福建省初中数学学科作业设计与管理指南
(试 行)
一、总体要求
(一)严格控制作业总量学校要切实履行作业管理主体责任，加强学科间统筹，严格控制每天数学书面作业总量和时间。依据初中书面作业平均完成时间不超过 90 分钟的规定，建议以教材练习、习题、复习题为主布置数学作业，并能针对学生个体差异水平，通过分层次、有弹性、个性化形式体现不同作业层次。
(二)合理调控作业结构作业要严格执行课程标准和教学计划，建立以课堂作业为主，课后作业统筹协调的系统性作业体系。依托教材内容，坚持因材施教，合理编制基础性作业、综合应用性作业、探究拓展性作业、综合实践性作业，及时掌握教学中出现的问题，适时反馈和调整教学过程，提升课堂效率，有效减轻课后作业的负担。
(三)切实提高作业质量充分发挥数学作业的评价诊断作用，在作业内容与形式上进行大胆的改革和创新。教师依据课程内容和学生的认知水平、思维特点和身心发展规律，对初中数学内容进行整体规划，建立以数学核心素养为主题，单元教学目标为引领，以大数据精准分析学情为基础，设计出关注“四基”、体现“四能”、培养核心素养的系统性单元作业。有条件的学校发挥教研组集备力量，开发符合校情的校本作业。要避免设计布置简单重复、机械训练性作业，与课堂教学目标不一致、无挑战、无思维含量的无效作业，超出课标要求的偏、难、怪、繁类作业。杜绝布置惩罚性作业。
(四)优化作业指导方式教师要充分利用学生在校学习时间加强对学生作业习惯、作业规范、纠错反思等指导，培养学生自主学习和时间管理能力。通过指导学生完成探究拓展性及综合实践性作业，引导学生做数学方面的科技创新作品，引导学生做数学调查与实践，指导学生撰写数学小论文。通过引导学生对作业的评价、反思与小结，培养学生数学元认知能力。利用大数据对作业进行精准分析，精准对象思维结点，精准指导，有效打通学生学习过程中存在的典型数学思维障碍。
二、设计要求
(一)认知水平维度划分
1.基础性作业
【定位】基础性作业是以理解概念、掌握方法、熟练技能为主要目标设计的数学作业。它可以帮助教师及时诊断学生的课堂学习效果，为后续教学活动的实施与改进提供必要的参考。设计基础性作业时，要充分关注作业内容与教学内容相一致，要充分关注课堂教学中的例题、习题与基础性作业之间的联系。基础性作业中的问题设计要符合学生现有的认知水平、学习经验和生活经验。基础性作业主要源于教材，也可以在教材的例题、习题或推荐的配套练习册内容的基础上，采用适当的“变式”设计，形成题组，方便教师或学生针对不同的学习需求合理选用。
【示例】如图 1，已知四边形 ABCD 是平行四边形，请用所学知识解答以下问题：
⑴若平行四边形 ABCD 的周 长为 32 cm ，AB=7 cm ，则 BC 的长为 ____________;
⑵若∠B+∠D=100°，则∠A 的度数为_____________ ;
⑶若对角线 BD，AC 相交于 O，
且 BC=10 cm，AC=8 cm，BD=14 cm，
【说明】根据课程标准学习内容中“探索并证明平行四边形的性质定理”要求，八年级学生在学习了“18.1.1 平行四边形的性质”后，要能够理解平行四边形的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质。该作业中第⑴题主要考查平行四边形的对边相等，第⑵题主要考查平行四边形的对角相等、邻角互补，第⑶题主要考查平行四边形的对角线互相平分。
(以下作业示例选用人教版的相关内容进行说明)
2.综合应用性作业
【定位】综合应用性作业指向提升学生数学核心素养，主要
指在基本知识技能巩固的基础上，侧重于促进学生数学能力发展、数学思想方法形成和数学思维品质提升的数学作业。以解决学习、生活中的实际问题为导向。作业设计内容和形式要创设有利于学生数学核心素养发展的问题情境，注重发展学生的应用意识和创新意识，培养学生综合运用所学知识分析、解决生活中简单数学问题的能力。设计综合应用性作业时，要重视单元的视角，在对学生学习基础和能力表现做出合理的分析后，最终确定探究问题或活动任务。综合应用性作业一般作为课时作业的一部分。
【示例】如图 2，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24 cm，BC=26 cm.点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s的速度向点 D 运动，点 Q 从点 C 同时出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使 PQ∥CD 和 PQ=CD，分别需要经过多少时间?为什么?
