1、结构化教学的内涵
所谓结构，就是指事物的联系，它表现为组织形式和构成秩序。
所谓数学结构化教学，是指根据中学数学学科知识结构化的特点，从学生原有认知结构出发，遵循数学知识发生发展规律和学生数学认知发展规律，在有关课程、教学、学习等理论的指导下，结构化地推进教学，引导学生充分感受和把握数学的知识结构和方法结构，学生主动构建数学认知结构的过程。
结构化教学的实质就是以大概念教学为数学知识学习指导方向，从数学知识结构和学生的数学认知结构出发设计和组织教学，以完善和发展学生原有数学认知结构为目的。结构化教学不是一个简单的教学方法，而是体现了一种教育思想。其最本质的特点是突出了“结构”，即知识结构、教学结构和认知结构。结构化教学要解决的关键问题是怎样用“知识结构”通过合理的“教学结构”构建和发展学生的“认知结构”，实现数学教学的最终目标。
案例9 （结构）比如，在初中数学教材中，从等角定理（如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补)出发，通过对一个角的一边或两边的平移，与另一个角的边的重合，不难发现这样一个事实，即分散在课本里的6条定义、定理（角相等定义、平角定义、对顶角相等，两直线平行则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)，竟全包括在一个等角定理内.这1个定理是那6条定义、定理的联合推广，那6条定义、定理则是这1个定理的特例.因为它们原本是一个系统。
2、结构化教学的层次
第一，了解数学的本体（自身）以及相关知识结构。
知识结构不仅包含课程标准与课本数学知识、思想和方法及其相互联系，也包含数学核心素养，还包括数学史在内的知识形成和发展的过程，是数学本质结构的逻辑呈现，是确定教学目标和教学内容的根本。
美国教育家布鲁纳也认为不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。所谓学科基本结构，是指该学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，是指知识的整体性和事物的普逼联系，而非孤立的事实本身和零碎的知识结论。教师对知识结构的把握，是教师教好数学的重要基础，反映了其对数学理解的水平。
第二，以结构化的方式教给学生数学知识。
教学结构是教师为完成教学任务，达成教学目标而设计的课程教学过程，包括教学策略、资源和技术的选用、教学程序的预设、课堂教学的实施以及教学效果的评价等，根据不同教学内容的知识结构、不同学生的认知结构，需要采用不同的教学结构，是教学过程规划和安排的重要组成部分，是教学实施的重要保障，反映了教师对教学理解的水平。
根据教学内容的结构，呈现给学生的内容要进行设计，不能“就事论事”，仅考虑到这一“点”知识，这样可能会“见木不见林”。在对教材进行分析时，要树立“整体观”，要从教学系统的“宏观视野”的显现状况与课堂运行的“微型框架”两方面进行结构化设计。现代学习理论的研究表明，组织良好的知识是围绕核心概念或“大概念”、“大观点”组织的。在进行教学设计时，要用大概念来统领教学。要从整体上对某一单元或某一主题的教学进行设计与规划，突出同一主题下不同内容之间的关联。同时要清楚每一课时在整个知识体系中所处的位置，知道它们各自的地位与作用，并在教学中做出相应区分。
第三，使学生认知形成结构式的思维。
认知结构包括学生原有认知水平和经过教学活动后形成的新的认知水平，确定了教学起点和期望达成的效果，具有特殊性、能动性与发展性。认知结构的分析需要认知诊断技术来进行预测和后测，以评价认知结构的不同状态。布鲁纳认为，学科基本结构应该成为教学过程的核心，因为掌握了学科知识的基本结构，就能把握住知识体系的核心和关键，就可以从宏观上理解学科知识，避免“只见树木不见森林”。知识的学习就是学习事物是怎样相互关联的，在学生的头脑中形成各学科的知识结构。教师对学生的认知结构的诊断和评价既是对教学及调控教学的需要，也是衡量教学目标是否达成的重要依据，反映了教师对学生理解的程度。
结构化教学关注的以上三点分别是基础、主体和目的。通过教学设计、巧妙渗透，辅之以回顾、反思和必要的提炼、总结，使上述结构化的认识逐步内化为学生的认知结构，成为他们探索新知识、解决新问题的有力工具。以此循环往复、不断提升，最终帮助学生形成结构化的知识和数学素养，更好地实现数学学科独特的育人价值。
案例10 （结构）“三角形”系列知识点教学
