本文刊载于《小学数学教师》2022年第6期
基于SOLO分类的小学生“尺规作图”能力前测分析
——以“作等边三角形”为例
宋煜阳1 刘加霞2
（1 浙江省宁波市奉化区教师进修学校，2 北京教育学院数学与科学教育学院）
【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二、三学段给出了尺规作图的相关学习内容，本研究围绕尺规作图的工具认识、尺规画三角形步骤的理解和推理意识水平进行前测，并基于SOLO分类理论对测试结果进行分析，了解学生“尺规画三角形”的可行性和思维进阶水平。数据显示，在“尺规画三角形”表现性任务中，学生思维水平参差不齐，五个水平层级较为鲜明，多数学生处于较高的思维水平层次；阅读理解能力和推理意识水平是影响“尺规画三角形”思维进阶的重要变量；多点结构和关联结构水平的学生呈现了较为丰富的画图方法，具有较强的自主探索可行性，为尺规作图教学提供了多种学习路径。
【关键词】尺规作图 SOLO分类理论 学习进阶
算术与几何皆因交换计数、丈量土地等现实需要而自然地产生，但现实需要很快就得以满足。是什么推动、促进了数学的发展呢？受古希腊民主思辨氛围的影响，先哲们喜欢抽象思维，喜欢探究一般原则而抛弃现实问题，如泰勒斯（Thales）的几何证明，毕达哥拉斯（Pythagoras）提出的“万物皆数”，欧多克斯（Eudoxus）的“不可公度比”，欧几里得（Euclid）集大成形成以“演绎体系”著称的《原本》，认为“算术是不可靠的，几何才是宇宙的真知”[1]。由此可知，在希腊思想中，唯理论占重要的地位（据此而以为希腊人不重视观察自然就是夸大其词了[2]）。例如，亚里士多德（Aristotle）提出“定义不能证明存在，证明存在的方法就是构造”[3]。于是，尺规作图（指用无刻度的直尺和圆规，有限次地作图）得到广泛重视，它超越现实需要而注重推理能力的培养，在数学发展史上大放异彩。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二、三学段新增了“尺规作图”学习内容。课程目标中，第二学段给出了“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”的内容要求，给出了“经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程”的学业要求；第三学段给出了“图形的认识教学要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程”的教学提示。其用意在于引导小学生积极主动地思考数学问题，形成推理意识。学生对尺规作图有哪些直观认识？小学生完成尺规作图任务的思考路径及难点是什么？本研究以“利用尺规画指定线段长为边长的三角形”作为表现性任务，围绕尺规作图的工具认识、尺规画三角形步骤的理解和推理意识水平进行前测，然后根据SOLO分类理论对测试结果进行分析，了解学生“尺规画三角形”的可行性和思维进阶水平。
01
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研究的设计
（一）测试对象
测试题选自浙江省宁波市奉化区小学六年级学科素养调研卷，主要面向学业水平优秀的学生群体进行监测，测评对象来自全区30所小学，由各校推荐六年级前15%的学生，共计846名学生参加了本次测评。测试时学生已经完成“圆的认识”单元内容学习，但没有正式学习尺规作图内容。
（二）原题内容
学生首先阅读如下材料，然后完成作图任务。
尺规作图是数学中的基本画图方法，它是指借助没有刻度的直尺和圆规进行有限次画图。
已知三条线段，用尺规作图方法画由这三条线段围成的三角形，步骤如下：
如图，已知线段a、b、c，求作△ABC，使AB=c,AC=b,BC=a。
作法：
(1）作线段AB=c;
(2）以A为圆心，以b长为半径作弧，以B为圆心，以a长为半径作弧与前弧相交于C;
(3）连接AC、BC。
△ABC就是所求作的三角形。
请用尺规作图的方法画出等边三角形ABC，边长与线段c长度相等。不要求写画法，但需要保留作图痕迹。
（三）测评维度
1.阅读理解能力
原题内容包括尺规作图定义、范例步骤解释和作图任务说明三部分，图文结合、数学表达具有一定的抽象性，对学生的数学阅读理解提出了较高要求。评价要点主要包括：
(1）作图工具要求的分析。读懂作图工具限定要求，特别是“没有刻度的直尺”条件限定。
(2）范例步骤方法的分析。主要包括：①把数学符号和要求转译为操作指令，如“作线段AB=c”，需转译为画一条线段AB，长度与已知线段c相等；②三角形每条边确定，以及圆心和半径确定的过程方法分析。
(3）作图任务目标的分析。给出的作图任务包含两个基本要求：①尺规作图；②以线段c为边画等边三角形。
2.作图中的推理意识
