要如何计算三角形、圆形、矩形等形状的面积？回顾中学时期的数学知识，你或许会记得，我们是用代数公式来计算这些不同形状的面积的。比如矩形的面积是“底 × 高”，三角形的面积是“1/2 × 底 × 高”，圆的面积是“π x 半径²”……
但如果我们上的是古希腊的数学课，那么学到的可能就会是一些非常不同的东西了。如欧几里得等古希腊数学家认为，面积是几何，而非代数。在欧几里得的经典著作《几何原本》中，就记载了他的这种几何视角。几个世纪以来，它一直影响着许多研究项目，甚至影响着今天的数学家。
现代数学家把欧几里得的“面积相等”概念称为“剪刀全等”。这个基于形状的剪切，然后以不同的方式将它们粘贴在一起的想法，激发了面积计算之外的一些有趣数学。它凸显了几何中的经典问题，是如何在抽象的现代数学这个陌生世界中，找到新的生命的。
欧几里得的面积概念
现如今，人们认为一个形状的面积是一个可以用代数公式或微积分计算出来的数字。那么当我们说，古希腊时期的数学家将面积看作一种几何的东西时，意味着什么？
设想一下，你有一把剪刀、一些胶带和一张纸，你被要求通过直线剪切的方式，用这整张纸做出一个全新的平面二维形状。你要做的是用剪刀将纸剪成一堆碎片，然后开始移动这些碎片，你可以旋转、翻转它们，然后将它们粘在一起，拼成一个新的形状。
用剪刀和胶带能把一个五边形做成什么形状？（图/Maxine Calle, CC BY-ND）
通过使用面积的代数公式，就可以算出，新形状的面积等于纸的原始面积。无论如何剪切一个二维形状，只要所有的碎片最终都被无重叠地粘在一起，新形状的面积和原本形状的面积就总是相等的。
弯曲的剪切或重叠的碎片被拼凑在一起是不被允许的。（图/Maxine Calle, CC BY-ND）
对欧几里得来说，面积是通过几何上的“剪切和粘黏”维持不变的度量。用他的话来说，创造的新形状和原来的那张纸是“等同的”。用今天的数学家的话来说，这两个形状是“剪刀全等”的。
新形状可以是什么样子的？由于我们只能进行直线剪切，所以它一定是个多边形，也就是说没有一条边会是弯曲的。
一个问题是：我们能否做出任意多边形，其面积与原始纸张都相同？令人惊讶的是，答案是肯定的，这甚至还有一本从19世纪流传下来的指南，可以一步一步地教我们该如何做。
换句话说，对多边形来说，欧几里得的面积概念与现代的完全相同。事实上，在我们可能不知情的状况下，就在计算当中使用过欧几里得的面积概念。
例如，我们可以用剪刀全等来计算五边形的面积，通过把五边形剪切成一些更小的三角形，就可以用“1/2 × 底 × 高”求出这些三角形的面积，然后把它们加起来，得到最终答案。
把五边形剪切成更小的三角形，可以更容易地计算五边形的面积。（图/Maxine Calle, CC BY-ND）
希尔伯特第三问
剪刀全等的最臭名昭著的“案例”，可能出现在大卫·希尔伯特的问题清单上。一个多世纪前，希尔伯特提出了23个20世纪最重要一些的数学问题。在这23个问题中，有些已经解决了、有些仍有待解决，还有一些已经被证明是无法解决的。
第3个问题是第一个被解决的问题，它与剪刀全等有关。在这个问题中，希尔伯特问的不是二维的多边形，而是三维的多面体。具体来说，他问的是：对于任意两个等体积的多面体，是否总能将其中一个多面体切割成有限多个多面体，再重组成另一个多面体？
希尔伯特的学生Max Dehn在问题提出的一年内给出了答案。
只有五个柏拉图多面体，它们的面都是相同的多边形。（图/Maxine Calle, CC BY-ND）
Dehn对这个问题给出了与二维情况非常不同的解。他指出，当多面体被剪切时，体积并不是唯一维持不变的东西。还有另一种维持不变的度量，它是由多面体的边的长度，和面与面之间的角度构成的，这种度量现在称为Dehn不变量。
如果两个多面体剪刀全等，那么它们必须有相同的Dehn不变量。所以，如果能找到两个体积相同，但Dehn不变量的值不同的多面体，就证明了希尔伯特第三个问题的答案是否定的，即剪刀全等并不能精确地描述三维体积。
这正是Dehn所做的，他证明了一个有着相同体积的立方体和四面体，却有着不同的不变量。这意味着不可能把一个四面体剪切成有限数量的碎片，再重新组装成一个体积相同的立方体。
体积和Dehn不变量是我们所需知道的全部吗？如果两个多面体拥有相同的体积和相同的Dehn不变量，这是否就表明它们是剪刀全等的？数学家又花了60年才回答这个问题。1965年，瑞士数学家Jean-Pierre Sydler证实了答案是肯定的，为剪刀全等写上了终章。
奇怪的形状和奇怪的关联
但故事并没有就此结束。数学中的形状可以存在于更高的维度中，比如4维、100维、3485维，甚至任何你能想到的维度，但这些都是不可能可视化的。一个活跃的新研究领域被称为广义剪刀全等，它试图揭示希尔伯特关于剪刀全等的问题是否也可以对这些奇怪的形状进行描述，甚至可能被解决。
数学家也在研究一些其他奇怪的几何，比如双曲几何和球面几何。（图/Maxine Calle, CC BY-ND）
然而现在，两个东西是否是剪刀全等的含义，已经变得复杂得多。希尔伯特和Dehn关心的是体积和角度之类的东西，别的数学家则要将这些物理特征换成一些不那么真实、有形的东西。
最近，由数学家Jonathan Campbell和Inna Zakharevich发起的一个研究项目，为广义剪刀全等提出了一个统一的框架。这个框架使用的是一个非常抽象、看似完全无关的数学工具包——代数K理论，建立的。
K理论的核心思想是，数学对象可以通过它们是如何被分解成基本的组成部分来理解的。稍作调整，数学家就可以利用K理论的机制，将其应用于广义剪刀全等问题。
对K理论的使用，重新构想了剪刀全等问题，为未来的研究打开了大门。但归根结底，剪刀全等是一个具体的概念，不需要多么花哨的数学才能理解——只需要一点耐心、创造力、一把剪刀和很多胶带，就可以了。
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