(人教版课程标准教材八年级下 P68 复习题第 13 题)
【说明】在学习了“18.1 平行四边形”后，学生探索并证明了平行四边形性质定理和判定定理，掌握了利用平行四边形性质定理和判定定理等知识分析、解决问题。作业通过运动变化的几何探究问题，意在让学生会用时间、速度与路程的关系来表示两个动点的运动路程，利用平行四边形的性质列出等量关系求解，既让学生体验用代数方法(构建方程)解决几何问题，也体现了跨学科联系。
3.探究拓展性作业
【定位】探究拓展性作业是课堂学习的延续，其主要源于教材，但又高于教材，注重作业问题的启发性、层次性、逻辑性和适度的挑战性。探究拓展性作业是以发展学生数学能力和数学思维水平为最终目的，注意培养学生的迁移能力，提高学生发现问题、提出问题的能力，引导学生学会与教师、同伴共同对数学问题进行探究与讨论。
【示例】⑴(数学操作)如图 3，你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个以∠A 为内角的菱形吗?若能，简要写出折纸过程，并用尺规画出对应的图形.
⑵(推理验证)根据你的折纸方法，运用所学的知识证明所折出四边形是菱形后，理解并掌握菱形的性质定理和判定定理等知识。该作业是一道几何操作验证题，学生要结合所学的知识先设计折纸方法，再用轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理进行推理验证，从而说明折纸方法的正确性。这类作业对学生具有挑战性，有助于培养学生的操作能力和发展学生的应用意识。
4.综合实践性作业
【定位】综合实践性作业是指以培育学生创新意识、应用意识与现实情境下的综合实践能力等为主要目标的数学作业。综合实践性作业完成时间一般不局限于课时(以跨课时作业为主)，与基础性作业、综合应用性作业的功能形成互补。综合实践性作业的设计要重在发展学生基于真实情境的问题解决能力，培育学生创新精神与实践能力，引导正确价值观念。要重视问题情境或作业任务的真实性和可操作性，要精心设计作业的实施要求和指导方案，要对作业完成情况进行合理预设，要引导学生有效开展分工协作、合作共享、交流研讨，要与现代信息技术有效融合，体现跨学科综合与实践特征。
【示例】作业课题：矩形折纸活动
作业内容：
通过本节课学习，我们对于折纸还有许多数学问题可以进行探索，比如：可以用矩形折出 60°，30°，15°等角，还可以用正方形或矩形折出等边三角形等。作业要求：请你和你的小组同学们选择一个问题一起活动探究，并把你们的探究发现与结果写一份报告。
⑴探究时间：从 4 月 19 日～4 月 26 日(一周)。
⑵参加人员：全班同学，每 4～5 人分成一组，共分 10 组。
⑶人员分工：每组设一名组长负责组织协调，其他同学共同
参与活动并有意识分工负责操作、记录、画图等。
⑷基本要求：①准备矩形纸 20 张(其中正方形纸 10 张)、剪刀、文具等材料;②小组共同撰写一份报告;③报告简要写出折纸过程，报告要体现遇到的困难与克服困难的办法;④折纸过程通过画图形予以呈现;⑤结合所学数学知识说明折法的正确性。⑸探究报告撰写要点与格式：
【说明】折纸活动有助于激励学生参与到力所能及的探索中，能促进学生仔细观察，多方向、多角度、多层次去思考，学生通过观察、尝试、猜测、转移、类推等途径去认识到其中的数学原理。学生学习了“第 18 章平行四边形”的数学活动课，经历了折纸活动的体验，空间观念初步得到发展，积累了一定数学活动经验。设计该作业意在考查正方形的性质、矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，同时也考查动手操作能力及应用意识。
(二)时空维度划分
根据教学实际和学生发展的需求灵活安排和布置作业类型，在作业的设计和布置上兼顾常规教学进程和要求，体现课堂作业和课外作业(含前置性作业、课后作业)的统筹布置与管理。作业的设计要凸显课程改革理念的新变化，关注数学概念的理解和解释，关注数学规则的选择和运用，关注数学问题的发现与解决。
1.课堂作业
“双减”背景下，向课堂要质量是作业设计的必然要求，要更加重视课堂作业的地位，并做好课后作业的配套。课堂作业的内容与难度既要立足单元整体教学目标，也要结合当前课时教学内容和目标要求，以诊断、巩固、提升本节课的学习为主。课堂作业设计要充分关注作业内容与课堂教学的匹配性，应以基础性作业为主，注重基础知识的理解和基本技能掌握情况的落实。课堂作业可以结合教材进行设计，充分利用好教材中的例题和练习等资源。课堂作业要做好即时反馈，及时在知识理解、技能掌握、能力发展等方面给予学生适时点拨与引导。
【示例】求证：四条边相等的四边形是菱形.
