度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。正如庞加莱所说，如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间[1]。度量的产生是从我们身边的事物开始的，经历了漫长的时间，承载了由多元到统一、由粗略到精细的发展历程。以前人们一直认为度量只是一个几何概念，涉及长度、面积、体积等；随着对度量的拓展性理解，大家逐渐意识到度量可以计量容积、质量、时间等；随着时代的发展，度量在传统意义“量”的基础上有了进一步的突破，还包括对信息、图像、网络等的量化。度量体现着数学的本质，也成为我们生活和时代发展不可缺少的一部分。
人之所以具有度量事物的能力，是因为人有别于动物的想象力和抽象能力。人类对事物的度量可分为两类：一类是借助工具得到的度量，是人实践的结果；另一类是通过抽象得到的度量，是人思维的结果。这两类的思维方法不同，教学方法也不同。
人们希望把认识世界、表达世界的过程都用一个单位来表示。无论是古代还是现代，无论是中国还是西方，无论是粗略还是精细，虽然人们最初的度量方式不同，但都与身体有关。比如，我们现在所说的“拃”就是中国古代所说的“尺”，是指男人张开的大拇指与中指两端间的距离，女人张开的大拇指与中指两端间的距离是“咫”，成语“咫尺之间”说的就是相差不大。在西方一些国家是用英尺作为度量单位的，如16世纪的德国人，是用脚的长度来度量的——某礼拜日把最早从教堂里走出的16个成年男子集中，测量每人左脚的长度，然后加在一起取平均值，把这个平均值定义为英尺。
随着现代科学的发展，要表达事物的属性，需要引入更小的、更大的单位，如长度单位中的纳米和光年。纳米是1米的十亿分之一，大约有4个原子直径之和的大小。在0.1~100纳米尺度下隔离出来的几个、几十个原子或分子，可以表现出许多新的特性，而利用这些特性制造具有特定功能设备的技术，称为纳米技术。光年是光在真空中一年所走过的距离，约为9.46万亿千米，约是地球到太阳距离的6.3万倍。银河系直径约为10万光年。
在课堂上，学生在了解上面这些度量单位的过程中，可以感受到从远古时期以身体作为度量单位，到纳米之微、光年之遥，度量的发展与人类的发展息息相关，数学与我们生活的整个宇宙紧密相连。
从远古时期开始，人们就创造出很多语言来表达事物量的多少，如打猎获得多少猎物，祭祀用多少祭品等；商代的甲骨文中有一些关于数量的记载，直至今天仍然在使用着，如一粒米、两条鱼、七张纸……
那么，怎样把这些具有现实背景的数量抽象成数呢？
1.自然数是对现实生活中的数量抽象得到的。
曾有教师问：为什么有些学生总是分不清3和4？关于这个问题，首先，要明确：数是一种符号表达，是对数量的抽象；而数量是表示量的多少，如1匹马、2头牛、3个梨……在教学中，让学生经历从数量抽象到数，从感性具体到感性一般，从感性一般到理性具体的思维过程是非常重要的。其次，教师要了解学生的认知过程。一般来说，学生不知道，对于3个苹果、3个梨，我们关注的是其中的数量，而不是苹果和梨本身。要解决这个问题，关键是要把3个苹果、3个梨都抽象成小正方形，把现实背景去掉，让学生经历从感性具体到感性一般的过程。然后再用数字3对3个小正方形进行符号表达（如图1）。
3个苹果、3个梨 → □□□ ←→ 3
图1
基于这种想法，可以考虑如何进行加法教学。如小红有3个苹果，小华有4个苹果，首先把3个苹果和4个苹果与小正方形对应，问学生：（如图2）哪边的小正方形多？学生会回答：右边的小正方形多。由此让学生感悟4个比3个多，进而感悟4比3大。
□□□ □□□□
图2
然后，再拿出1个小正方形放到左边（如图3），问学生：哪边小正方形多？学生会回答：一样多。在这个直观的基础上，就可以向学生解释加法的算式3+1=4[2]，实际上是等号两边的量相等。
□□□←□ □□□□
图3
在此过程中，明白4个小正方形比3个小正方形多是学生的本能，而明白4比3大是一个抽象的过程，是教学的难点。教师需要领会从数量到数，形式上是去掉后缀名词（单位名称），实质上是舍去现实背景，思维上是从感性上升到理性。
2.分数是从事物间数量的关系抽象出来的。
分数既是一种符号表达，也是从两个事物间的数量具有什么样的关系抽象出来的。在分数的学习中，同样也要舍去背景，如1个蛋糕平均分成3份，其中的1份就是这个蛋糕的1/3，这里把背景舍去，变成小正方形，那么1/3就是3个小正方形中的1个（如图4）。
图4
