陈省身猜想

天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。

——杨振宁

整体微分几何的重要研究对象之一是几何不变量与黎曼流形或其子流形的结构之间的关系。现代微分几何之父陈省身先生在1968年提出的著名猜想是这方面的一个典型问题。经过50多年的广泛研究，该猜想现表述为：

陈省身猜想(强版本).  单位球面中具有常数量曲率的紧致极小超曲面一定是等参超曲面。

原始版本的陈猜想的提出源于Simons的著名刚性结果：

Simons定理.  对于中的紧致极小超曲面，记为其第二基本形式的模长平方，则。特别地，若，则或。

众所周知，对中紧致常平均曲率超曲面，为常数等价于数量曲率为常数。在极小情形下，Simons定理揭示出的第一间隙的存在性：若有，则。据此，陈省身先生提出：

陈省身猜想(原始版本)[1].  考虑中所有具有常数量曲率的紧致极小超曲面的集合。视数量曲率为该集合上的一个函数，则此函数的像集是离散的。

易知，Simons定理中的极小超曲面即赤道球面。的极小超曲面被陈省身与合作者以及Lawson独立地给出几何刻画，为Clifford环面：。对照中等参超曲面--主曲率为常数的超曲面--的分类，可知它们分别是中不同主曲率个数为1和2的等参超曲面。1982年，丘成桐先生再次在其著名的120个问题集中将陈省身猜想列为第105个问题。1983年，彭家贵和滕楚莲([2])在陈省身猜想上取得首次突破，证明了若，则。特别地，当时，若，则。后来，几何学家逐步将S的第二间隙从扩大到。

事实上，已知的中常数量曲率极小超曲面的唯一例子是等参超曲面。根据Münzner的著名奠基性结论，中等参超曲面的不同主曲率的个数只能是1，2，3，4，6，并且。基于此，1986年，Verstraelen, Montiel, Ros 和 Urbano 提出了本文开头的强版本陈猜想。此方面的后续研究多是针对这个强版本。

1993年，S. P. Chang解决了3维陈省身猜想。事实上，3维情形非常特殊，根据de Almeida和Brito发表在《Duke Math. J.》的文章[3]，在数量曲率为非负常值的情况下，极小的条件可以弱化为常平均曲率：

de Almeida-Brito定理[3]. 设为具有常平均曲率和非负常数量曲率的紧致超曲面，则是等参超曲面。

文章[3]的方法为陈省身猜想的很多后续研究提供了思想框架，几何学家们将de Almeida-Brito定理部分地推广到4维和6维，但是要将其推广到任意维数是有本质困难的，参考Scherfner, Weiss和丘成桐在2012年的综述文章[4]。2020年，我们首先在主曲率各不相等的区域上建立了一个关于主曲率及其导数的关键不等式，克服了一个技术难题。2022年， 我们在发表于《中国科学：数学》英文版的文章[5]中进一步完成了整个超曲面上的积分估计，将de Almeida-Brito定理完全推广到了任意维数，为陈省身猜想的正确性提供了信心：

定理[5]. 设为中紧致超曲面，若满足：(1) 数量曲率非负；（2）主曲率的次等幂和 () 为常数，则为等参超曲面。

注意到平均曲率和第二基本形式模长平方分别对应主曲率的1次和2次等幂和。我们的定理中要求平均曲率为常数，而非严格限制为极小。众所周知，极小这一条件对于超曲面的几何有更强的限制。因此，在极小的条件下，有望将定理中的条件（2）进一步弱化。迄今为止，陈省身猜想仍然是一个极具挑战性的几何难题！

转自：“中国科学杂志社”微信公众号

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