最近几天陆续收到一波一波物理爱好者的留言和提问，他们对磁铁的磁力做功这件事感到困惑，典型的问题有两个：
第一，既然磁铁的磁力可做功，那么这个能量源自何处？
第二，磁力看起来好似可一直做功，若真如此，那岂不成了永动机？
看到“永动机”三字，有人可能有点坐不住了。其实，笔者也不想用这么令人惊悚的词语！但你尽可放心，只要你相信能量守恒定律，这篇文章一定会再次帮你确认——依赖磁铁的永动机是不可能实现的。
温馨提示：阅读本文后面的内容之前，可先阅读本公号之前的一篇文章：“为什么磁力能持久，而人体肌肉却会疲劳？”
功，最基本的物理学概念，它是指质点在力的作用下发生位移的过程中所积累的一种量，简而言之，功就是力的空间积累作用。
对于保守力来说，由于它做功与路径无关，从数学上可以证明，总能找到某种空间坐标的函数，它在某两点的函数差值刚好等于保守力在这两点之间所作的功。
这个函数就是势能，通常用 表示，它与做功 的关系为
所以，只要是保守力，做功与势能增量之和必然为零，也就是，保守力做功的值总等于势能的减少量。
我们所熟悉的保守力，例如静电场力、重力和弹簧的弹力等都是如此。
所以，重物下落为什么越来越快？因为重力势能变成动能了；异号电荷相互吸引而靠近，为什么会加速？因为电势能不断变成动能。而正因为弹簧的弹力是一种保守力，所以弹簧振子的动能和势能之和保持不变。
那么，对于磁铁之间的磁力，做功是否也觉有类似的规律呢？
对下面的部分，如果你不太关心具体细节，你也可以直接跳过。你只需要知道，磁力做功虽然有所不同，但也具有类似的规律，即同样有个所谓的“磁力势能”在随着磁力做功而变化，若它减少，则磁力做正功，磁铁动能增加，反之则磁力做负功，磁铁动能减少。
首先来了解下物质磁性的起源。
根据安培定律，电流之间存在相互吸引或排斥的力，这就是磁性的表现。为了解释物质的磁性，安培提出分子环流假说，即认为磁性物质之所以有磁性，就是因为内部含有大量微小的电流环——分子环流，磁性就是这些分子环流之间的力作用的结果。
每个电流环对应一个被叫做磁矩的物理量，定义如下
它是矢量，大小等于环电流与面积的乘积，方向为电流的右手螺旋方向。
注：磁矩 也可按磁荷观点看作两个相距 的异号磁荷 构成的磁偶极子 ，此时磁场强度与电场强度完全类似，可以证明这个磁矩与电流环的磁矩一致。
按照现代量子理论，磁矩源于分子（或原子）中的电子、质子和中子的磁矩的总体贡献。虽然原子核也有磁矩，但由于核子的质量是电子的1800多倍，所以它的磁矩很小，一般可忽略。电子的磁矩有轨道磁矩和自旋磁矩，后者的贡献是主要的。
当物质分子的总磁矩不为零时，分子就具有磁性。但在一般情况下，由于分子的取向是混乱的，分子磁矩相互抵消，所以物质总体对外不显磁性。只有当物质被磁化后，大多数分子的磁矩取向一致，才形成宏观磁性。
了解了磁性的起源，下面来探究一下磁矩是如何受磁场作用的。
中学物理学过，环电流对应一个小磁针，小磁针的北极指向就是环电流的右手螺旋方向，如下图所示。
根据中学物理知识，小磁针在外磁场中将会受到磁力矩的而转动，最终会使之北极指向外场方向，那么环电流也会转动，其磁矩方向也沿外磁场的方向。
磁矩在外磁场中受到力矩的作用，通过分析通电线圈在磁场中受力可知，磁矩 在磁场中所受力矩为
如图所示，载有电流的线圈处于水平向右的均匀磁场中，其法向与磁场的夹角用 表示。设某段时间，线圈平面的法向方向（电流的右手螺旋方向）与磁场方向的夹角由 变为 。
由力矩做功的规律，这段时间内磁场力做功为力矩对角 的积分。由于角位移的正方向默认为线圈转动的右手螺旋方向，即垂直屏幕往外，而 的方向为垂直于屏幕往内，故有
考虑到磁场均匀，即得
根据矢量的点乘规则，做功结果的原型是
我们看到，磁场对磁矩做功与路径无关——与实际怎么转或转了多少角度均无关，只与始末角位置有关！因此参照保守力的特点，磁场对磁矩做功时，背后也对应一种势能的变化。
仿照保守力的势能的引入方式——其势能的减小值等于保守力做的功，将以上做功 定义为磁力做功前后磁矩势能的减少值，即
若规定当 与 垂直时，势能 为零（类似于保守力的零势能参考点），则得到磁矩在任意角位置 处的势能为
这就是磁矩的势能。可以看到，当磁矩与磁场平行时，势能最小；而磁矩与磁场反平行时，势能最大。根据能量最低原理，磁矩会尽可能的与外场方向一致。
以上是在均匀磁场中分析的，如果磁场非均匀，上述势能的结果还是适用的，即：磁力对磁矩做功的值总等于磁矩势能的减少值！
例如，当磁铁b被固定的磁铁a吸引过来时，虽然b上各点的磁场B 越来越大，由于磁矩与磁场同向，考虑到势能表达式中的负号，b内部各个磁矩对应的磁矩势能越来越小，磁矩的势能被转化成磁铁b的动能。
而当磁铁b受排斥力远离磁铁a而去时，由于磁场越来越小，而此时磁矩与磁场反向，同样导致势能较少，所以也导致磁铁b的动能增加。