此外，讲分数时一定要强调单位，让学生知道只有在同样的单位下才能比较大小，只有同样的单位才能进行运算。比如，比较1/2和1/3的大小，必须进行通分，把不同单位的分数转化成相同单位的分数；通分后，因为1/2里有3个1/6，1/3里有2个1/6,谁大谁小就很明显了。在比较分数大小的过程中，不仅引出了通分的必要性，同时“分数的分子、分母同乘一个数（0除外），分数的大小不变”在这样的学习需求下也自然而然地产生了。
3.信息的量化广泛应用于社会的生产和生活之中。
把一个图形中的信息告诉学生，让他还原出原来的图形，这是现代信息传输最核心的思想。对二、三年级的学生，可以让他们把一个图形打乱顺序后进行简单的还原；对五、六年级的学生，可以考虑利用平移、旋转进行还原。如《义务教育数学课程标准（2011年版）》附录中的例35，其实就是一个关于信息表达的案例（如图5）。
图5
这里的还原过程，类似于密码的打乱传输过程，为不同的板块标上序号，用平移和旋转描述动作信息（即还原步骤），就可以破解密码，回到问题的初始状态。这个过程就是将信息量化的过程。
代数逻辑和几何直观是衡量儿童数学素养的重要内容。在未来的数学课程中，增强代数逻辑和增加几何直观的内容是非常必要的。
1.增强代数逻辑。
（1）关注四则运算的一致性、运算对象的一致性。
数学是一个统一体，对整数、小数、分数来说，数的运算法则以及加、减、乘、除的算理是一致的，不能说整数、小数、分数，加法、减法、乘法、除法各有各的算理，要体现共通性。比如，除以一个数等于乘这个数的倒数，可以从整数开始讲。如2÷50可以用如下推理过程说明它能表示成2×1/50。
2÷50=a → 2=a×50
2×1/50=a×50×1/50（运算传递基本事实）
2×1/50=a
所以2÷50=2×1/50（关系传递基本事实）
2÷50=2/50（除法可以写成分数形式）
=200/50×1/100=4×1/100=0.04
先把整数除以一个数等于乘这个数的倒数讲明白了，再讲分数除以一个数等于乘这个数的倒数，学生就很容易接受了。之后再讲小数，把小数转化为分数，方法类似。
0.2÷0.05=2/10÷5/100
=2/10×100/5=2/50×100=0.04×100=4
（2）增加两个基本事实。
关系的传递性：a≥b，b≥c；a≥c。
运算的传递性：a≥b，a+c≥b+c。
让学生知道，一个数加上一个自然数不比原来的数小。比如5>0，在不等式的两边同时加上任何一个自然数，不等式的方向不变，即a+5>a。
2.增强几何直观。
（1）增加尺规作图。
小学阶段的度量，通常以方格纸为脚手架。但是如果学生对方格纸过度依赖，将不利于培养和发展他们的空间想象力和几何直观。所以应该在适当的时候将脚手架拆除，增加尺规作图。
以如何得到平行四边形的面积计算公式为例。
首先，学生能够根据给定的边角边作出平行四边形（两边长和角度已经给定，学生用没有刻度的直尺和圆规，画出对应的平行四边形）。要做到这一点，在三年级的时候，学生应有用尺规作三角形的经验积累。如，给定一条线段，作等边三角形；给定两条线段，作等腰三角形；给定三条线段，作三角形。
其次，通过斜压长方形的活动，让学生感悟：边长没有变，但面积变小了。
再次，让学生探究原因，从角到高，猜想平行四边形面积的计算公式。
最后，通过方格纸验证猜想。
（2）了解几何学习中的基本事实。
小学阶段几何有一个基本事实：两点之间，线段最短。一定要让学生知道两点间有无数条连线，其中线段最短，还可以尝试用它来证明三角形两边之和大于第三边。由三角形的两个性质“内角和是180度”“两边之和大于第三边”，猜想四边形会有什么结论，学生对“四边形的内角和是360度”“三边之和大于第四边”等进行猜想和验证，进一步理解两点之间线段最短。
总之，希望小学数学如行云流水一般，每一个概念的学习都能有道理、有需求，能解决实际问题；每一个结论的得出都能由学生自由猜想、发现和发展；每一个结论的表达都能经由学生思考、整合后很自然地呈现。
参考文献：
［1］庞加莱.科学与方法[M].李醒民，译.北京：商务印书馆，2006：74.
［2］史宁中．基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M]．北京：高等教育出版社，2013：21~22.
［本文由孙晶根据史宁中教授2019年10月24日在第十八届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会（山西太原）上所作的报告整理而成］
（作者单位：东北师范大学）
声明：本文刊发于《小学教学》数学版2020年第3期
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