以下文章来源于量子材料QuantumMaterials ，作者Ising
东坡引·雨荷
栈齐三尺水。园深渚莲洗
珠无丽色颜无比
貌容淋恣意。貌容淋恣意
若邻碧绿倚，一泓知己
那绰约、晶莹里
任凭雨打天然系
芳华留住你。芳华留住你
大多数人应该同意，凝聚态最核心的内涵是能带。能带概念，用费米面附近电子占据的形态及带隙大小来规范万物，最能体现固体所具有的量子性质。从将固体粗略分为金属、半导体和绝缘体开始，到运用各种内禀参量和外场 (包括温度场) 去激励调控能带，再到立足于能带整体拓扑性质构建拓扑量子物理，固体能带的研究日久弥新，不断有崭新的、更新的、细致的报告发表。物质科学中，大概没有多少概念能比费米面附近的能带更深入人心。Ising 不懂能带理论，只是凭借这些年道听途说的粗浅概念，贸然在此粗言妄语，读者不必太过当真。
纯粹从有无带隙 Δ 和费米能 EF 高低角度去讨论，金属、半导体和绝缘体三类之半导体，其实可归属到绝缘体中去，如图 1(A) 所示。在低温区间，这种归属更为靠谱。半导体之所以被划拨成特别一类，乃是因为无带隙的金属和大带隙的绝缘体，在我们心目中都稍显平庸或 boring。这里说“boring”是有前提的，不是说它们不物理、不新颖。它们都有自己的学科领域，各自内涵也很丰腴。相对而言，半导体表现得“更多维、更有趣、更堪用”，原因之一是半导体的带隙小 (Δ ~ 1.0 eV 或更小)；原因之二是半导体的费米能 EF 也不太高，很多手段可够得着。事实上，室温下的热涨落 (温度)、日常触手可及的各种内禀变量和外场激励 (光、电、磁、力等)，如果施加于半导体上，通过与电子某个自由度 (电荷、自旋和轨道) 耦合，引入的能标大致就在 ~ 1.0 eV 左右，从而赋予半导体很多物理效应。
相比之下，金属和绝缘体则相对平庸。一般金属，没有带隙，且费米面处态密度 (以下略称态密度) 太高而导致费米能 EF 也很高。由此，主导金属载流子输运的是巨大的动能和动量，难有与之竞争共生的对手。这也是为何物理人动不动就用那个孤独求败的 Drude 理论去刻画金属电子输运。对绝缘体 (例如 Δ > 3.0 eV)，费米面位于带隙内，附近的物理就更 boring 了：电子位于价带中，一动不动，啥也不能发生。幸亏绝缘体晶格还有声子，还有对称性破缺引入的铁电和光极化这些“经典”物理，才使得绝缘体不至于平庸不堪。
图 1. 固体电子能带的物理基元：(A) 固体物态的简单划分；(B) 固体电子的自由度 (内核)、操控手段 (中环) 和物理效应 (外环)；(C) 电子关联调控固体能带的一些例子，包括 Mott 绝缘体的能带重构。
(A) https://energyeducation.ca/encyclopedia/Band_gap。(B)(C) Y. Zhou et al, Mott memory and neuromorphic devices, Proceedings of the IEEE 103, 1289 (2015), https://ieeexplore.ieee.org/document/7137616。
从调控能带角度去讨论，如图 1(B) 所示，除了外场外，内禀参量调控最受关注的，可能就是电子关联了。固体中的关联，被重点关注的能标范围是 1.0 ~ 3.0 eV 之间 (如 Hubbard U)。这个范围就是奔着半导体能隙而去的，产生的后果就是将原来的能带劈裂成一个个更窄的能带、更小的能隙，费米能 EF 也降低很多。这，让那些小能标物理有机会参与能带调控、影响材料物性，如图 1(C) 所示。如此物理，让量子凝聚态和量子材料风花雪月数十年，也被电子关联风霜雪雨吹打数十年。到今日，量子材料人想要更加精致地调控带隙大小和费米能高低，最好是带隙处于开合之间、费米能处于举手可及之处。
