红梅俏梳妆，冬至渐渐凉。“教而不研则浅，研而不教则空。”为了提高教师专业学科素养，提升教育教学质量，全面提高“双减”背景下课堂教学效果，促进教师专业化成长，打造美好课堂，2022年12月21日，江岸区数学教研室围绕“二次函数压轴题”这一主题，展开了一场精彩的教学研讨课。本次教研活动以线上形式进行，由江岸区数学教研员岳俊老师主持，武汉七一华源中学九年级数学组主讲，江岸区各学校数学教师齐聚云端，共同交流学习。
“教”显风格
日日行，不怕千万里；时时学，不怕千万卷。武汉七一（华源）中学九年级数学组一直秉持“精进教学、踏实做事”的理念。每周的教研活动内容丰富，干货满满，坚持先研后教，教后交流，针对具体的教学内容进行更新总结。同时，老师们照顾到不同学生的需要，从基础过关、重难点整理、压轴整理三个方面各有侧重，将“以人为本的生态教育”落到实处。
“研”出智慧
每次研究课结束后，老师们评课一触即发，热烈讨论，畅所欲言。成功的经验、实用的策略、巧妙的方法，大家都收获颇丰。
本次评课环节记录如下：
环节一 七一华源九年级数学组组长发言
马仕雄老师对本次的教研活动进行开头点题，依据近五年的元调真题24题的基本情况进行考点分析，结合元调的整体特点进行备考建议，希望老师们能够带领学生一起进行计算，不要忽略计算过程，反复强调了计算的重要性，重视常规常法教学和板书，化整为零，经常练习。
环节二 数学组代表发言
首先是江明老师总结的24题常见题型，主要有以下七类：
1、二次函数与线段旋转相结合：主要利用全等及旋转的基本性质，将线段长度问题转变成坐标问题，再利用二次函数构建方程进而解出所求的量；
2、二次函数与等腰三角形结合：要利用角度关系转换成边相等，再利用勾股定理及两点间距离公式等构建一元二次方程，对于腰和底不明确的时候要分类讨论。由于此类问题涉及的计算量比较大，因此要加强对计算的训练；
3、二次函数与特殊图形相结合：二次函数与正方形、平行四边形、等腰直角三角形等相结合时，要学会利用各种几何图形的基本性质进行解决问题，对于图形位置或形状不确定时，要注意分类讨论。因此在平常教学过程中培养学生选择合适的分类标准，做到不重不漏；
4、二次函数中的平移问题：压轴题中的平移往往是带参数的平移，因此要培养学生学会带参数的整式运算能力，并能够用参数表示二次函数的基本性质，如对称轴、顶点坐标等；
5、二次函数中的线段比例问题：此类问题往往与相似三角形结合，要利用相似比将线段问题变成点坐标问题，从而求解出相关的量；
6、二次函数中的焦点准线问题：初中阶段涉及到的焦点准线问题，本质上还是带参数的计算问题，因此在教学过程中要引导学生习惯这类计算，并让学生能够有充分的时间训练计算；7.二次函数与新定义问题：此类题目主要考察学生对题目的理解能力，因此要注重培养学生认真读题，审题，将题中的定义转换成所学的数学模型。作为二次函数压轴题型，主要还是考察学生分析问题，解决问题的能力。因此要注重培养学生的常规数学思想及能力，如数形结合，分类讨论，含参运算等。
其次是吉泉老师分享的二次函数与圆专题，主要考查二次函数的解析式、图像与性质、圆的定义、垂径定理、直线与圆的位置关系以及“定弦定角”类的隐圆问题。
对于学生的计算能力要求较高，要求学生在解题的过程中体会数形结合的数学思想。对于与圆的定义结合，只需找到等量关系，通过勾股定理列方程，计算中可利用换元的思想将次。对于圆与直线的位置关系（相切），则要利用切线的性质定理和判定定理解题。
对于圆与垂径定理的结合，圆心往往会在抛物线的对称轴上，或者圆会经过抛物线对称轴上的一个定点，设坐标参数的时候可以用两个未知数，这个时候往往需要将抛物线配成顶点式，消整体的平方项，计算的时候遇到多平方的时候多考虑平方差公式达到简化运算的目的。
对于“定弦定角”类的隐圆问题，则需要发现高次方程中的定根（圆与抛物线交点的横坐标），再利用多项式的除法达到将次的目的。
紧接着袁野老师分享的二次函数与定线、定点、定值问题：
