高中数学概念的教学的两种方式
一般认为，数学概念的学习有两种基本的获得方式，从而对应着两种基本的教学方式，叫做概念形成与概念同化。
1.概念教学的第一种方式——概念形成
(1)什么是概念形成。从具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，从而获得概念的方式，叫做概念形成。函数概念的教学通常采用这种方式。
(2)概念形成的教学过程。心理学认为，数学概念的形成需要不同程度地经历:辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤。在教学条件下，概念形成的关键是如下4个步骤:
① 提供一类事物的不同例子，通过辨别，分化出各个例子的属性。
这是通过创设情境，提出问题，从客观实例引入概念，例子可以是学生日常生活中的经验或事实，也可以是教师创设的典型事例，可以来源于生活，也可以来源于数学内部，最关键的是情境有所学习概念的必要因素与必要形式，能启动学生的思维齿轮(引发认知冲突)，使得情境提后炼就是概念，概念还原后就有情境的基础或原型。
这些必要因素与必要形式加以分化，就得出各个例子的属性。这些属性是从数量关系和空间形式的角度去描述的，已经开始了数学化的提炼。
② 概括出各个例子的共同属性，进而提炼出本质属性。
这是在做数学化的进一步提炼，正例提供有利于概括的信息，第一步先找出事物的共同属性，在共同属性里有本质属性、也有非本质属性；第二步就要排除非本质属性、找出事物的本质属性，为此，通常要提出该事物本质属性的假设，经过检验，才能确认事物的本质属性。
中国教师创造的“变式教学”是排除非本质属性的有效途径。
③ 概括形成概念，并用定义表示。
这需要我们将事物的本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新事物的概念与已知的有关概念区别开来，然后用语言概括成概念的定义。
有的概念是有符号的，第一次出现需要阐明它的含义、写法和读法，防止出现诸如此类的错误:糊涂运算sinx/n=six=6，|-3|=1-31=-30；万能分配律f(x+y)=f(x)+f(y)，lg(α+β)=lgα+lgβ，sin(α+β)=sinα+sinβ等。
④ 把新概念的本质属性推广到一切同类事物，本质掌握概念。
这一步既是在更大范围检验概念的过程，也是巩固应用的过程，使新概念与原认知结构中的相关概念建立起非人为的、实质性的联系，明确概念的外延。
课堂上常常表现为正例、反例的变式练习(反例提供有利于辨析的信息)，还会与当初引进的情境做前后照应，启发学生从名称、定义、属性、范例四个要素上掌握概念。
这种教学方式，与人类自发形成概念的方式比较接近，也体现了数学学习的一个核心价值——数学化，还可使学生感到数学源于生活。
需要注意的是，这种方式比较费时，并且如何自然地提炼出本质属性是艰难的，实践中会出现“生硬”“跳跃”等变相灌输的现象。
比如，由旗杆、电线杆是否垂直地面而引进“线面垂直”的概念，就是概念形成。
如何判断旗杆(电线杆)立得直不直呢?此处不能“跳跃”!生活经验告诉我们，人可以离开旗杆(电线杆)一段距离，绕着旗杆(电线杆)转一圈，看看是不是每一个方向旗杆(电线)都与地面垂直直。
然后，把旗杆(电线杆)提炼为直线，把地面提炼为平面，把人绕着旗杆(电线杆)转一圈提炼为经历平面内所有直线的方向，于是得直线与平面垂直的定义:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。(注意“任意”不能改为“无穷”)
2.概念教学的第二种方式——概念同化
(1)什么是概念同化:以学生已有的知识经验为基础，直接提出定义，揭示本质属性，并与原认知结构中的有关概念建立联系，从而获得新概念的方式，叫做概念同化。由数列的概念导出等差(比)数列、由等差(比)数列导出等差(比)中项均可以采用这种方式。