(人教版课程标准教材八年级下 P58 练习第 1 题)
【说明】在学习了“菱形的判定”后，学生已经通过合情推理探索出菱形判定方法的相关猜想，并在教师的引导下证明了其中一个猜想“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的正确性，初步体会演绎推理的逻辑性和严谨性。在此基础上布置上述课堂作业，检测全体学生用演绎推理证明命题这一基本技能的掌握情况，进一步巩固根据定义证明一个四边形是菱形的基本方法，加深学生对菱形的判定定理的理解，发展推理能力。
2.课外作业
在单元作业设计的框架下，根据课堂作业的使用及效果，动态的布置和调整课外作业，统筹安排前置性作业和课后作业等。前置性作业以基础性作业为主，主要用于课前预习和学情诊断，课后作业主要使用综合应用性作业和探究拓展性作业，可以适当布置综合实践性作业，以提升学生的学习兴趣、查缺补漏、巩固概念、学以致用。课后作业的设计要梯度合理，层次分明，落实课程标准所设立的课程目标，重视基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的考查，注重能力立意与素养导向。
【示例】
如图 4，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABC，且交 AE 于点 D，连接 CD.(人教版课程标准教材八年级下 P60 习题第 6 题)
【说明】在学习了“菱形的判定”后，学生探索并证明了菱形的两个判定定理，初步掌握了利用判定定理判定菱形的方法，能够完成课堂布置的基础性作业。接下来课后作业可在稍复杂的几何图形中，结合平行线的性质和等腰三角形的判定等相关知识，考查运用判定定理证明一个四边形是菱形的能力。要鼓励学生一题多解并对比优化解题方法，渗透在具体情境中选择恰当方法，并有向有序进行推理证明的思想方法，让学生能在课后对课堂教学的内容展开深度学习和思考，进一步理解并掌握菱形的判定定理，体会三角形和四边形相关知识的联系和区别，综合发展几何直观和逻辑推理能力。
(三)大单元作业体系示例
单元一般是指同一主题下相对独立并且自成体系的学习内容，它可以以教材自然章节为一个单元，也可以从某个专题或数学关键能力等角度重组单元。数学单元作业的设计应该基于对数学知识和数学教材的理解以及学生具体发展的需求，实现课时作业之间的统整性、关联性与递进性。数学单元作业设计要整体布局、瞻前顾后、左右关联，找准基点，立体架构，关注数学概念的理解与解释、关注数学规则的选择与运用、关注数学问题的发现与解决，从而引导学生既巩固知识、强化技能，又兼顾知识的结构化生成;既感悟数学思想，又发展高阶思维;既强化解题技巧，又形成解决问题的策略，发展数学核心素养。
单元作业设计应该根据课程总目标，先确定单元作业目标，再基于课程标准、教材、学情、教学对单元课时作业进行总体规划，然后从作业目标、作业内容、作业类型、作业差异、作业时间、作业结构等方面对作业进行整体设计。可以基于单元知识逻辑进行单元作业设计，也可以基于单元数学思维的整合进行单元
作业设计。
数学单元作业呈现可分为以下形式：自然章节基础性课时作业的组合、单元整体综合应用性作业、探究拓展性作业、跨课时作业、跨学科实践性作业等或多种形式的组合。
【示例】“平行四边形”单元作业设计
(人教版课程标准教材八年级下 P41—108 第 18 章)
平行四边形含平行四边形和特殊平行四边形两大节，是在学生学过的平行线和三角形的基础上进一步研究一些特殊四边形的知识，学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及关系，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法，并结合对相关内容的推理证明，发展学生的逻辑思维能力。
1.单元作业设计流程
2.单元作业目标确立
平行四边形学习是基于三角形的知识研究四边形，从分析图形的要素和题设出发，经历从一般到特殊、类比、归纳等探索性活动发现数学结论，猜想命题，运用分析法与综合法探寻几何命题论证途径，得出结论，最终形成平行四边形的知识体系。是学生进一步形成推理能力的关键内容。
平行四边形单元学习目标包括，理解平行四边形概念，了解它们之间关系，探索和证明平行四边形性质与判定，运用这些知识进行有关的证明和计算，发展学生推理能力、直观想象等数学核心素养。因此，本单元作业目标设计应基于落实学生逻辑思维能力和推理论证的表达能力水平这一条主线，通过作业对学生巩固平行四边形有关知识、习得画图等技能、形成推理能力和论证表达能力的状况进行评价。
3.课时作业目标划分与确定
单元作业目标确立后，再根据平行四边形教学共设置 15 课时的情况，对应设定 15 课时的作业目标。课时的作业目标是将单元作业目标由简单到复杂、由易到难、由低到高逐步分解到不同的课时中。本单元作业目标(从一般到特殊、类比、归纳等探索性方法，推理能力和论证表达能力等)贯穿整个单元学习，在每个课时中都有体现，因此要考虑各个目标在不同课时的水平递进性。