要做到这一点，只靠电子关联，因缺乏足够的自由度和灵活性而难以达到，还需要更巧妙的物理来实现之。怎么能更巧妙呢？这里遭遇到理念和技术的挑战，其中难度非物理人大约难以体察。很幸运，这一难度似乎在拓扑量子材料中得以排除。拓扑量子态，虽然本身物理足够深邃而寥廓，但能带调控也算别有洞天。Ising 作为外行，看到的是费米面附近能带交叉 (包括狄拉克点、Weyls 点、节点 / 线 / 面) 带来的潜力。图 2(A) 给出了两个例子，简单直观。这种能带交叉，让物理人有机会去窥探能隙开合带来的变化及后果，包括费米能高低、费米面附近能带的花样与对称性、能带交叉节点 (nodal) 的维度与形态，等等。
这些物理，在传统金属和绝缘体那里不大可能存在。以拓扑绝缘体为例，很多拓扑绝缘体原本就是好的热电半导体，本征态密度不高 (也即 EF 不高)、能带 Δ 一般小于 1.0 eV。此时，要对能带进行操控不是难事。此外，拓扑绝缘体还外带一个拓扑保护的金属表面态。它本身虽然导电性可能很棒 (迁移率高、无耗散)，但因为表层体积太薄，对整个体系电导的贡献微弱。所以，拓扑绝缘体也就是体内有点绝缘、体表有些金属的“坏金属 (bad metal)”、或带隙近于闭合的“半导体”。
类似的 argument，也可用到外尔半金属和其它拓扑半金属上。这些半金属，只在布里渊区某些高对称点处才存在能带交接，整体而言态密度和 EF 都不高，属于小能标物理能够尽情发挥的场所，如图 2(A) 所示。特别是磁性拓扑半金属，因磁性导致的能级 shift，费米能级和态密度可能更低。有些半金属，如外尔态，表面存在费米弧，但此弧对整体导电性的贡献也未必突出，除非材料尺度缩小到几个纳米。现在，我们终于拥有带隙处于开合之间、费米能处于相对低位的“半导体”或“坏金属”了。它们与传统半导体或电导不佳的坏金属不一样，很小的内禀扰动或外场驱动，就足够操控费米面及附近能带，使其形变、撕裂、折叠、甚至重组。图 2(B) 所示即为一个简单例子：即便只是单纯 shift 费米能 EF，费米面处的能带拓扑就可能完全不同 (也就是会发生本文论及的 Lifshitz 相变)。从这个层面看，之前未曾有的“江山如此多娇、引无数物理竞折腰”的图景，未必就不可实现。
图 2. 拓扑量子材料中费米面附近的能带结构，特别是带隙开合之间的拓扑量子态。(A) 半导体能带结构的演化进程：上部所示为非零带隙演化为节线半金属 (nodal line semimetal)，下部所示为非零带隙半导体演化为狄拉克半金属、外尔半金属。(B) 调控费米面高低 (蓝色虚线)，得到的费米面几何拓扑 (俯视于右图) 可以很不同，是 Lifshitz 相变的简单展示。(C) 在不同温度时，拓扑量子化合物 ZrTe5 的能带 (a ~ d) 和与之一一对应的费米面处能带形态 (e ~ h)。可以看到，费米面能带拓扑发生了变化。
(A) S. Murakami et al, Sci. Adv. 3, e1602680 (2017), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.1602680。
(B) P. J. Wang et al, Spin-orbit coupled degenerate Fermi gases, PRL 109, 095301 (2012), https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.109.095301。
(C) H. Chi et al, Lifshitz transition mediated electronic transport anomaly in bulk ZrTe5, New J. Phys. 19, 015005 (2017), https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/aa55a3。
Ising 牵强附会，用稍带“荒谬”之言，将饼画得很大。那么，个中世界有哪些值得去探索的效应呢？外行的好处就是胆大、敢于胡乱拎出来几条。首先，此番图像，诞生过的演生效应不胜枚举，信手拈来几个：Mott 转变 MIT、Kondo 效应、高温超导、庞磁电阻、量子霍尔效应、拓扑量子输运等。它们在费米面处都有能带的重组变化，在此不论。其次，此番图像，给多重量子态相互依存 / 共生 / 竞争以更多的可能性。有两条缘由：(1) 前人的探索，集中于电子关联，对拓扑量子基元及其后果的探索则显得不够。(2) 更进一步，尚不明朗这类“半导体”或“坏金属”有何特定功能与应用前景，需要探索。例如，在电输运、光电耦合、电磁场调控等方面，这些材料会有什么新的内涵？