1.二次函数与定线：这类问题常通过引入参数，然后利用参数结合题目已知的数量或位置关系，来表示动点的横、纵坐标；若有某一坐标为常数则轨迹为平行于坐标轴直线；若横纵坐标都含参，则可通过消除参数，找到动点的横纵坐标关系，即可得该轨迹；
2.二次函数与定点问题：此类问题，通常先设直线解析式，然后将题中特殊的位置关系如平行、垂直、或特殊的数量关系等等，转化为线段关系、进而变化为坐标关系，适当结合韦达定理，找到直线参数k与b的关系，即用一个参数表示直线解析式，最后根据过定点即与参数无关，求解定点坐标；难点在，一方面在与题干条件的转化，另外一个就在于整式的灵活运算；
3.二次函数与定值问题：此类问题是
考察频率最高，也是变化形式较为多样的类型，常见的就有线段和、差；线段积、比；线段复合关系，线段定长等等；这类问题，重点还是在于如何选择合适的方式表示线段，将题中的线段问题利用坐标和差或勾股定理，转化为坐标和差关系，进而结合韦达定理来整体化简和求解。二次函数定线、定点、定值问题，除了思路的讲解，学生最大的困难还是在于计算的突破上，所以就需要我们平时更加注重在含参整式运算的训练，如处理高次含参整式中过程要多多注意观察，特别是整体的因式分解，不要一味散开，尽量避免出现高次，对于双勾股表示线段时，可以考虑通过移项来转化为平方差公式，因式分解降次；适时选择换元法降次也是不错的选择。
最后，柳熙老师以“抛物线的几何变换”为背景给我们带来了元调中创新题的备考分享。着眼于基本方法（二倍角的处理，垂直平分线的求法，化斜为直等）,基本题型的讲解，同时又强调了重要的数学思想——化归。例如：将抛物线图象的对称转换为直线的对称，抛物线图象的旋转转换为坐标系的旋转等。这些转化都很好的说明了如何将陌生问题转换为熟悉的数学问题。同时也体现了常规常法在教学中的重要性。也侧面反映了：学生只有平时的基本功打得好，解决这些创新问题才能得心应手。
环节三 评课和指导
江岸区数学教研员岳俊老师首先表达了对所有老师的问候，“祝愿生病的老师和学生们早日康复！祝愿所有的老师及其家人身体健康！”然后对四位老师的分享进行了高度肯定，体现出四位老师对24题有着深入的研究，让大家觉得干货满满！以下是岳教研员对今天内容的几点想法：
第一，常规题型，渗透常规方法和核心思想。主要表现在以下四个方面：第一个方面是总结方法。方法是最基础的，转角转边，斜化直转化为距离公式，联立方程求解。第二个方面是培养能力：数形结合，设参，方程组的化简等能力。第三个方面是建立思想：消元与整体代换，转化和化归思想，分类讨论思想。第四个方面是素养。24题考查学生的逻辑推理能力、运算能力、几何应用能力，还有心理素质，对课标挖掘得最深。因此在这个背景下，我们在课堂上怎样教学生，让学生跳起来、够得着，是老师们教学中需要思考的。
第二，抛物线与圆综合的题，学生对化简要有信心，基本的运算规律是：在解析几何这一块，方程的处理只限于二次，如果出现三次，要么是算法问题，要么是计算错误，如果出现四次，要么能消掉，要么会出现双二次。表扬吉泉老师在讲解过程中呈现的经典计算方法。
第三，定点定值问题。需要提前建立解题的思维导图，让解题过程程序化、清晰化。表扬袁野老师讲得非常精彩。定值定点问题难在，首先涉及多个参数，所以老师在板书前要先画出思维导图，说清楚有几个参数，能利用哪些关系能建立参数关系式，从而来消元。岳老师结合历年第24题第三问的参考答案，说明了设元技巧和合理处理方程的重要性，能使解题步骤简洁。老师在24题讲解过程中，要让学生带着目标去计算，要算给学生看，让学生跟着一起算，好好体会。
第四，抛物线的几何变换。柳熙老师的选题非常精彩！背景创新去寻找本质方法，化斜为直、改斜归正。主要是对抛物线的对称轴是斜着的情况下，通过对称，将对称轴变为竖直的情况。
数学是思维的体操，丰富而美丽；教研是诗意的修行，坚定而充实。“君子之学必日新，日新者日进也。不日新者必日退，未有不进而不退者。”在课堂教学研究的道路上，我们不会止步于当前，而是继续前行，不断进步！
转自：“武汉市江岸区中学教研室订阅号”微信公众号
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