2022/4/14 14:54:38 阅读：541 发布者：chichi77
2021学年下学期广州市
第7周全市高一数学教研
广州市中学数学教学研究会
2022年4月1日下午，由广州市教育研究院数学科和高一数学中心组组织的全市高一数学教研活动如期举行。受疫情影响，本次教研活动采用腾讯会议直播的形式，会议由李大伟老师主持，各区教研员负责组织省市直属中学和各区的高一数学教师在所属地参加网络教研。
加强对数学整体性的认识， 强调以具有整体性的知识单元为载体、从知识的联系性出发进行教学设计并展开课堂教学， 是这一轮课改的显著特点， 也是本次课改中切实发挥数学育人功能、转变数学育人方式、落实数学学科核心素养的关键抓手。
对于新课改强调的重点单元--课时教学设计，老师们平时教学中进行了有效尝试，但是在具体备课过程中也普遍存在一些困惑。在第三周市教研章建跃博士讲座的基础上，本次教研活动先是展示李大伟老师录制的视频课《平面与平面垂直的判定与性质》，然后由李老师以这两节课为例谈谈立体几何初步的单元-课时教学设计建议。本次活动受到与会老师们的一致好评，对数学教师课堂教学起到积极的引领作用，在一定程度上，更新了老师们的教学观念，提高了老师们的学科素养。
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一、平面与平面垂直示范研讨课
本次观看的视频课是人教A版普通高中教科书·数学教师教学用书采用的配套视频课。本节的内容是人教A版教材《高中数学》（必修第二册）第八章“立体几何初步”的第六节“空间直线、平面的垂直”中的第三小节“平面与平面垂直”。
1. 教学内容精准，教学思路清晰
本节课是空间线面平行与垂直关系的最后一节，教师遵循教材的内容安排，对教学内容有较深刻的理解，对学生已有知识储备心中有数，能紧紧围绕空间直线与平面位置关系的研究思路“定义——判定——性质”展开教学，始终按照“直观感知、操作确认，推理论证”的逻辑结构组织教学。
2. 教学目标明确，教学策略得当
本节课的教学目标设计符合课程标准的要求和学生的认知水平，体现了教材对本节课教学内容的编写意图。教师利用“问题”（共设计了7个问题4道例题）与“追问”（共设计了25个追问）组织教学，目的是帮助学生在问题的解决中理解数学，获得探究能力的发展以及对探究本身的理解。
3. 注重概念生成，遵循教学规律
要得出面面垂直的概念，首先要给出二面角的平面角的概念，教师通过直观感受生活中的二面角实物图，类比平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直的方法，通过类比直线与平面所成的角的学习经验，借助“空间问题平面化”的思想，按照直观感知、操作确认、抽象概括的研究方式得出二面角的平面角的定义。其过程是通过“1个问题6个追问”来完成。例如提出“问题2：二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，如何度量二面角的大小呢？不妨回顾一下异面直线所成的角和直线与平面所成角的定义。”等等整个教学过程渗透了数学研究的一般思路，遵循了课堂教学的一般规律。
4. 渗透思想方法，突出培养“四能”
在本节课的教学中，教师特别强调了数学思想方法在教学中的重要作用。在整个教学过程中，教师在“问题”与“追问”中达到培养学生“四能”（发现问题、提出问题、分析问题和解决问题）的目的。如在教学“平面与平面垂直的判定”中，在得出了二面角的平面角的概念后，设计了“问题3：有方法判断平面与平面是否垂直吗？”其目的就是引导学生理解定义的本质（用定义作判断），同时为判定定理的正确性进行说明做思维铺垫。接下来的“四个追问”就体现了培养学生“四能”的目的。
5. 凸显教材地位，渗透数学文化
本节课的教学设计忠实于教材，但又体现了教师：“用教材教而不是教教材”的理念，特别在对教材内容的挖掘上下了不少功夫。如在教学“平面与平面垂直的性质”中，在得出并证明了性质定理后，设计了“问题3：两个平面互相垂直的性质，我们探究了直线在平面内的情况。如果直线不在两个平面内，直线l与平面β是否存在特定的位置关系？若存在直线l满足什么条件？你能猜想出什么命题吗？”教师引导学生对特殊直线分类讨论，通过观察发现，进而提出了两个猜想（问题）；再通过“问题4：如果把上面问题中的直线换成平面，那么当第三个平面与已知平面具有什么特殊位置关系时，可能得到特定结论？请先画出相应的图形，然后尝试能否猜想出命题。”师生再次通过观察发现，又得到了两个猜想（问题），这四个新的性质的发现与提出，充分体现了教师挖掘教材内容的能力。
总之，这是一堂难得的好课，在整个教学过程中，体会了直观感知、操作确认、推理论证的研究立体几何的一般过程，培养了学生严谨的数学思维习惯，提升了直观想象、逻辑推理的核心素养。
二、“立体几何初步”的单元-课时教学设计建议
本次教研第二部分由李大伟老师结合视频课，以具体案例为例，谈立几新教材单元教学实施的方法与路径。