从“三角形”这个上位的数学概念出发，教师要引导学生建构“不等边三角形”“等腰三角形”“等边三角形”“直角三角形”“等腰直角三角形”等概念。通过自主建构，让学生掌握它们之间结构性的属种关系。
比如，从边的特征方面、角的特征方面、边的特征和角的特征方面运用“强抽象”建构。以边的强抽象为例，可以启发学生思考：怎样的三角形是等腰三角形？怎样的等腰三角形是等边三角形？怎样的三角形是等边三角形？不等边三角形、等腰三角形和等边三角形之间有着怎样的关系？通过这种强抽象，不仅能让学生建构三角形的概念系，更为重要的是让学生认识、实践了如何在一个“上位概念”的基础上去定义“下位概念”。学生一旦自行建构了数学知识结构，就能进行自发地数学知识存储，形成稳定的数学知识心理结构。这样的建构，能活化学生的数学思维，促进学生数学学习力的提升，发展学生的数学核心素养。
结构化教学，不仅在于让数学知识结构化，更在于引导学生形成结构化思维。思维的结构性，表现为思维的有序性、层次性、逻辑性、方向性等。培育学生的结构性思维，要求教师不仅要重视数学知识的过程建构，而且要重视数学知识的方法建构、思想渗透等。
3、简析“大概念”教学
以初中几何为例，“初中几何是研究几何对象的定量关系和空间形态的课程”。主要侧重于几何对象的概念、性质、特殊情况、联系和应用。
在课程开始时，教师应让学生理解上述“大概念”，即应指导诸如“概念抽象中应该做什么?”“几何性质和判定是指什么?”等问题，使学生思考方向明确、思维活跃。
通常，“概念的抽象和下定义”一般流程是：观察分析典型案例和具体案例的共同表面特征，提炼和概括对象的本质特征、概念内涵和元素等。也就是说“下定义”表示几何对象，考虑了几何对象的分类，注意文字语言、符号语言、图形语言这三种语言转换。
“几何特性”是指几何对象的元素与相关元素之间的关系，通常研究具有特殊位置关系或数量关系的情况。
“几何对象的关系和应用”主要是专注于等式、不等式、对称性等的定性分析和面积、周长等的定量分析。
当学生清楚了解上述大概念时，借助这些大概念，他们将了解数学课程是什么? 为什么要学习这些内容? 当其碰到具体的几何问题时，围绕结构化教学的“大概念”等思维支架展开策略型思维，思维走向主动就是水到渠成。
案例11 （结构）“三角形的高、中线、角平分线”教学
在教学“三角形的高、中线、角平分线”一课时，许多教师往往会采用“由现实或实验情境导入‘三线’的存在研究”的引入方式。其实这种引入方式是不符合学生思维和知识发展规律的。在数学教学践中我们发现很多学生不明白为什么要学习三角形的“三线”? 为什么只研究三角形的这“三线”的性质?
在“结构化教学”时，明确“大概念”为学生自主思考提供“思考支持”，“大概念”有助于激活学生数学思考的主动性和构建整个几何研究框架。
从几何图形研究的基本构造来看，该课的内容是要素和特殊情况的组合。在明确宏观“大概念”之后，基于前一节课已学习了“三角形的边”，从数学知识发展的逻辑必然性来看，学生知道本节课将学习“与三角形有关的其他线段”，按照数学性质的研究侧重从特殊对象出发，所以本节课聚焦“与三角形有关的特殊线段”；
而对于为什么要学习“高、中线、角平分线”，而不是其他“线”，学生在学习与三角形有关的特殊线段中会逐渐发现，这“三线”无论是位置，还是数量关系都具有特殊性和确定性（不变性），而根据上述研究方向，学生发现的特殊线段绝不局限于高、中线和角平分线，还包括后续研究的中位线。
通俗的理解：“结构化教学”表述是从对象的完整视角看问题，而“大概念”是从对象的主要经络的视角看问题。而“大概念”往往并不是某具体“概念”，“大概念”反映的是专家思维，而具体“概念”也即“小概念”反映专家的结论。由上可见，结构化教学中的“大概念”这一具有统摄理解的“思维支架”为学生开展策略型思维提供了必要的条件，为学生进行主动思维提供了方法策略的“思维支架”，最终为学生思维从“被动”走向“主动”提供了可能。
案例12（结构）“菱形、矩形、正方形（1）”的教学设计研究
人教版教材八年级下册第十八章“特殊平行四边形——平行四边形”中的“菱形、矩形、正方形”教学。
借助“几何特性”即“几何对象的元素与相关元素之间的关系”，也就是“研究具有特殊性关系或数量关系的情况”。当学生清楚了解这个大概念时，他们将了解现在课程这些内容的几何问题时，平行四边形中“有哪些特殊性关系？”
想到“相邻的角相等”，“相邻的边相等”就是自然的事情。
课时总数不变.第一课时是菱形、矩形、正方形的性质探究，第二课时是菱形、矩形、正方形性质的应用.第三课时是菱形、矩形、正方形判定的研究，第四课时是菱形、矩形、正方形判定的应用，第五课时是菱形、矩形、正方形的小结与思考.