至此你明白了：磁铁的磁力之所以能做功，是因为相互靠近的磁铁一起具有共同的磁矩势能，做功就是拿这个势能作代价换来的。磁铁的磁力能作多少功，取决于两个相互作用的磁铁前后的势能差。
为了更好的理解，同时消除某些人对磁力的神秘看法，下面来推导一下磁铁之间磁力的规律。
将势能的增量与做功的关系变成微分形式
将 写成全微分形式，两边对比可知
根据前面得到的磁矩势能表达式，磁矩 受力为
这就把磁力落到实处了，磁力板上钉钉了！
但这个力看起来是有点复杂啊！咋办？
本文的主题是为了探讨两块磁铁的磁力相互作用的规律，目的只是为了说明磁力对磁矩做功对应势能的变化，所以没必要讨论一般的情形，我们可把问题简化一点。
考察两个圆柱形磁铁a和b。考虑一个很小的常量磁矩 ，它是磁铁a（未画出）中的某一个分子磁矩，如图中左边的环。
设磁铁a的N极靠近磁铁b的S极，则该磁矩 的方向沿z轴正向，与磁铁b共轴，则上面力的表达式中 即为 ，故力只有z分量
据此可知，与磁场同向的磁矩将受到指向磁场增大的方向的力。既然该磁矩实际是磁铁a中的一个分子环流，那么自然的，所有类似的分子环流受力后，将带着磁铁a向磁铁b加速运动。磁铁a受到指向磁铁b的力——它俩相互吸引了！
显然，当磁铁a的S极靠近磁铁b的S极时，力的表达式与上式只相差一个负号，即磁铁a受到背离磁铁b的力——它们相互排斥了。
不知道各位看官意识到没有，原来磁铁之间的作用力其实是由磁场的不均匀性导致的！
实际上，若磁场是均匀的，放在其中的电流线圈实际总体上并不受合外力的作用，当然，力矩作用依然存在。
按此理解可知，之所以磁极之间同性相斥、异性相吸，也是因为磁场的不均匀性导致的。
当然，理论上讲，你也无法制造出拥有均匀磁场分布的磁极，所以你也无法实现“同性不相斥异性不相吸”的作用效果。
下面再来具体验算一下上述例子中的磁力做功与势能变化的关系。
设磁铁排斥力做功，磁矩 与磁场方向相反。设做功前后位置的磁场大小分别为 和 ，前者大后者小。则该过程磁力做功为
而根据势能的表达式，势能的增量为
二者互为相反数，刚好符合之前的规律：磁力做功等于势能的减少值！
总之，功是能量转化的量度，任何力既然能做功，必然存在能量来源。磁力做功的这个能量来源现在找到了，它就是系统的势能，并不是无中生有的。
到此，本文的第一个问题解答完毕。
至于第二个问题，也就自然而然的解决了，具体请看下文。
根据前面关于做功与势能的关系，你若想磁力做无限多的功，那就要求前后两个位置之间的势能差是无限大！也就是磁场相差无限大！但空间任何一点的磁场，最小是零，最大不会无限大，它们的差值无论如何也不会无限大，所以做功也不可能是无限大。
实际上，重力做功也是类似的，你想让重力做更多的功，你就必须让物体前后的落差尽可能更大，但地球上的最大落差并不以你的意志为转移。珠穆朗玛峰顶和马里亚纳海沟之间的差距也就8848+11034米。
其实很多人有一种想法：持久的力作用就会导致持久的做功。这该有多大的误解！力持久作用，那只能说明力的冲量无限大嘛，而功是力在空间上的积累啊！时间无限不代表空间上无限，所以怎么能做无限多的功呢？
还有一种想法认为，两个磁铁排斥，理论上讲，被排斥的那个将会一直运动下去，最后达到了永动的效果。没错，的确是永远运动了，但此“永动”却非彼“永动”！因为它只是做匀速直线运动，它的能量其实就那么一点。
例如，很多人见过类似下面这种所谓“永动”装置。拜托，它能完全消除摩擦力吗？如果真能消除，那干嘛不直接做一个永远旋转的陀螺呢？例如地球不就是一个无限旋转的超级大陀螺嘛！
如果这算永动的话，那没有摩擦的情况下，角动量守恒定律、牛顿第一定律不提供了无数个“永动”的案例吗？例如，宇宙中每颗自转的天体都可看作“永动机”了。
其实这是对“永动”一词的误解，历史上的“永动”主要有两种。
第一种，机器一直运动，无论你怎么从它身上揩油抽血，它都慷慨的给予你，它的能量总够你用，因为它能不断地创造更多能量，所以它的效率超过100%，这显然违反能量守恒定律的，所以不可能实现。
第二种，你可以从一个系统不断地获取更多能量，即使它的温度已经非常低了。例如，你可以不断从海水中攫取能量，这显然违反热力学第二定律，所以也无法实现。
除此之外，还有人这样想：让一块磁铁反复被吸引或排斥做功，经历无限多次，这样就积累了无限大的功。可问题是，你得反复将那个磁铁又重新拿回原处啊，而这需要克服磁力做功啊，这不是等于把能量又耗掉了吗？
还有人提出，如果让远处无数个磁铁都因受吸引力奔向某个大的磁铁而来，这样就可获得无限多的功。这个想法就好比是，你希望地球上所有高处的水都流向同一个水轮机，然后你可以发很多很多的电。这只能是白日梦，它等同于你希望全世界的人都捐你一毛钱，然后你就成亿万富翁了。
曾经有人问，如果拥有了一节永远用不完的5号电池，算不算拥有了永动机？这个问题就留给诸位自己想想吧。
来源：大学物理学
转自：“中科院物理所”微信公众号
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