究，文中的习题课教学与解题教学为等价概念。
一
习题课解题教学中存在的问题
在听课调研活动中，笔者发现，老师们在进行习题课教学时，往往存在以下问题：经常依题号顺序处理习题，不衡量习题价值，目标意识与重难点意识不强；不能深刻揭示题目的数学本质，建构概念与命题的意识能力不强，浮在表层就题论题；不关注习题之间的内在联系，缺乏归类整合及联系拓展，重复性碎片化讲解；不能运用数学思想引导思维发展，思维生成不够自然、深刻、灵活，仍淹留在“旧双基”教学，缺乏实施“新双基（基本思想、基本活动经验）”的强烈意识与能力素养；对“学”的关注力度不够，学生思维参与度低，自主探究程度不高，不能引导学生暴露最近思维发展区，教对学的附着力与针对性不强，点评时教师对学生出现的问题重视不够，不能一针见血地揭示出学生错误的本质，以学定教的意识与能力有待加强。
这些问题的存在，表明老师们对习题课解题教学的思维认知规律、本质、价值立意及教学策略等还缺乏深入研究。
二
数学解题认知模式
习题课教学必须遵循数学问题解决的认知模式。喻平在《数学学习心理的CPFS结构理论与实践》中给出了如下所示的数学解题认知模式图，这与波利亚的“怎样解题表”有异曲同工之妙。
图 数学解题认知模式
从中可以看出，数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程。解题图式包括个体已有的与新问题有关的知识基础、解题策略和解题经验。知识基础是指解题者内化的各种数学模式及CPFS结构（即概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构）。解题策略是指为了有效地达到解题目标，解题者采用的解题思路或方针。解题的认知过程是在元认知调控下，解题者对问题进行表征，对问题进行模式识别，然后将解题图式提取、迁移，进而达到目标状态的信息加工行为。
解决数学问题分为4个阶段：理解问题、选择算子、应用算子、结果评价。与此对应，其认知过程分别为：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。
在数学问题解决的第一阶段，即理解问题阶段，解题者需要逐字逐句读懂描述问题的每一个句子，采用图、表、式等多种加工方式对外部信息进行观察、试验、联想、类比、归纳、猜想、直觉等合情推理，及分析、综合、推理、论证等演绎推理，将外部信息转化为内部信息，用自己的内部语言陈述问题的初始状态和目标状态，区分问题中的有关信息和无关信息，挖掘隐含信息，并初步识别问题的类型。在这一阶段，需要知识基础作为支持，同时受元认知监控的作用。
在第二阶段，解题者在解题监控作用下，将外部信息与长时记忆中的模式作比较，对外部进行模式识别，并与内部模式进行匹配，将该问题归类，拟定解题方案，此时，解题者需要知识基础与解题策略作为支持。所谓模式，是指在数学问题解决中，具有共同结构的一类问题或具有相同解法的一类问题，数学中的各种基本概念、数学理论体系、各种定理、法则、公式、算法、命题和方法等，也都是数学模式。
在第三阶段，解题者需要调动与外部信息相匹配的模式。这是一个模式的迁移过程，包括知识、解题记忆、解题方法及解题技能的迁移。有时可能会用到多种模式，或是多种模式的组合，甚至还可能改造原来的模式以适应解题的需要，即模式的顺应与同化，通过原有认知结构去同化外部信息，通过外部信息去顺应和改组原有认知结构。这个认知过程受到知识基础、解题策略和解题监控的交互作用。
在第四阶段，解题者要对解题结果进行评判和检验，同时反思解题过程，对解题的思路方法进行概括提炼建构模式、变式拓展举一反三建立体系等。此时主要受解题监控的作用，即解题者为了达到解题目标，在解题过程中将解题活动作为意识对象，对其进行积极主动地计划、监视、调节和控制的过程。解题监控属于元认知范畴。
上述4个解题阶段，都需要以工作记忆作为中介，即外部信息的内化与内部信息（长时记忆）的提取，两者都需要在工作记忆中加工。需要说明的是，解题监控不是某一阶段的认知成分，而是贯穿于整个解题认知过程的始终。
三
数学解题教学的本质
3.1数学解题教学能加深对旧知的深刻理解与牢固掌握
