“变”中求“不变”，感悟概念一致性
——以“认识周长”为例
● 包静娟●
（江苏省江阴市教师发展中心）
作者简介
江苏省特级教师，江苏省首届领航名师，江苏省名师工作室主持人，江苏省乡村骨干教师培育站主持人专家组成员，江苏省教科研先进个人，教育部“国培计划”培训专家，江南大学硕士研究生导师，江苏省江阴市教师发展中心小学数学研训员。
倡导“为数学理解而设计”的教学主张，主持多项省级重点课题，其中“数学理解项目”获2021年江苏省基础教育教学成果一等奖。出版专著《为理解而设计》《做做玩玩 学数学》等。
江苏省小学数学五年级学生学业质量监测中，对“图形与几何”内容的评估有这样一道题（下图 ），全省学生在此题的得分率仅为58.1%，超过40%的学生错误地选择了答案B。这不由得引起笔者反思，图形的周长是三年级学习的内容，可是都五年级了，为什么还有这么高的错误率？
上图中的问题情境一般用来强化“等底等高的平行四边形面积相等”这一命题，该题打破惯例，用评估面积的图形情境来评估周长。对周长概念理解不透彻的学生，往往缺乏模式识别的敏感性，从而做出错误的选择。另外，上述问题具有一定的挑战性。学生除了需要对图形周长概念进行模式识别，还需要经历长方形和平行四边形周长大小的分析、比较、判断，最后做出决策。此类情境就像一块试金石，真实考查出学生对概念的理解情况，以及运用数学、解释数学的能力，而这正是新课标提出的“三会”素养的集中体现。
01
成因透视
很明显，学生出现较高错误率的关键在于对周长概念没有真正理解，其根源在课堂。审视当下的课堂，不难发现，对于教学应该让学生“学什么” “怎么学”，以及拿什么来评估“学得怎么样（学会了什么）”往往存在以下一些问题。
（一）目标导向短视化
目标导向短视化是指教学目标缺乏素养导向的追求，只关注结果，忽视过程，只关注静态显性的知识，忽视动态内隐能力的增长。周长属于空间度量内容板块，具有图形度量的三大特征，即正则性、有限可加性、运动不变性。本课应将对图形度量特征的理解，以及对空间观念的培养纳入目标，为后续同一度量内容板块的面积和体积的教学打好基础。传统的“认识周长”一课，仅仅将周长定义（物体表面或平面图形一周的长度）及一般图形周长计算方法的掌握作为教学目标。此目标指向的是事实性知识的记忆和基本技能的习得，停留在“知识立意”的层面，忽视了学生空间观念的培养。
（二） 活动体验浅表化
活动体验浅表化是指活动体验没有触及知识本质，没有切准学生学习的痛点和痒点，只是浮于表面，不能激发学生探究的兴趣和欲望。“认识周长”一课，很多教师安排大量时间让学生摸多种物体表面一周的边线，描各类平面图形一周的边线，在此基础上揭示“周长”定义。很明显，上述操作活动指向的是感知一周边线。前测表明，学生对于“一周”是有经验的，都能指出封闭图形的“一周边线”。学习的难点在于空间意识的培养，周长属于一维空间的度量，需要从二维的面上提取出来进行研究，这一点往往被忽视。另外，许多活动只是在教师指令下的技能操作，缺乏反思内省，没有让学生感悟思考操作活动背后的原理和思想。
（三） 反馈评估乏力化
对学生学习成果的反馈评估与教学目标息息相关。目标的缺位导致评估的乏力。传统教学中教、学、评分离，对于学生“学得怎么样”的评估往往置于课尾，强调确定性结论和标准答案。评价任务高度抽象，关注的是碎片化知识的学习和孤立技能的习得。“认识周长”一课，大部分课堂教学反馈评估会安排各种变式题评估学生的学习，但仅仅围绕“计算图形的周长”展开，导致学生最后只知道计算周长，不知道什么是周长，如何判断周长。由于学生缺少在真实情境中与他人合作解决问题的机会，习惯用机械的、孤立的方式习得知识，导致学习主动性缺失，问题解决能力薄弱。一旦面对类似本文开头案例中的复杂评估情境时，就不能很好地辨析周长，将其与面积混淆。
02
教学重构
针对上述问题，我们采用“教—学—评”一体化教学方式，让学生在“变”与“不变”的比较中实现对周长概念的深度理解，发展学科素养。
（一）认周长：上位到下位，变中知不变，聚焦本质
学生对周长的认知往往会受面的干扰，认为面大，周长就长；面小，周长就短。就周长概念而言， “周”是前提， “长”是本质。为突破面积对周长的干扰， “认周长”环节的教学创设了“已知—未知”的体验场，通过“魔线变变变”游戏活动，沟通一维线段和二维图形之间的联系，引导学生在对周长相同的不同图形的比较中，立足上位的线段理解下位的周长。在“变”与“不变”的矛盾情境中，让学生认识到周长的本质是对线段的度量，是对图形一周边线的度量，体会周长“运动不变性”这一度量特征，感悟形变质不变的思想。
变
不变
图形的形状不同
都是由 50 厘米的线段围成的图形，周长相等
图形的大小不同
【片断赏析】
师：同学们，你们手中都有一根魔线，量一量它有多长。
学生测量出魔线的长度为50厘米。
师：现在开始变魔术了。我说“魔线魔线，变变变”，请将魔线快速变出你喜欢的图形。
展示学生作品：有封闭图形，有不封闭图形。
师：这些魔线首尾相接，围成的图形叫做封闭图形。如果要测量这个图形魔线的长度，应该从哪儿量到哪儿呢？
学生操作。
师：从这点开始，沿着边线指，又回到起点，刚好指了这个封闭图形的——一周。你能指出手中图形的一周边线吗？
师：（出示不封闭的图形）这个图形是否有一周边线？谁有办法把它变成有一周边线的图形？