作图中的推理意识包括作图计划设计和操作结果推理意识两部分。
作图计划设计，侧重考查学生分析条件与结论之间的关系、作图方法在新情境（任务）中的迁移等。评价要点主要表现为：①作图计划是否按限定的作图工具来设计；②直尺、圆规工具使用的执行过程关联性与任务目标的一致性；③已知条件选用数量和得出结论的可靠程度；④范例与任务作图方法之间是否实现迁移。
操作结果推理意识，侧重考查学生对完成作品的反思与检验意识。评价要点主要表现为：①是否有操作活动及完成操作程度（含非尺规作图思路）；②所作三角形是否为等边三角形，是否以线段c为边；③是否保留两弧相交等作图痕迹。
由于题目只要求保留作图痕迹、不要求写画法，无法从多渠道直接获取学生的真实思维和操作过程，因此评分者主要依据学生画图结果和个人教学经验对画图过程作间接的分析判断。当评分意见不一致时，再与多名骨干教师集体研讨、重新评定，最后达成统一意见，提高分析结果的信度。
02
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学生尺规作图思维水平层次划分的理论依据与评价框架
本次调研结果的分析以SOLO分类评价理论[4]为指导。基于阅读理解能力、推理意识水平两个测评维度，分别把学生的思维水平由低到高划分为前结构、单点结构、多点结构、关联结构与抽象扩展结构五个水平层次，对学生的画图表现进行描述，并附典型图例加以补充说明。
（一）前结构水平
1.要点描述：读不懂尺规作图的定义，没有选择画图工具或选择的画图工具与限定条件不符合；没有仿照范例作图的痕迹，胡乱尝试；只画了部分线段或圆，没有后续操作，没有与三角形建立联系。
2.表现类型：类型①，空白，没有操作；类型②，采用描画的方式且描画结果与已知条件、任务目标都不符合；类型③，利用三角尺作图，图形类别和边长都不符合要求，如图1-1，画出等腰直角三角形；类型④，用规定工具只画出线段c，没有后续操作，如图1-2。
（二）单点结构水平
1.要点描述：了解尺规作图的部分含义，从范例、任务中任意选取了一至两条线段，利用工具作图或描画。
2.表现类型：类型①，没借助工具，直接描画出相近的等边三角形，如图2-1；类型②，用工具尺粗略画出三角形，凭感觉凑出角度，如图2-2；类型③，从线段和弧（圆）两个角度描画三角形，有2条及以上的边分别接近线段a、b、c，对弧采用了描画方式或画了两个不符合要求的圆，如图2-3、图2-4。
（三）多点结构水平
1.要点描述：了解尺规作图的部分含义，能根据直尺、三角尺和圆规等工具的特点，联系等边三角形边、角等特征进行推理；有作弧计划，能与三角形联系在一起，但与任务目标不一致；没有作弧计划，能联系工具特点，利用三角尺量画出规定长度、60°内角等，进而完成等边三角形。
2.表现类型：类型①，以线段c作为直径画出半圆，再在弧上选点连接成等腰三角形，如图3-1；类型②，用刻度尺、量角器量出线段长度和相关角度，画出与范例接近的不等边三角形，对弧进行描画补充，如图3-2；类型③，利用三角尺量画出角度或中垂线，得出等边三角形或等腰三角形，如图3-3、3-4。
（四）关联结构水平
1.要点描述：明确尺规作图要求，能建立“尺”“规”之间的联系；能理解范例作图步骤及方法，能从范例信息中选取3条不同线段作图，或选取2条且自己任意补充一条线段，或自己任意选取3条不同线段作图；作图方法没有从范例完全迁移到作图任务，不能正确选取线段c作为条件作图。
2.表现类型：类型①，自行确定了3条不同长度的线段，按照范例步骤及方法作图，得到不等边三角形，三条边与指定线段均不符合，如图4-1；类型②，选择线段a、b、c，按照范例步骤及方法作图，形成与范例全等的不等边三角形，如图4-2；类型③，选取线段c或自行确定线段作底边，以线段a或自行确定线段为腰作图，得出等腰三角形，如图4-3；类型④，自行确定一条线段或选择线段a(b）为半径作图，得出等边三角形，与指定线段不相符，如图4-4。
（五）抽象扩展结构水平
1.要点描述：明确尺规作图要求，能建立“尺”“规”之间的联系；能理解范例作图步骤及方法并实现迁移，能正确选取线段c作为条件作图。
2.表现类型：类型①，选择线段c为半径作图，得出符合任务目标的等边三角形，但出现信息标注多余或不准确，如图5-1出现角的度数标注，图5-2中边的标注出现a、b；类型②，作图方法、边的标注、作图结果都符合任务目标和相关要求，如图5-3。
03
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调研结果分析与研究结论
前测的结果分析采用了三角互证法进行讨论确认，主要步骤及方法为：（1）组建三人专家互证小组。由1名高校教授和2名正高级一线教师组成，3名专家均对SOLO理论有实践研究基础。（2）思维水平预划分。由1名专家对参加测评的学生作品进行梳理，作出思维水平预划分。（3）审议意见，确定分析结果。另两名专家对思维水平预划分结果进行审议，综合3名专家意见，根据少数服从多数原则，确定思维水平划分标准和分析结果。经专家小组分析认定，846名学生在“利用尺规画指定线段长为边长的三角形”表现性任务中，各思维水平的占比如表1所示。