通过问题解决，学生可以巩固基础知识、熟练基本技能、深化数学理解。前两点即“旧双基”，我们做得相对比较好，而在“深化数学理解”，尤其是挖掘概念、命题、基本思想、基本活动经验等之间的内在联系，并建立体系结构方面，我们做得还不够。Skemp（1976）认为数学理解有两种模式：工具性理解和关系性理解。工具性理解是指语义性理解和程序性理解（如步骤和操作程序是什么），关系性理解是指对概念及其等价概念、命题及其等价命题之间结构的认识，对研究过程中相同思想与类似经验（即新双基）的迁移运用等。我们在“关系性理解”上需要加强着力。
3.2解题活动的核心是识别、迁移、完善和建构数学模型，从中提高旧知迁移能力和新知获取能力，形成解题能力
解决问题也是一个学习的过程。尤其是复杂问题的解决，可以帮助我们挖掘数学内隐的或深层的联系，完善认知结构，可以促进思想运用和能力提升，可以提炼建构新的解题模式，可以总结积累新的认知策略，在不断识别、迁移、完善和建构数学模型的基础上，提高旧知迁移能力和新知获取能力，形成解题能力，最终达成能力素养立意的解题教学。
3.3 解题学习是学生主动建构的学习过程
在教学中，不少老师发现学生“一听就懂，一做就错”“讲了N遍，还是不会”，这种现象的根源就在于教师忽视了学生的主动建构。解题思维本身具有发散性，解题者思维又存在个性化差异，想靠死答案进行人为的告知与灌输，几乎是“削足适履”“守株待兔”的懒惰愚蠢行为。能力是不可教的，能力只能是个体在亲身经历和活动实践中，通过不断地尝试、碰壁、调整、思悟才能形成。教代替不了学，只有在充分促进学、展示学、暴露学、纠正学、优化学的基础上，敏锐捕捉学生的最近思维发展区，尊重思维的自然发展规律，以学定教，以教导学，以教优学，才能帮助学生逐步形成解题能力。
综上，解题教学的本质就是学生在主动建构中不断循环进行模式识别、模式迁移与模式建构的一个学习过程。
四
习题课解题教学的价值立意
4.1强化对数学知识的关系性理解，建构高质量的CPFS结构（即概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构）
“教学就是教关系（卢臻）”，要深刻认识、充分挖掘并积极建构概念及其等价概念、命题及其等价命题所形成的知识结构体系，打通知识脉络，搭建方法系统，为思维的延伸转换打下结构性良好的知识基础。
4.2遵循认知规律，切实在解题教学的四个环节上着力，扎实培养学生的解题能力
坚持认真、完整做好“问题表征（审题弄清问题）”“模式识别（拟定计划）”“解题迁移（实现计划）”“解题监控（回顾）”四个环节，科学实施解题教学，在关键解题行为上着力，不断提高学生模式识别、模式迁移与模式建构能力，也不断提高教师自身的解题教学研究和实施能力。
4.3要深刻认识教与学的关系，落实“以学为中心”，丰富优化活动设计
能力不可“教”，能力是实践的结果，是在自主探究、亲身体验的经历中获得的，数学教学就是数学活动的教学。教师的任何措施都不过是外因。外因是条件，内因是根据，学生才是主体，要充分发挥学生的作用。没有能力发展思考的教学，是不需要学生主体作用的教学。要设身处地站在学生立场，坚持零起点思维教学，坚持先学后教、以学定教、以学评教。
五
习题课解题教学的任务与策略
5.1深入备课，归类梳理，建立详略架构，明确重难点，制定学习目标
逐题研究，抓住数学本质，提炼每题所蕴含的考点、题型、方法（思想）；联系对比各题，按题型进行归类，从每一类中精选出最具有价值的代表性习题作为母题，供精讲，其余同类题随属，供练习与评价用。
结合学情分析，判定每类题型的价值与地位，明确重难点题型。
对于重难点题型，先讲精讲，合理安排师生分工，统筹设计教与学双边活动。
在以上基础上，制定学习目标，分配学习时间。学习目标按新教材主编章建跃的要求，格式如下：
通过X（数学学习活动），会Y（基础知识、基本技能），发展Z（基本思想、基本活动经验、能力素养）
上述目标叙写，也体现了“教学评一致性”理念。
5.2要特别重视审题，引导学生精准识别模式，深度建构模式相关要素，做到“考点清”“题型清”“方法（思想）清”，为模式迁移做好准备
审题是解题活动的第一步，至关重要。一定要养成带领学生逐字逐句读题的习惯，“读一句、译一句、标一句”，将文字语言逐字逐句转化成图形语言或符号语言，连同生成的、联想到或隐含的相关内容，综合标注在同一个图形或同一个思维回路中，内化成个人信息。
在审题过程中，不断回忆搜索相关题型，识别与旧知的联系，引导和帮助学生深度建构题型相关要素，做到“考点清”“题型清” “方法（思想）清”。“考点清”就是要明确揭示相关的概念及其等价概念、命题及其等价命题，“题型清”就是要精准识别相关类型问题的起点与终点特征，“方法（思想）清”就是要明确相关方法体系及每种方法的关键思维节点，为知识与方法的迁移做好准备。