拓展开去，此番图像，也给探测表征技术提出了新要求。事实上，对拓扑量子材料的表征，我们的办法不多。这么说，希望没有惹恼量子材料人，毕竟诸如 ARPES 和 STM 等高端技术，的确能将费米面附近能带细节呈现得栩栩如生、一清二楚！不过，话说回来，量子材料的效用，不能总是依靠 ARPES 等谱学技术。这些谱学，对诊断是不可或缺的，但实际应用则更多仰仗材料的电输运性质。与能带相联系的首要物理指针，就应体现于电输运行为上，包括纵向输运和横向霍尔效应，理由如下：
(1) 电输运测量与操控，是物理表征中最直接简单的方法，也是信息科技依赖的主体。
(2) 电输运携带了费米面附近能带特征的几乎所有信息，只是这些信息叠加混杂在一起，难以一一提取出来。如果能从电输运行为中提取到费米面附近的尽可能多的能带特征，那将是物质科学最乐观其成的结果。
(3) 过去半个多世纪，凝聚态和量子材料人一直在拓展完善固体中电子的输运理论，使得它既非常成熟、又很 open 以利去描述能带链条上更多、更完备的细节，为实际应用奠定基础。例如，南方科技大学卢海舟老师他们，就致力于发展基于量子场论的输运理论，可作此间表率。
行文至此，本文要渲染的主题是：用电子输运手段，去呈现量子材料中更多的物理和效用！这不只是本文的主题，也是量子材料学科的核心课题。作为一个较为新颖的例子，这里要呈现 Ising 针对一项研究工作的读书笔记。这一工作，来自华中科技大学强磁场中心 / 物理学院的朱增伟、罗永康教授和来自南方科技大学物理系的赵凌霄教授。他们几个团队密切合作，利用武汉脉冲强磁场这一独特条件，用量子振荡输运测量技术，揭示了一类磁性外尔半金属中 Lifshitz 相变的物理。
这里，出现了几个对 Ising 来说陌生的主题词。不妨先硬着头皮学习一些基础知识。
一般读者未必知道，这里的“Lifshitz 相变 (Lifshitz transition)”所提及的 Lifshitz，与那位追随朗道许多年并与之并肩战斗、一起撰写那套名垂物理学青史的 Landau - Lifshitz 理论物理教程 (Landau - Lifshitz textbook series on theoretical physics) 的 Lifshitz，不是同一人。这里的 Lifshitz，高姓大名是 Ilya Mikhailovich Lifshitz (1917-01-13 ~ 1982-10-23)，是那位追随朗道的 Evgenii Mikhailovich Lifshitz (1915-02-21 ~ 1985-10-29) 之弟弟。他们兄弟俩都对理论物理学做出了重大贡献。特别是，朗道带领这位哥哥，建立了对称性破缺的物理学范式。这一范式，影响巨大，与拓扑范式并行不悖，反而遮盖了“Lifshitz”与拓扑物理的联系。有趣的是，弟弟 Lifshitz 诸多学术贡献中可能算最出名的、并以 Lifshitz 命名的贡献，就是固体电子结构中能带的拓扑转变，也就是所谓的“Lifshitz 相变”。为了渲染这种亲兄弟同源而不同“道”的历史，Ising 在此多啰嗦了几句，既是对这一对兄弟大师表达敬意，亦是向拓扑量子材料人表达敬意。
图 3. 展示 Lifshitz 相变的物理图像。
(A) 几类铁基超导结构单元和化合物在费米面处的能带几何。左列所示，为价键共振模型 (resonance model) 给出的示意；右列所示，乃 ARPES 实验给出的结果。(B) 正常半导体 (左) 和拓扑半金属 (右) 能带结构示意图。