课改强调的重点单元-课时教学设计，要求教师在教学时先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元的主要学习难点等作出全面分析。再将《普通高中数学课程标准（2017年版）》规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程分解到课时，同时将相应的“内容要求”（即单元目标）分解为课时目标。以充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，切实防止碎片化教学等等。
（一）“立体几何初步”的单元-课时教学设计的整体性和 “一般观念”介绍
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。在高中数学课程中，《课程标准（2017年版）》将立体几何内容分两部分安排：必修课程中的“立体几何初步”和选择性必修课程中的“空间向量与立体几何”。首先，教科书是按照遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则来组织内容，即在认识基本立体图形的基础上，按照从整体到局部，从具体到抽象的安排，接下来对立体几何内容的学习进入到“局部”“抽象”“思辨论证”的定性研究的阶段。
1.本单元的整体架构：平面——直线、平面的平行——直线、平面的垂直，这是在定义空间基本图形的基础上，按位置关系逐类展开研究。
2.研究对象：在研究了平面的概念和基本性质的基础上，我们的定性研究的重点是直线、平面之间的位置关系，重点研究的是直线、平面的平行（平直性）和垂直（对称性)，并在此基础上，解决一些简单的推理论证和应用问题。
3.研究空间直线、平面平行（垂直）的路径：定义→判定→性质。
4.空间中研究图形的位置关系的本质：就是对它们的组成元素之间位置关系的研究，主要是以某两种图形的位置关系为前提（定义），研究相应的充分条件（判定）和必要条件（性质），即无论性质还是判定，都是“空间确定的位置关系”。研究时，都是从其本身的组成元素或与之有关的相关元素（点、直线、平面）出发，研究它们之间的位置关系.在这一过程中，确定图形的组成要素和特殊的位置则是考虑问题的出发点。
5.研究这些位置关系的思路：“化繁为简” “以简驭繁”是数学研究问题的一般思路，即从复杂图形向简单图形、从立体图形向平面图形转化，研究过程中渗透着公理化思想。
6.学习立体几何的途径是：按照直观感知—操作确认—抽象概括—推理论证等方法，认识和探索空间图形的性质，建立空间观念，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养，渗透了数学研究的一般思路。
以上六点就是我们对立体几何初步进行单元教学设计的指导思想，理解了这些其实教学设计就不难处理了。
（二）“立体几何初步”的单元教学内容分析
1.空间直线、平面的平行关系
（1）直线、平面平行关系的定义
将平面几何中关于平行的结论推广到空间，得到“基本事实4”。
（2）直线、平面平行关系的判定
研究判定定理的基本思路是：将新问题化归为已解决的问题，利用熟悉的工具、方法进行研究。对于平行关系的判定，就是利用平行关系的可传递性，将直线、平面平行，转化为直线、直线平行，其实这里仍然利用了共面直线的平行。
（3）直线、平面平行关系的性质
把空间基本图形位置关系的性质放在一起进行共性分析，可以看到，它们是以直线、平面的某种位置关系为大前提，研究这种位置关系的组成元素与空间中其他直线、平面有什么确定的关系，这种关系也就是几何性质。具体的，直线与平面平行的性质所研究的问题是：以直线a∥平面α为条件，研究直线a、平面α与空间中其他直线、平面所形成的确定的关系。
有了探索直线与平面平行性质的经验，学生就可以通过类比，自主探索平面与平面平行的性质。
2.空间直线、平面的垂直关系
（1）直线、平面垂直关系的定义
这里我们要思考的问题是：直线与直线、直线与平面、平面与平面相互垂直的定义有什么异同？
①对于两条直线、两个平面的位置关系，我们先定义“所成角”，再定义“垂直”。
②对于直线与平面的位置关系，我们需要先定义“垂直”，再定义直线与平面“所成角”。
这是因为研究直线与平面相交，原始问题是如何定义直线与面所成的角，基本思路是转化为直线与平面内的直线所成的角。利用直线a与其在平面α内的射影OA'所成的角定义直线a与α所成的角具有完备性和纯粹性。但是作一条直线在一个平面内的射影要借助平面的垂线，所以需要先定义直线与平面垂直，再来定义直线与平面的所成角。
（2）直线、平面垂直关系的判定
①直线与平面垂直关系的判定
直线与平面的关系是维数不同的两类基本图形的关系，是联系维数相同的两类基本图形的桥梁，所以是非常重要的。直线与平面垂直的判定定理的探索过程，其关键有如下两点：
第一、将直线a与平面α垂直转化为直线a与平面α内的直线垂直；
第二、利用空间直线与直线垂直的定义.
②两个平面垂直关系的判定
其关键有如下两点：
第一、两个平面相互垂直的定义；
第二、将平面与平面垂直转化为直线与平面垂直.
