JMPS：百变六角环：多稳态带来的奇妙变形

折叠结构在日常生活和工程实践中有着广泛的应用，例如雨伞、折叠椅、折叠帐篷、折叠天线等。然而，大多数的折叠结构都是折叠成二维或者三维的形状，很少有能够折叠成一维形状的折叠结构。

图1：曲边六角环的四种稳定构型及其转换路径。

近日，斯坦福大学赵芮可教授团队提出，并与哈佛大学John W. Hutchinson院士合作研究了一种能够折叠成直线构型的曲边六角环结构。通过设计曲边的自然曲率，这种六角环还能够具有多个不同的稳定构型（图1所示）。并且，结合理论建模、有限元仿真和实验系统地研究了曲边六角环的稳定特性和不同稳态之间的转换机制。在此基础上，设计出了一种具有四个不同稳定构型的曲边六角环折叠结构（视频1）。该结构相关工作最先发表在美国机械工程师学会会刊Journal of Applied Mechanics，其多稳态的系列研究成果发表于固体力学旗舰期刊Journal of the Mechanics and Physics of Solids。（想制作一个这样的百变六角环吗？制作方法请参考文末视频）

视频1：曲边六角环四个稳定构型之间的相互转换。

图2：直边六边形环和曲边六角环的折叠。

该研究受启发于直边六边形环的折叠。如图2所示，直边六边形环可以在外力作用下折叠成一个三圈重叠的桃核形结构。研究团队发现如果将桃核形结构的边缘曲率赋予初始的六边形环，得到的曲边六角环可以折叠成一个直线构型。为了更深入地研究这一现象，研究团队首先基于理论建模和有限元仿真研究了不同边缘曲率对曲边六角环折叠行为的影响。从图3中可以看到，对于不同的边缘曲率，曲边六角环可以在外部载荷作用下发生突跳失稳（snap-through instability）而转换成不同的稳定构型。并且, 当边缘曲率大约在−1.8左右（圆弧对应的圆心角大约为120°）时，曲边六角环可以折叠成一个三层重叠的直线构型，其收纳比也达到最低。值得一提是这个比例与曲边六角环尖角处的圆角半径有关，当圆角半径为零时，曲边六角环理论上可以折叠成一个面积为零的直线。相关内容以“Curved ring origami: Bistable elastic folding for magic pattern reconfigurations”为题，发表于Journal of Applied Mechanics。斯坦福大学博士生戴继泽为论文第一作者，赵芮可教授为论文通讯作者，博士后鲁璐和博士生Sophie Leanza以及哈佛大学John W. Hutchinson院士为论文共同作者。

图3：不同边缘曲率的曲边六角环的（a）折叠构型、折叠过程中的（b）弯矩和（c）能量曲线以及（d）收纳比。

团队进一步研究后发现，当改变曲边六角环的自然曲率（将环断开后自然状态下的曲率）时，曲边六角环可以在外部激励作用下转换成多种稳定构型，例如星形构型、雏菊构型、直线构型以及8字构型（如图1所示）。为了厘清自然曲率对这些不同构型稳定性的影响机理，研究团队基于能量变分方法对上述四种构型分别进行了稳定性分析，发现这些构型的稳定性取决于其自然曲率的大小以及横截面的形状。具体来说，当这些构型具有圆形或方形横截面时，它们只能在特定的曲率范围内各自稳定，而不能与其他构型相互稳定，即只能单稳态存在。当横截面为矩形并选取合适的自然曲率时，这些构型之间可以两个、三个甚至四个同时稳定。图4所示为具有矩形截面的四种不同构型的稳态相图，从中可以看到随着横截面纵横比（h/t）的增加，这些构型能够稳定的曲率范围逐渐增大。当h/t>3.4时，这四种构型在特定曲率范围内能够同时稳定。例如，对于横截面纵横比为4的曲边六角环，当其无量纲自然曲率在（0.63，0.75）范围内时，四个构型同时稳定，即具有四个稳态。相关内容以 “Multiple equilibrium states of a curved-sided hexagram: Part I—Stability of states” 为题，发表于Journal of the Mechanics and Physics of Solids。斯坦福大学博士后鲁璐为论文第一作者，哈佛大学John W. Hutchinson院士为论文通讯作者，斯坦福大学博士生戴继泽和Sophie Leanza以及赵芮可教授为论文共同作者。

图4：曲边六角环的四种不同构型的稳态相图。横坐标表示横截面纵横比，纵坐标表示无量纲自然曲率。虚线表示自然曲率等于初始曲率，对应结构的初始无应力状态。

最后，研究团队还基于Kirchhoff杆理论建立了分析多稳态曲边六角环不同构型相互转换的理论模型。利用该模型，研究了曲边六角环四种构型在稳定范围内不同自然曲率下的转换规律，结果得到了有限元仿真和实验的完美验证。研究发现，这几种构型之间的转换不仅取决于自然曲率的大小，而且还与外载荷的施加位置有关。如视频2所示，对于星形构型，当其无量纲自然曲率在（0.03，0.25）之间时，它总是折叠成直线构型；在（0.38，0.78）之间时，它总是翻转到雏菊构型；而当在（0.26，0.37）之间时，星形构型在尖角处弯曲时会转换到直线构型，在曲边处弯曲时会转换到雏菊构型。类似的现象也存在于雏菊构型和8字构型中（视频2和3）。对于直线构型，其总是转换成8字构型（自然曲率为正时，8字构型中间部分的边会交叉）。基于这些发现，研究团队制作了一个无量纲自然曲率为0.65，拥有四个稳定构型的曲边六角环，然后给出了其四个构型之间相互转换的加载策略，并通过实验对其进行了验证（曲边六角环的转换过程如视频1所示，其制作方法可参考视频4）。相关内容以 “Multiple equilibrium states of a curved-sided hexagram: Part II—Transitions between states” 为题，发表于Journal of the Mechanics and Physics of Solids。斯坦福大学博士后鲁璐为论文第一作者，赵芮可教授为论文通讯作者，斯坦福大学博士生戴继泽和Sophie Leanza以及哈佛大学John W. Hutchinson院士为论文共同作者。

视频2：曲边六角环的星形构型和雏菊构型在不同自然曲率范围内的构型转环。

视频3：曲边六角环的直线构型和8字构型在不同自然曲率范围内的构型转换。

视频4：曲边六角环的制作过程。

论文信息：

JAM论文链接：https://doi.org/10.1115/1.4062221

JMPS论文Part I链接：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2023.105406

JMPS论文Part II链接：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2023.105407

转自：“知社学术圈”微信公众号

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