(A) A. Bianconi, Quantum materials: Shape resonances in superstripes, Nature Phys. 9, 536 (2013), https://www.nature.com/articles/nphys2738。(B) H. Kim et al, Beyond triplet: Unconventional superconductivity in a spin-3/2 topological semimetal, Sci. Adv. 4, eaao4513 (2018), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aao4513。
所谓 Lifshitz 相变，最典型的图像如图 2(B) 和 2(C) 所示，乃指在某种内禀物理或外场驱动下，费米面的拓扑几何性质出现变化。图 2(B) 右侧所示的三个费米面轮廓呈现出不同的拓扑。这种费米面处能带拓扑的变化，应该会有电子输运行为的指针。后来，前苏联物理学家 (如 M. I. Kaganov 和 A. Nurmagambetov等) 又将这个概念推广到整个布里渊区中费米面能带拓扑的变化，如图 2(C) 和图 3(A) / 3(B) 所示。很显然，这里的 Lifshitz 相变，主要的对象一定是能带带隙处于开合之间的体系。或者说，本文啰唆半天的能带基本知识，只是为了铺垫出“Lifshitz 相变”在这些体系中乃家常便饭这一事实。例如，费米面拓扑几何的变化，对高温超导人而言，实在是太司空见惯了。他们一做学术报告，必定会从各种几何形态的费米能带出发，开始解构和讨论，如 (single / multi) - nodal points / lines / loops / surfaces、von - Hove 奇异性、费米面嵌套，等等，不一而足。图 3(A) 所示的铁基超导费米面结构，对读者而言一定很熟悉。如果回过头去看拓扑量子材料，就会发现几乎所有体系的带隙都处于开合之间。图 2(C) 所示的，也是拓扑量子基本的特征！
嗯嗯，似乎有点感悟了：量子材料，特别是拓扑量子材料，能呈现出丰富的能带拓扑变化，正好衬托出 Lifshitz 相变应该很普遍的事实。这种相变，总是伴随能带拓扑性质变化，正好给了诸多小能标因素介入进来兴风作浪的机会：Ising 费尽心机，终于将“Lifshitz 相变 (Lifshitz transition)”这个主题的意义绕进读者的脑海中去了！
接下来，讨论怎么去轻松实现：(1) Lifshitz 相变 (Lifshitz transition)；(2) 从电子输运角度去表征。
对第 (1) 个问题，有两个条件：其一是带隙要处于开合之间。要实现这一条件，拓扑绝缘体和半金属都是最好的对象，因为它们在布里渊区不同对称点上总会存在能带交叠、存在狄拉克点 / 外尔点 / 各种 Nodal 特征。其二，要能对费米能级进行有效操控。如果 EF 太高，一般低能标驱动 (如磁场) 大概够不着，撼动能带拓扑性质就是空话。选择那些态密度较低的拓扑半金属，应该是有效的策略，因为它们的 EF 也必定较低，能够被小能标外场 (如磁场) 够到。更物理一点的说辞就是：载流子浓度低，则在外场驱动下，载流子都可全数归入最低朗道能级，达到所谓的“终极量子极限 (ultra - quantum limit, UQL)”。至于驱动场，已有实验显示，诸如掺杂、应变、高压等量子材料人常用的驱动，都可达至 UQL。但这些驱动力，能标较高，不具有实用价值。那些能标较低的驱动力，如磁场，才应该是我们的优选。
对第 (2) 个问题，在第 (1) 个问题得到解决的前提下，最好的实验方案就是测量电输运对磁场的量子振荡。众所周知，输运的量子振荡，能够给出费米面处载流子的有效质量信息 (从振荡特征频率即可推出)：有效质量是费米面处能带的色散变化剧烈程度的量度，有效质量越大，色散越小 (即平带化)。如果量子振荡出现从单一特征频率到两个甚至多个特征频率共存，那很可能就意味着费米面形态发生了重构，Lifshitz 相变似乎就要来了。
图 4. 朱增伟他们针对磁性外尔半金属 PrAlSi，用量子振荡输运测量得到的磁场诱导 Lifshitz 相变信息。(A) 中图示为不同温度下磁电阻和量子振荡数据。(B) 中图示为磁场与 c 轴成不同夹角时量子振荡数据。最重要的结果显示于 (C) 图和 (D) 图中：两个不同磁场下费米面处外尔点的形态。能带拓扑轮廓的不同，显示体系在两个磁场之间的确发生了 Lifshitz 相变。