第一课时选择采用结构化思想整体设计菱形、矩形、正方形的性质.这节课的设计分为五个板块：
（1）复习回顾三角形的研究路径和相关知识结构图，复习平行四边形性质以及研究的角度；
（2）类比得出菱形和矩形的概念，并初步形成特殊平行四边形的结构图；
（3）采用结构化思维探究菱形的性质；
（4）类比探究矩形的性质；
（5）总结提升.具体设计如下（问题串）：
问题1：回顾三角形的研究过程，三角形是按照怎样的路径展开研究的？
追问：什么是等腰三角形？什么是直角三角形？
设计意图：通过学生回顾，从数学本身的内在逻辑结构出发，复
习三角形的研究路径：概念一性质（判定）一特例（概念一性质一判定），通过追问引出特殊三角形的概念，帮助学生建构三角形的研究结构，形成结构图（1）.为特殊平行四边形的研究提供方案和路径，也为特殊平行四边形的概念的形成做好铺垫.
问题2：平行四边形的性质是从哪几个方面研究的？分别有哪些性质？
结构图（1） 结构图（2） 结构图（3）
设计意图：通过回顾，唤醒平行四边形性质的内容和研究的角度，形成结构图（2）.矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质.平行四边形性质研究的角度也是矩形和菱形等性质探究的角度，为矩形、菱形性质探究做好铺垫.
问题3：前面我们已经学习了平行四边形的概念——性质——判定，类比三角形的研究路径，你认为接下来应该研究什么？
追问1：如果你来研究，你会从什么角度研究平行四边形的特殊性？
追问2：类比三角形的研究过程，想一想，动手画一画，可以得到什么特殊的平行四边形？
设计意图：问题3构建研究方向，明确研究的内容.依据复习的
研究路径，接下来应该研究特例.即特殊的平行四边形.追问1是引导学生思考研究特殊平行四边形的角度.学生类比特殊三角形的研究过程，水到渠成地想到从边和角研究特殊的平行四边形.学生有了研究的方向，但如何研究？结论是什么？还需要学生自己去探索.
追问2从研究方法上提出问题，引导学生通过画图操作、直观想象和思考分析、逻辑推理相结合，
让学生自主探究，同伴互助得出菱形和矩形，初步形成四边形的框架结构图，如结构图（3）.
问题4：类比特殊三角形的概念，你能归纳出菱形和矩形的概念吗？
设计意图：让学生类比“有两条边相等的三角形是等腰三角形”
得出“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”；类比“有一个角是直角的三角形是直角三角形”得出“有一个角是直角的平行四边形是矩形”.结合图形帮助学生理解概念的内涵.
问题5：刚才我们了解了菱形、矩形的概念，接下来我们会研究什么呢？
追问1：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质吗？
追问2：菱形是特殊的平行四边形，它是否具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？
追问3：如果让你来研究菱形的特殊性质，你会从哪些角度来研究呢？
追问4：你是怎么想到这几个角度的？
追问5：菱形有哪些特殊性质？想一想，猜一猜，证一证.独立思考后小组交流讨论，整理出讨论的结果，派一名代表和同学们分享结论，并说明理由！
设计意图：首先引导学生根据几何图形的研究路径明晰后续的研究内容，学习完概念后接着应该研究性质.追问1和追问2引导学生把菱形性质分为两块梳理，一般平行四边形的性质和它特有的性质，并为特有性质的研究提供了方向和借鉴.追问3引导学生明确特有性质的研究角度.追问4是让学生反思研究角度的由来，让学生在学习过程中养成不但要“知其然”，更要“知其所以然”的习惯.追问5是在明确性质研究的方向后，放手让学生自主探究.学生通过独立思考、小组合作等多种途径，研究菱形的特有性质.再通过小组代表分享，教师点评，生生互评，完成菱形特有性质的学习.教师在学生分享研究结果的基础上帮助学生从边、角、对角线、对称性几个方面梳理菱形的所有性质.
问题6：下面请同学们仿照菱形的研究过程，自主进行矩形的探究，并尝试整理矩形的性质.