确立作业目标是设计单元作业的关键，教师还应根据学生情况，结合平行四边形知识设计知识、能力、情感态度等多维度、多层次学习目标。
4.课时作业内容的选择
课时作业的设置安排可根据教学情况及学情进行适当调整。本单元作业内容涉及平行四边形、特殊平行四边形的概念、性质、判定及应用，以连续文本或混合文本呈现具有课程学习情境、数学探索情境和生活实践情境的情境化作业，评价学生从“识别图形，了解概念、定理及它们之间逻辑关系”的水平，逐步达到评价“通过条件、结论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能理解概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状知识结构”的水平，最后评价达到“面对较复杂的数学问题，能通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题，并会用严谨的数学语言表达论证过程，掌握常用逻辑推理方法的规则，在综合的情境中，用数学眼光找到合适的研究对象，提出有意义的数学问题”的水平。
5.单元作业设计要求
根据“平行四边形”教学进度和学生发展的需求，围绕以推理能力提升为主的数学核心素养的培养，灵活设计系统性作业体系。有针对性的编制基础性作业、综合应用性作业、探究拓展性作业、综合实践性作业等。每课时课堂作业和课后作业在设计和
布置上根据教学要求和学生现状，应该含以下几个部分：第一部分“反思建构”，设计目的在于反思平行四边形学习内容，通过完善知识框图，建构知识，形成知识体系;
第二部分“夯实巩固”，设计目的是通过一系列的习题，检验学习成果，提升学科能力;
第三部分“思维拓展”，设计目的是激发学习兴趣，培养理性思维;
第四部分“体验感悟”中感悟数学思想，形成方法，发展推理能力。
三、评价要求
作业实施过程的规范评价，决定了高质量作业体系设计的实现程度。作业的评价，可采用定性与定量相结合的方式，既关注对学生的作业进行鼓励性的等级评价，又注重作业过程中表现出来的情感体验、态度形成、能力发展和习惯养成的肯定，形成“以课堂学习评价与课堂作业评价为实证依据，配套课前、课后作业”的学科作业动态配置机制，引导学生形成数学观念，发展数学学科核心素养。
(一)作业批改
布置作业应做到“有练必批、有批必评、有评必改、有改必阅、有错必纠”，提倡面批面改，给予个性化指导。学生作业错误教师要指出错误原因，给出准确性、建设性、激励性评价。建议使用等第加评语的总体评价方式。
(二)作业分析
作业分析是诊断学生学习情况和教学效果的重要途径之一。鼓励借助信息技术对作业的相关数据进行收集、分析和整理，重点分析学生作业目标的达成情况、错误归因、差异类别等方面，从中找出共性问题，以及个别学生的困惑问题。如数学基本技能题作业存在问题，要从规则的理解、规则的运用、规则的选择等方面分析错误原因。
(三)作业讲评
依据作业分析的结果，教师可采用集中讲评、个别辅导和学生交流展示等多种方式进行反馈。一般而言，全班正确率超过80%或低于 20%的作业题，不宜全班讲评，需要个别辅导。而需要讲评的作业题，按正确率从高到低进行排列，确定其重要程度。讲评时，一要重数学思维启发引导，重数学方法归纳总结，讲通性通法，讲一题多解;二要有重点层次，有反思领悟，有引申拓
展;三要及时在后续的作业中强化补偿性变式训练，教师可设计并实施专题教学，帮学生明晰知识结构，理解知识的产生、发展过程。
(四)作业订正
教师应指导学生对作业进行及时订正，找到作业中的错误并分析错误原因，用规范的格式写出正确的解答过程，注意运算过程的准确性，推理过程条理性，画(作)图过程准确性。建议学生利用错题本将作业中的典型错题进行整理、归类，引导学生及时反思，梳理知识、提炼思路、总结方法，从而提高学习效率，避免机械重复训练，养成自主、高效的学习习惯。
【示例】如图 5，已 知 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，AB=AC，BD=CD.求证：∠EDB=∠FDC.
【说明】本题是学生学习了“§12·3
角平分线性质”后设置的一道探究拓展性作业。评改后统计分析知，本题错误率达 46%，需要全班讲评。错因主要有读题看图获取有用信息能力弱，无法构建全等图形，推理顺序及描述不当，错用依据等。解法有一次全等、二次全等、三次全等。讲评要点：⑴结合题意，指导学生识别图形结构特征;⑵引导学生从理解题意中捕捉有用信息，建立有序的解题结构;⑶对比不同解法，总结最佳解题策略，优化思维品质;⑷示范解题过程，培养学生逻辑思维的严密性，书写规范性;⑸对习题灵活变通，引申推广，培养学生思维的深刻性和抽象性;⑹通过变式训练，发现解题规律，加深对知识的理解，培养学生的思维发散性和敏捷性。
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