最小二乘二维圆拟合方法在海上风电打桩垂直度监测中的应用
吴 昊1 付 东2
(1. 中铁第六勘察设计院集团有限公司, 天津 300308;2.交通运输部天津水运工程科学研究所, 天津 300456)
［摘 要］ 海上风电单桩基础垂直度监测,通常依靠“水平尺法”和“经纬仪扫边法”两种测量方式。受制于没有严密的数学算法作为支撑,此两种方法均不能得到科学严谨的测量数值,只能作为施工中的辅助参考。利用钢管桩为标准圆形的特性,提出了一种利用“上下截面圆拟合”计算垂直度的新方法,论证了二维水平圆拟合在垂直度监测中的可行性。根据观测点距圆心距离的平方和为最小的特性,推导了基于二维水平圆拟合的最小二乘法公式,并对公式进行了线性化处理,便于进行计算机编程等软件开发。将本文算法在海上风电场施工中进行了实际检验应用,与最终验收测量结果进行了比对,拟合计算得钢管桩垂直度为p=3.056‰,电子水准验收测量得垂直度p=3.012‰,验证了算法的精确度和可靠性。
0 引言
我国海上风资源储量丰富[1]。江苏、福建、广东等东部、南部沿海地区具有优良的海上风电规模化开发建设条件[2]。近年来,我国海上风电装机提速明显[3]。目前已经应用的海上风电基础施工方案有:单桩基础、多桩基础、重力式基础等[4],其中单桩基础因其施工方便、造价相对较低等优点,是目前海上风电基础的主要类型。单桩基础为直径3～7 m的钢管桩,通过击打插入海床下40～60 m,以此为基础上安装风机塔筒和扇叶[5]。因为需要承载上部风机塔筒和扇叶,所以单桩基础的安装垂直度要求极高,一般为3‰～5‰,这就需要在打桩过程中密切监测其垂直度变化。海上打桩如图1所示。
图1 海上打桩
1 传统垂直度测量方法
常用的单桩基础垂直度监测方法主要有“水平尺测量法”和“经纬仪扫边观测法”两种方式。
1.1.1 水平尺测量法
在钢管桩某标尺刻度线处烧焊一块预制的平整钢板,钢板上提前在8个方向刻画方位线。使用电子水平尺沿刻画方位线测量得到8组倾斜数据,取其平均值作为此时刻钢管桩的倾斜度数据,如图2所示。
图2 水平尺法
1.1.2 经纬仪扫边观测法
使用两组经纬仪,按照90°的方向分列在钢管桩的两侧。以目镜十字丝竖丝沿钢管桩外侧边线上划或下划,在某一高度估算钢管桩边线偏离竖丝的距离。然后将目镜中估算的偏移距离,按照经纬仪距钢管桩平距比例尺,换算成实际偏移距离,继而可以估算出经纬仪方向的钢桩倾斜度。两台经纬仪分别可以估算出正交方向上的两个倾斜度,作为钢管桩的纵倾和横倾数据,如图3所示。
图3 经纬仪扫边法
“水平尺法”测量时需要提前预制钢板,并且需要打桩作业暂停,在影响作业工期的同时,只能得到没有方向的倾斜数据标量;“经纬仪扫边法”需占用至少两组人力观测,且存在较大的目估误差,不同技术水平和熟练程度的观测者所得到的倾斜数据差异较大。上述两种方法都没有严谨的数学计算作为依据,受观测者经验、技术等主观因素影响较大,只能检核打桩过程中是否有明显倾斜错误,不能得出准确的倾斜数据和方向来控制施工步骤。
当钢管桩被击打至设计高度后会进行验收测量,验收人员使用高精度水准仪测量钢桩顶部法兰面螺孔轴线的高差,计算出法兰面的水平度均值,以此来评定钢管桩的垂直度。因为“水平尺法”和“经纬仪扫边法”只能定性,不能定量,所以往往会出现法兰面水平度不达标,只能再采取“切割坡口”等二次调平工艺。
2 上下截面法垂直度计算原理
钢管桩的尺寸通常设计为标准圆柱形,按照目前的卷板焊接工艺,其圆度差一般都能够控制在2 mm以内。如果能获取其任意两个截面圆形的圆心三维空间坐标,即可以计算出其倾斜角度和倾斜方位角。所以,可以通过测量计算其不同截面的圆心三维坐标来推算其垂直度。
如图4所示,分别测量钢管桩的上、下两个圆截面,通过算法拟合得出两个圆截面的圆心坐标(X1,Y1,Z1)和(X2,Y2,Z2),则两圆心空间连线长度l和水平投影长度d,计算如式(1)和式(2)[6]所示。
图4 垂直度计算原理
(1)
(2)
根据上式可计算得垂直度,如图4所示。垂直度p为
p=d/l
(3)
理想状态下,全站仪观测的上、下两个圆截面应为钢管桩的垂直正切截面,但是在实际建造中,钢管桩上并没有准确且明显的截面刻画线[7]。在水上打桩施工期间,受工期、人力和船舶施工条件所限,一般很难再为钢管桩标注截面刻画线。而全站仪在某一水平高度处观测圆形是容易现实的,只需要使所有观测点都处于相同的高程即可。因为钢管桩的垂直度要求极高,一般为3‰～5‰[8],所以在此限差范围内水平圆与标准截面圆是非常接近的。因为在全站仪固定设站时,上、下水平圆所受的变形影响是一致的[9],则其圆心连线与标准截面圆的圆心连线处于平行状态,即水平圆心连线的垂直度等于标准截面圆心连线[10],所以从几何角度来讲,使用水平圆拟合来代替标准正切截面圆拟合是合理的,如图5所示。
图5 水平圆与正切圆连线平行
因为钢管桩为圆柱形,所以同一水平高度的截面圆形上观测点距全站仪的水平距离是不同的[11]。观测点距全站仪越近,其相同高程的垂直观测角度也会越大[12]。所以在实际测量中,需要不断调整垂直观测角度,使视野内所有的观测点高程一致。但是,不同于陆地圆柱物体测量,可以通过多次设站观测整个水平圆截面。海上打桩过程中受施工场地限制,在保持架上只能观测部分圆截面,容易受到数据偏离干扰,所以拟合算法就成为整个技术的关键,如图6所示。