思考后和同学们交流.
设计意图：类比菱形性质的研究过程，引导学生自主迁移到矩形性质的探究，帮助学生掌握知识结构，渗透结构化思维.教会学生研究问题的方法，培养学生的能力.
问题7：刚才同学们一起研究了矩形和菱形的性质，我们一起来看一看它的应用.
1.如图7,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
（1） 若∠ACB =30°, AB=3,则 AC=_____ ；
（2） 若∠AOD =120°,AB=3,则 AC=______ .
2.如图8,已知四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O,
(1)若AC=6cm, BD=8cm，则菱形的边长=_____ ；
(2)菱形的周长52cm, BD=24cm,则AC=_____ ；
设计意图：问题1考查了矩形的四个角是直角和对角线相等且互相平分的性质，问题2考查了菱形的四边相等和对角线互相垂直平分的性质.通过两个问题及时巩固矩形和菱形的性质.
问题8：回顾本节课的内容，我们学习了什么？
追问1：本节课学习了哪些知识？
追问2：矩形、菱形的概念和性质是如何展开研究的？
追问3：几何图形的研究路径是什么？
设计意图：通过追问让学生从三方面回顾本节课的学习.追问1总结所学的知识点：矩形和菱形的概念和性质.追问2回顾研究的过程：借助三角形结构类比得出平行四边形的结构；借助特殊三角形的概念类比得到矩形和菱形的概念；借助特殊三角形的研究方法类比得到特殊平行四边形的研究方法；借助平行四边形性质的研究角度类比得到菱形性质的研究角度；借助菱形的研究过程类比得到矩形的研究过程等等.
追问3回顾几何图形的研究路径：概念一性质一特例（概念一性质一判定）.通过回顾让学生对知识有着整体的认知，能体会结构化思维和类比的思想可以将新旧知识进行同化和顺应，方法进行迁移.也为课后正方形概念、性质的探究和特殊平行四边形判定的学习提供借鉴.
问题9：有一个角是直角的等腰三角形是什么三角形？有两条边相等的直角三角形是什么三角形？
追问：菱形和矩形学完后，将会继续研究什么四边形？
设计意图：通过问题完善三角形的结构图（1）,得到结构图（4）.通过追问引导学生对后面的知识进行展望，从而形成本单元完整的结构图（5）,有助于学生对知识的整体感知，另一方面渗透了研究方法的延续性.帮助学生形成研究此类问题的方法结构。
问题10：作业布置：复习菱形和矩形的概念与性质以及它们的研究过程，并仿照本节课的研究过程，自主探索正方形的概念和性质.
设计意图：让学生课后自主研究正方形的性质，是课内学习的课外延伸.既是对本节课研究过程的复习巩固，又是让学生进一步利用结构化思维研究新的问题，培养学生的能力，逐步实现从“教”到“不教”.
“从特殊三角形的研究类比迁移到特殊平行四边形的研究；从特殊三角形的概念类比迁移到特殊平行四边形的概念；从平行四边形性质的研究类比迁移到特殊四边形性质的研究”的方法结构。对于防止碎片化教学，落实数学学科核心素养具有重要意义.它的教学追求是：数学的整体性，逻辑的连贯性，思想的一致性，方法的普适性，思维的系统性。
反思梳理，形成知识结构。例如学完平行四边形、矩形、菱形后，要求学生进行反思，最终与学生一起以表格的形式罗列出来,(如表1).
平行四边形
矩形
菱形
边
对边平行且相等
对边平行且相等
四条边相等，对边平行
角
对角相等、邻角互补
四个角都是直角
对角相等、邻角互补
对角线
对角线相互平分
对角线相互平分且相等
对角线相互平分且垂直，
对角线平分一组对角
对称性
中心对称
中心对称、轴对称
中心对称、轴对称
表1
4、数学结构性教学的意义
第一，它为数学教学提供了以建构数学认知结构为中心的整体认识观，促进学生从整体上把握数学知识、方法和观念，进而有效地克服肢解数学知识和方法的现象。
第二，它与过程性结合在一起，使得发现式学习和开放性教学有了确定的“度”，不至于走极端。学生的学习由此有了一个普遍可遵行的标准。
第三，它有助于学生克服只注意知识增长、把解题步骤和程序作为学习重点的倾向，增强学生学习数学的整体意识和结构意识。
第四，它使学生把已掌握的知识提高到简洁的原理性结构上的可能性增大，也使学生以已有知识为基础，向未知的新事物迁移、洞察的倾向增大，因此有助于提高数学教学的效率和效益。
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