学生变出各种图形（三角形、四边形、曲边图形等）。
师：你们都是怎么变的？
生1：都是把这个图形变成一个首尾相连的图形。
生2：只有封闭图形才有一周边线。
师：我们把封闭图形一周边线的长度叫做它的周长。这个封闭图形的周长是多少？这个呢？
生：都是50厘米。
师：图形各不相同，为什么周长都是50厘米？
生：这些封闭图形都是由 50厘米的魔线围成的，它们的周长就是这根魔线的长度。
（二） 量周长：一般到特殊，变中思不变，感悟思想
数学教学不是罗列更多的现象，也不是追求更妙的技巧，而是要从更普遍、更一般的角度寻求规律和答案。“量周长”环节的目的仍然是认周长。曲边图形的绕线测量是通用方法，直边图形的直尺测量是特殊方法。反馈交流环节，将周长从图形上剥离展开，化曲为直。这一动态展示的过程，一方面让学生看到了一维线段与二维图形的联系，另一方面让学生深刻理解，不管是曲边图形还是直边图形，周长的本质是线段的长度。本环节先安排一般图形的测量，再安排特殊图形的估量和计算，从一般到特殊，促使动作思维与计算思维衔接，促进对学生度量意识的培养。估测图形的周长环节，进一步理解化曲为直思想的同时，发展学生的空间观念。
变
不变
曲边图形绕线测量
不管是绕线测量还是直尺测量，都是在用“化曲为直”的思想测量图形一周边线的长度
直边图形直尺测量
【片断赏析】
小组活动：选择合适的工具测量三角形和不规则曲边图形的周长，比较谁的周长更长。
师：有结果了吗？谁的周长更长？
生：三角形的周长更长一些。
师：你们是怎么得出这一结论的？
生1：树叶形的周长我们是这样测量的：先用细线沿着树叶表面的边线绕一周，再在起点和终点处做好标记，最后拉直，用直尺测量出细线的长度，得到53厘米。
生2：三角形的周长我们用直尺直接测量。先分别量出三角形每条边的长度，再把三条边的长度相加，从而得出三角形的周长为 57厘米。
师：刚才在测量过程中，不管是用线绕的方法，还是用直尺直接测量，其实都是在测量图形一周边线的总长度。（课件动态演示两个图形周长展开下落、化曲为直的过程）测量过程允许存在一定的误差。
师：老师这里还有几个图形，你能估一估它们的周长吗？
教师逐一出示图形，学生想象比划其周长。
出示数据，让学生计算图形的周长。
（三）辨周长：静态到动态，变中识不变，深化理解
数学知识是丰富而多彩的，但呈现在教材中的知识是静态的、抽象的。将静态知识动态呈现，可以把内隐的、压缩的过程直观化、形象化。“辨周长”环节安排了“闯三关”游戏：针对学生的困惑“图形内部线段的长度是否属于周长”进行第一关设计；第二关的设计让学生认识到面积相等的图形，周长可能不等；第三关的设计则让学生认识到面积不等的图形，周长可能相等。在化静为动的技术支撑下，学生在变与不变的比较中，思维从浅表走向深刻，对周长的认知摆脱了面的干扰。
变
不变
面积相等的图形，周长不一定相等
周长指的是图形一周边线的长度
面积不等的图形，周长可能相等
【片断赏析】
1. 第一关：拼一拼
师：一个正方形的周长是 4厘米，如果将两个这样的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形的周长是多少？
生1：一个正方形的周长是4厘米，两个拼在一起，周长就是8厘米。
生2：我不同意，周长是图形一周边线的长度，中间这两条不能算，应该是6厘米。
课件演示两个图形拼成新图形的过程，以及红线围绕边线走一圈的动态过程。
2. 第二关：比一比
师：老师可是会变魔术的。变！变！变！请你在学习单上算一算、比一比，谁的周长最短？
师：比较这些图形的周长，你发现了什么？
生：小正方形个数相同的图形，周长不一定相等。
师：这么有难度的题目你们都能轻松解决，真是厉害！我再多变一些小正方形出来。
3.第三关：移一移
师：现在有 9个正方形，拼成了一个 — —大正方形。这个大正方形的周长是多少？
生：12厘米。
师：继续变。（课件演示移走 1个正方形）现在周长怎么样了？你是怎么知道的？
生1：我是沿着边线一段一段数的，得到这个图形的周长是12厘米。
生2：我是这样想的：新图形右边这一段与原图左边这一段相等，下边这段与上边这段相等，所以周长不变。
课件演示动态平移过程。
师：请同学们伸出手，和老师一起来变魔术。（课件演示移走4个正方形）与原图相比，周长怎么样了？
学生说出结果后，课件验证演示。
师：要使周长不变，除了从右上角移走正方形，还可以怎么取？
生：从任意角上移走正方形，周长不变。
师：魔术过后要有思考。像刚才这样，虽然小正方形的个数越变越少，但是周长始终不变。看来，比较图形的周长，不能光看图形的大小，本质上是看图形一周边线的总长度。
师：现在难度升级，请大家思考一下，在什么情况下，移走正方形周长反而会变大？（生答略）
教学中的变与不变，是一组对立统一的辩证关系。数学教学要在学生已知与未知之间，在自知和他知之间，在认知、情感与元认知之间精心设计“变”的素材、 “变”的情境、 “变”的方式……让学生体会数学的丰富与奇妙。通过比较与对照、探索与交流，变中知不变，变中思不变，变中识不变，在感悟数学本质内涵一致性，发展理性精神的同时，学会观察、分析、表达，提升数学核心素养。
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