图6 打桩过程中的钢桩观测点
3 最小二乘拟合算法
最小二乘法又称为最小平方法,是一种数学优化技术。把真实目标对象与拟合目标对象的差值称为误差,则通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配,即为最小二乘法[11]。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合,对于平面中的n个点,可以使用无数条曲线来拟合,要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条曲线处于样本数据的中心位置最合理。选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。
平面圆方程式为
(X-XC)2+(Y-YC)2=R2
(4)
根据最小二乘法原理,圆曲线上的观测点至圆心距离的平方和应为最小[13]:
(5)
为方便计算得到解析解,将式(5)等价为另一种形式为
f=∑[(Xi-Xc)2+(Yi-Yc)2-R2]2
(6)
定义一个新的辅助函数g(X,Y)g(x,y)为
g(X,Y)=(X-Xc)2+(Y-Yc)2-R2
(7)
则(6)式可以写为
f=∑g(Xi,Yi)2
(8)
根据最小二乘法原理,f取极值时应有
但实际上圆半径R值不会是0[14],所以必然有∑g(Xi,Yi)=0。
为了进一步求解,定义4个参数有[15]:Ui=
其中,
则将两式展开为
(9)
进一步展开为
(10)
因为∑Ui=0,∑Vi=0,所以式(10)可以简化为
(11)
定义参数有:Suuu=∑Ui3,Svvv=∑Vi3,Suu=∑Ui2,Svv=∑Vi2,Suv=∑UiVi,Suuv=∑Ui2Vi,Suvv=∑UiVi2,则上式可以改写为
(12)
则,可以解出Uc和Vc[16]
(13)
则有:
圆心Z坐标有Zc=∑Zi/N。
对于半径R,有式为
(14)
则有
R2=∑[(Xi-Xc)2+(Yi-Yc)2]/N
(15)
至此,就用观测点拟合出了圆心(Xc,Yc,Zc)、(Xc,Yc,Zc)和半径R。
4 工程实例
三峡新能源阳西沙扒300 MW(兆瓦megawatt,常用来指发电机组在额定情况下单位时间内能发出来的电量)海上风电场工程场址,位于广东省阳江市阳西县沙扒镇附近海域,场址面积约50 km2,外围风机包络海域面积约为43.2 km2,场址水深范围为27～32 m,中心离岸距离约28 km。工程规划总装机为700 MW,一期装机容量为300 MW,拟布置55台5.5 MW 的风电机组,配套建设陆上集控中心及租用运维码头,同时配套建设220 kV 海上升压站一座。在55个机位中,38个非嵌岩机位采用定位架单桩基础,17个嵌岩机位采用三桩基础。定位架单桩基础主要参数如下:半径1.2 m,桩中心距22 m,桩长约79.2 m,平均入土深度约72.4 m。定位架单桩基础如图7所示。
图7 定位架单桩基础
从单桩上选取视野良好的上、下两个观测截面,如图8所示。
图8 上下观测截面
下截面共观测10个点,如表1所示。
表1 下截面观测数据
上截面共观测8个点,如表2所示。
表2 上截面观测数据
由表1、表2可见,下截面拟合圆半径与设计半径差值为4 mm,圆度差最大值为15.2 mm;上截面拟合圆半径与设计半径差值为0.6 mm,圆度差最大值为14.8 mm;上、下截面的观测点所拟合圆形与设计圆形符合良好,满足20 mm的圆度差要求;通过上下截面拟合圆心计算得垂直度p=3.056‰。具体如图9所示。
图9 拟合圆
为了验证所计算垂直度的准确性,使用DS05电子水准仪对钢管桩顶部法兰平面进行了12个螺孔轴线的高差测量,计算得垂直度均值为p=3.012‰。可见,本文算法与验收测量结果基本一致,解决了传统监测方式“只能定性、不能定量”的弊端,由过去的“半盲打、等待最终结果”,转变为“可以实时精确监测击打过程中的倾斜度”,便于施工方及时调整击打角度,避免了“二次调平”,甚至废桩等事故的发生。
5 结束语
本文从海上风电单桩基础垂直度监测的实际需要出发,讨论了圆心拟合方法在垂直度监测中的可行性。根据实际施工条件,提出了二维水平圆拟合的解决方案,根据圆曲线上点至圆心距离最短的原理,利用最小二乘法,推导了具体计算公式,并对非线性公式进行了线性化处理,方便计算机编程。将本文算法在工程实例中进行了实地检验,通过与钢桩设计半径、桩顶法兰水平面倾斜度等数值进行对比,验证了本文算法的精确度与可行性,为海上风电单桩基础打桩垂直度监测提供了一种可靠的方法。
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引文格式: 吴昊,付东.最小二乘二维圆拟合方法在海上风电打桩垂直度监测中的应用[J].北京测绘,2023,37(5):795-800.
基金项目：中央级公益性科研项目(TKS20220403)
作者简介：吴昊(1984—),男,山东日照人,硕士,高级工程师,从事海洋测绘勘察、地理信息系统研发等工作。
E-mail:geowuhao@163.com
转自：“测绘学术资讯”微信公众号
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