根据相关数据和学生作品分析，可以得出以下基本结论：
1.学生思维水平参差不齐，水平层级较为鲜明，多数学生处于较高的思维水平层次
前结构、单点结构、多点结构水平的学生占比共计约30%，处于较低思维水平层次；近70%的学生处于关联结构和抽象扩展结构水平，说明多数学生处于较高思维水平层次，与“学业水平优秀学生”这一特定前测对象的群体特征相吻合。数据显示，五个水平层次均有分布，表明学生思维水平参差不齐，且有较为鲜明的水平进阶趋势。
2.阅读理解能力和推理意识水平是影响“尺规画三角形”思维进阶的重要变量，在“思维操作”“一致性与收敛”方面表现更为突出
在前结构水平、单点结构水平、关联结构水平的各种类型中，都存有较为典型的思维节点，如前结构水平的类型①、单点结构水平的类型②、关联结构水平的类型②在相应的水平层次中占比最高，也是“思维操作”“一致性与收敛”层级分化的关键所在。
前结构水平的类型①，在思维操作上是拒绝，空白没有操作；条件和问题都不清楚就收敛了，没有一致性。单点结构水平的类型②，在思维操作上只能联系单个条件“尺”，用没有刻度的直尺画出三角形，凭感觉凑出角度；只接触到三角形的“形状”就迅速收敛，没有过程和一致的感觉，结论非常不一致。主要原因是受到阅读理解能力的影响，表现为审题不清或不能理解尺规作图的含义和范例的步骤方法，无法将多个条件和问题联系起来，也不能寻求多个素材或线索来得出结论；当然也不排除学生读懂了题例和任务要求，却因推理意识水平较弱而无法动手“画图”的情形。
关联结构水平的类型②，在思维操作上表现为“能按照范例步骤方法作图”，形成方法的归纳；在一致性和收敛上表现为“画出与范例全等的不等边三角形”，与范例虽然保持了一致性，但没有迁移到“等边三角形”这个新情境。主要原因是学生没有理解作图原理，无法作出相应的推理；特别是当范例和任务在选取线段上发生变化时，不能与每类三角形边的特点加以联系，导致在新情境中没有产生迁移行为。
聚焦上述三个水平分析，可以发现阅读理解能力和推理意识水平”是影响“尺规画三角形”思维进阶的重要变量。
3.在“尺规画三角形”表现性任务中，多点结构和关联结构水平的学生呈现了较为丰富的画图方法，表明这两个学生群体具有较强的自主探索可行性，也为尺规作图教学提供了多种学习路径
面对“尺规画等边三角形”表现性任务，不同思维水平层次的学生呈现了较为丰富的画图方法，归纳起来主要有“利用正三角形轴对称性质，画出中垂线后寻找合适的交点连接而成”“基于正三角形三个角的性质，利用工具画出60°的角连接而成”“基于同圆或等圆半径长度相等，利用尺规画出等腰三角形或等边三角形”三条基本思路。这三条基本思路虽然存在不符合尺规作图要求的成分，但反映了学生可以调用的多个认知点，为多点结构水平、关联结构水平、抽象扩展结构水平的思维进阶路径提供了多种假设。
值得注意的是，关联结构水平的类型③、类型④主要表现为“自行确定一条线段或选择线段a(b）为半径作图，虽然得出等边三角形，但不能按照任务要求选取线段c作为条件作图”，说明学生带有“同一条半径两次使用”“自选线段作为半径”的偏向。为此，“半径确定和线段选择”思维进阶需要经历三个层级：1.选取自选线段为半径作等边三角形；2.选取指定线段为半径作等边三角形；3.选取指定线段为半径作不等边三角形。这也为尺规作图前测设计和教学设计提供了由“尺规画等边三角形”向“尺规画不等边三角形”进阶的学习路径。
小学阶段学习简单的“尺规作图”，其直观性、可操作性能够激发学生的探究兴趣，在此过程中学会初步的演绎推理，加深对图形性质特征的再认识，也有助于培养学生的空间观念。但因其“答案不唯一”导致评分标准不唯一，如何有效地评价学生的学习效果仍需进一步研究。
参考文献
[1]向坤，宁连华.从尺规作图看古希腊数学观及其对教育的启示[J].数学教育学报，2013,22(1):100-102.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995:8.
[3]莫里斯·克莱因.古今数学思想(第一册)[M].张理京，张锦炎，江泽涵，译.上海：上海科学技术出版社，2002:60.
[4]约翰·B.彼格斯，凯文·F.科利斯.学习质量评价：SOLO分类理论（可观察的学习成果结构）[M].高凌飚，张洪岩，译.北京：人民教育出版社，2010:27-28.
〔本文系宁波市甬城教育名家领军工程专项课题“小学生尺规作图学习进阶模型的实证研究”（立项编号：YGHZX-MJ08）阶段研究成果〕
转自：“小学数学教师”微信公众号
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