(2)概念同化的教学过程。在教学条件下，概念同化的关键是如下四个步骤:
① 定义，揭示本质属性。
通常是在呈现已知概念(上位概念)的过程中，渗透未知概念(下位概念)的例子或情境，基于新旧概念的逻辑关系，直接揭示新概念的属性、名称和定义。
有符号的概念，要阐明符号的含义、写法和读法。
比如，在回顾数列和等差数列的过程中，呈现等比数列的例子或情境(细胞分裂、银行利息等)，然后直接定义等比数列。
又如，获得等比数列之后，直接定义等比中项。
② 分类，突出本质属性。
通常是讨论新概念的各种情况，突出概念的本质属性。比如，上面说到的等比数列，可以呈现递增等比数列、递减等比数列、摆动等比数列和常数列，突出等比数列的本质特征:从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数(公比)，关键是“比值为非零常数”，至于这个公比大于1或等于1，大于 0或小于0，那都是非实质的。
③ 同化，新旧概念建立联系。
这一步主要是使新概念与原有知识结构中的适当内容建立联系，把新概念纳入到已有概念体系中去，同化新概念。
比如，上面说到的等比数列，可以与数列、等差数列、比例、指数函数等内容联系起来，沟通等比数列与这些知识的联系。
具体说，可以考虑对等差数列{bn}取bn=lgan(an>0)，推出{an}为等比数列；可以考虑类似等差数列那样，研究等比数列的通项、求和公式、等比中项等；还可以揭示等比数列的通项公式an=a1qn-1是指数型函数，并且当a1=q时an=qn是自变量为正整数的指数函数。
④ 强化，形成新的认知结构。
这一步主要是通过进一步的练习，包括正例和反例的辨认，使新概念与原认知结构中的相关概念分化，并且纠正学生可能产生的理解上的错误，使新旧概念融会贯通，形成新的认知结构。
比如，可以辨认0，1，2，4，8，16，32是不是等比数列；辨认b2=ac时，a，b，c是不是等比数列；辨认ad=bc时，a，b，c，d是不是等比数列；辨认an=c(常数)是不是等比数列。启发学生从名称、定义、属性、范例四个要素上掌握等比数列。
这种方式是通过逻辑演绎进行概念教学的，省时高效。
但要求新概念是原有概念的“限定”，且学生原认知结构中具备同化有关概念的知识经验；还要注意，这种方式没有经历概念形成的原始过程，容易出现概念加工不充分、理解不深刻的缺陷，所以，应注意弥补具体实例和加强辨析。
3.概念形成与概念同化的比较
(1)概念形成与概念同化都是根据数学内容和学生实际积极揭示概念的本质属性、确切表述概念的内涵和外延，都启发学生从名称(包括符号和读法、写法)、定义、属性、范例(包括正例和反例)四个要素上掌握概念。也就是说，它们所呈现的主体内容是相同的，区别在呈现方式上。
(2)从学习过程来看，概念形成主要依靠对具体事物的抽象概括，与人类自发形成概念的方式接近；概念同化主要依靠学生对新旧知识的联系，是具有一定逻辑思维水平的人自觉学习概念的主要方式；在新旧知识相互作用的方式上，概念形成更多的是顺应，概念同化更多的是同化。
(3)从适用场合看，概念形成的方式比较适用低年级，和新学科、新章节开始的时候；概念同化的方式比较适用高年级，和发展性概念。
(4)概念形成的方式经历概念提炼的原始过程，比较费时，并且如何自然地提炼出本质属性比较艰难；概念同化的方式省时高效，但没有经历概念形成的原始过程，容易出现概念加工不充分、理解不深刻的缺陷；在数学概念教学的实际中，应该扬长避短、优势互补，把概念形成与概念同化两种方式结合使用，使得既符合学生学习概念时由具体到抽象的认识规律，掌握形式化的数学概念背后的事实，又能使学生在有限的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性，掌握更多的数学概念，提高数学学习的效益、效率、效果和效能。
转自：“中学数学教与学”微信公众号
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