正是基于此一思路，朱增伟老师他们，别出心裁，借助能标不大的磁场 (虽然能标不大，但磁场强度依然达数十个特斯拉，还是很壮观的)，成功触发了 Lifshitz 相变。他们坐拥武汉脉冲强磁场实验室的装备，实验算是水到渠成。在他们的大作中，我们能依稀读出“庖丁解牛”的进程，字里行间能感受到他们思考、纠结、选择和不断提升的轨迹。虽然不易，但他们证明，使用能标较小的磁场去驱动 Lifshitz 相变，也是可以的！首先，他们选择的是磁性外尔半金属化合物 PrAlSi。已有一些前期工作揭示 PrAlSi 的外尔半金属特征。Pr 的 4f 磁性，也使得体系态密度不可能很高。数十特斯拉的磁场，足够驱动体系达到 ultra - quantum limit。其次，他们对量子振荡输运测量似乎很有心得，得到了清晰展示双频振荡信号的漂亮数据，如图 4(A) 和 4(B) 所示。配合理论计算和霍尔效应测量，他们成功地全方位 mapping 出费米面附近能带的演化，包括图 4(C) 和 4(D) 所示的费米面外尔点图样，坐实了 Lifshitz 相变的证据。Ising 在此不再越俎代庖，读者可前往阅读朱老师他们工作的原文，以观沧海！
与他们同时期，另有德国马普学会位于德累斯顿的一个研究所也开展了类似工作，并发表在 2022 年末上线的 Nature Communications 上 (S. Galeski et al, Signatures of a magnetic-field-induced Lifshitz transition in the ultra-quantum limit of the topological semimetal ZrTe5, NC 13, 7418 (2022), https://www.nature.com/articles/s41467-022-35106-7)，比朱老师刊登于《npj QM》上的这一工作早一个月。两项工作虽然材料体系不同，但 topic 类似，应属平行展开的独立研究。也因为体系不同，两个工作算是各有千秋。ZrTe5 没有磁性，而 PrAlSi 具有 4f 磁性。考虑到磁性外尔半金属在未来自旋电子学的潜在应用，朱老师他们昭示 Lifshitz 相变的工作，可能具有更广泛的意义。
作为结尾，Ising 想说，写这篇冗长的笔记，促使笔者学到不少新概念和新知识、领悟到一些新物理、也了解到存在的问题。同样，写这篇笔记，也带出了一些思量和疑问：能带带隙的开合，应该在电输运上有显著的表达，包括纵向磁电阻和横向霍尔效应。目前的数据显示，磁电阻表达的确很显著，但量子振荡的表达依然偏弱、且只出现于很低温区。从能标看，仅仅是 Lifshitz 相变本身可能还是不够的，最好能将带隙开合、能带拓扑变化引发的效应延展到高温温区和器件功能上。这样的前景，目前似乎还未能清晰显现。这些挑战也再次显示：量子材料的若多个研究维度中，哪个维度有广阔的前景还不那么清晰。这是挑战，也是走出困难的动力。
雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：
论文信息：
Field-induced Lifshitz transition in the magnetic Weyl semimetal candidate PrAlSi
Lei Wu, Shengwei Chi, Huakun Zuo, Gang Xu, Lingxiao Zhao, Yongkang Luo & Zengwei Zhu
npj Quantum Materials 8, Article number: 4 (2023)
https://www.nature.com/articles/s41535-023-00537-y
转自：“知社学术圈”微信公众号
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