值得强调一点的是，上述“三清”要充分使用符号语言或图形语言进行抽象概括和提炼总结，养成要点化、口诀化、符号化或图形化，最终模型化的教学习惯，越精炼越好，尽可能地减少文字语言尤其是口头语言的使用，并且要板书到黑板上，监督学生记下来，为后续思维的展开与表达做好对接。如导数部分切线问题，考点可提炼总结为“设切点，列三式”，又如考点“两个非零向量夹角为钝角的充要条件”可提炼为
等等，让考点、题型、方法等成果化明确落地，才能切实让学生做到概念清、题型清、方法思路清，从而夯实基础。
5.3让思维自然发散与收敛，让学生充分发挥主体性，在这两者的精彩交汇中，反复进行模式的同化与顺应，达成解题迁移，提高解题能力素养
解题教学中落实核心素养的关键点就在于“从数学知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的合理性上加强思考”， 在科学把握学生的思维规律和认知特点的基础上，自然、深刻、灵活的演绎数学思维（思想），实现两者的共鸣，用数学味和数学美把学生深深地吸引住。实际上，不少老师讲不清楚思维自然的发生发展过程，没有个人的体会和发现，没有个人的主张和观点，有老师甚至是在顺答案，学生最多“知其然”，而“不知其所以然”，更遑论“何由以知其所以然”。
要讲清思维，真正的捷径是“老师必须真正下水”“求真求实”。首先要坚决放开答案，深深地钻进题里去，依据波利亚《怎样解题表》的具体要求，独立思索，反复研究，追求一题多解，多题一解，一题多变，才能引来活水；其次，抱着一颗谦虚向上的心，主动向同事请教，弥补个人智慧的不足，对个人思维进行优化升华；最后，怀着一颗对学生的敬畏之心，坚信“三个臭皮匠顶过诸葛亮”，虚心向学生学习，充分捕捉学生的思维火花，放大学生的亮点，激发学生的兴趣与成就感，满足学生最深层次的学习动机，同时，要慎重对待学生的活动成果，明示错误、揭示错因、示范正解，对成果进行纠正、补充、优化、提炼等，真正在教学相长上做文章。只要求实、求真、求细去做，方法就在做中，成功就在做中，靠谁都不如靠己。
5.4解题后必须有高质量的反思回顾，通过高质量的模式建构触类旁通，通过必要的变式拓展举一反三，画龙点睛形成解题迁移能力
解完题，只是“行百里者半九十”，我们还必须进行模式建构，将解题活动要点化、成果化，要建构出融“考点”“题型”“方法（思想）”“步骤”“策略”等于一体的思维导图，这才是解题更重要的意义所在，解题本质上是一种学习，是对规律的研究，要达到触类旁通。
这一步至关重要，但老师们却经常缺失。缺失的原因是什么呢？因为这一步需要个性化建构，需要将题目中最本质的却又是隐性的东西揭示出来，而本质本来就不易把握，隐性的更难挖掘，这种需要个性主张、抽象概括的建构能力老师们比较欠缺。但学生的数学悟性与思维的升华就在这一步，我们不能回避。
按照波利亚《怎样解题表》中“回顾”环节的要求，还要围绕如下问题进行反思回顾：
问题1：你能否检验这个问题？
问题2：你能否用尽可能多的方法得出这个结论？
问题3：你能把这个方法用于其他问题吗？
问题4：从这个问题还能得出其他结论吗？
问题5：本题的结论可以进行推广吗？
问题6：若把已知条件适当变更，对解题方法和结论有何影响？
从这些问题可知，解题后要进行举一反三，如通过特殊化等手段进行检验，要一题多解，多题一解，一题多变等，使得更多的模式之间产生联系与建立体系，形成更为四通八达的思维网络，建构更为丰富深刻的概念域与概念系、命题域与命题系。
5.5要切实全面落实解题教学成果，还必须进行巩固反馈矫正训练
只有通过学生再次甚至多次独立练习，才能保证和检验解题教学成果是否被学生内化落地。“练占半壁江山”“练是四两拨千斤”，绝非虚言。
老师要根据所建构的题型模式及学情分析，进行针对性选题，适当变化控制梯度与难度，采用方便高效的活页方式及时收评，巩固矫正，夯实成果。
六
习题课教案书写建议
习题课教案不应只呈现习题及其解法这些具体的表层内容，还要突出呈现以下内容：目标；重难点；题型归类及模式建构，用符号化语言或精炼方字提炼“考点”“题型”“方法（思想）”“步骤”“策略”等能揭示数学本质的东西；变式拓展；教学具体实施的策略方法及师生分工、时间分配等；作业设计；教学反思等。
转自：“索城教科研”微信公众号
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