（3）直线、平面垂直关系的性质
①直线与平面垂直关系的性质
对于直线与平面垂直的性质，可以类比直线与平面平行的性质来提出问题和发现性质。这里要研究的问题是：以a ⊥ α为大前提，研究a 、 α与空间中的直线、平面具有怎样的确定关系，并且是以空间中的平行、垂直关系为主题。在这样的认识下，我们就可以通过引进第三个元素，研究这个元素与a 、α之间的关系。
②平面与平面垂直关系的性质
同样研究平面与平面垂直的性质，就是在两个平面垂直的条件下，能推出哪些结论。这些结论又该从哪个角度提出呢？实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系。
（三）“立体几何初步”的具体单元-课时教学设计案例探讨
李老师指出对于具体的“单元-课时教学设计”，有如下栏目和设计要求：
对于每部分设计和要求，李老师结合案例都分别进行了系统地阐述。
1.内容与内容解析：这部分内容是要指明“教什么”，主要完成“理解数学”的任务。这里要在章节整体知识结构中，对教学内容进行深入剖析。重点是对概念的地位进行分析，明确地展现蕴含的数学思想和方法，在此基础上阐明教学重点。李老师提醒老师们，这部分切记空谈，要通过具体操作过程体现。
2.目标与目标解析：对“了解”、“理解”、“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析。教学目标是教学设计的“灵魂”。应注意单元教学目标与课时教学目标的内在一致性。单元教学目标是通过一个阶段教学要达成的目标，而课时教学目标是一个课时要达到的目标；课时目标的积累就成为单元目标的达成。
3.教学问题诊断分析：根据以往的教学经验，数学内在逻辑关系以及思维发展理论，分析学生已具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础)，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。
4.教学支持条件分析：为了有效实现教学目标，要根据问题诊断分析的结果，决定采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维活动，使他们更好地发现数学规律。
5.单元课时教学设计：对于本节课的课时教学设计李老师结合视频，进行了重点讲解。
（1）第1课时：平面与平面垂直的判定，主要设计了3个环节。
其中，活动探究二面角的平面角的概念及范围，设计了2个问题，5个追问和1个探究活动。
通过探究活动，学生动手操作，在卡纸折叠成的二面角上画出自己认为适合的平面角。把学生的画法汇总，学生没有提到的方法，教师可以以问题形式呈现。
设计意图：如何来刻画二面角的大小是本节课的一个难点。学生在参与探讨刻画二面角大小方法过程中，通过探究、共同讨论，教师引导学生分析每一种情况，帮助学生理解所选平面角必须满足“存在性”和“唯一性”这一本质.变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生自我反思纠错意识的形成和创新能力培养。而且让学生体会了数学的严谨性，了解如何给数学概念下定义。
（2）第2课时：平面与平面垂直的性质，主要设计了5个环节。
对于探究发现平面与平面垂直的性质定理环节，设计了1个问题，4个追问和1个探究活动。
对于平面与平面垂直的性质的研究，设计了2个环节。
首先，研究直线不在两个平面内的情况，设计了1个问题和1个探究活动，教师引导学生类比前面讨论直线在平面内的情况，当直线在平面外时，它与平面具有特殊位置关系即平行或垂直时，可能得到特定的位置关系.从而得到以下两种猜想：
其次，在研究直线不在两个平面内的情况之后，继续研究把直线换成平面的情况，设计了一个问题和1个探究活动,教师引导学生根据前面讨论研究经验大胆猜想，当第三个平面与已知平面也应该是具有特殊位置关系即平行或垂直时，可能得到特定的位置关系.然后引导学生首先画出图形，即如下两种特殊位置关系，进而得到以下两种猜想：
最后，通过分类研究得到4个命题，这样的处理可以培养学生发现问题、提出问题的意识与能力。然后提出追问：你能否证明以上4个猜想的命题？挑选一个进行证明，其他作为课后作业。
总之，基于数学整体性的单元教学设计，旨在反对把数学内容碎片化，不再片面强调知识点的“讲深讲透”，搞什么“堂堂清、日日清”，而是注重把同类研究对象、相似的研究内容整合在一起，形成具有思想一致性的学习单元，而单元之间又形成环环相扣、逻辑连贯的“单元链”。在这样的结构化单元系列教学中，引导学生在一般观念的统领下，通过一个个数学对象的研究，逐步形成“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”的切实体验，在掌握基础知识、基本技能的过程中，领悟基本思想、积累基本活动经验，这样也就使发展学生数学学科核心素养有了具体抓手。
会议的最后，李老师有感而发，鼓励老师们要多学习，并且推荐老师们认真阅读学习章建跃博士主编的《核心素养立意的高中数学课程教材教法研究》，作为老师只有不断地去学习，思考，提升自身对数学的理解水平，才能真正做到理解数学、理解学生，理解教学，才能围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，使学生会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界，才能不负“数学教育”之名！
学习感言摘录
通过学习，老师们都激情满满，受益良多！以下是各区教研学习感言摘录：
●越秀区
这次教研观摩学习李老师的录播课《面面垂直的判定与性质》， 李老师这节课讲的很精彩，在课堂上借助课本、纸笔等工具，让学生动手进行操作，直观感受空间线、面之间的关系，注重知识的发生发展形成的过程，最后概括出平行、相交、垂直的判定与性质，充分的调动学生学习积极性，课堂气氛活跃。通过问题串的设置，循序渐进，由浅入深，引导启发学生突破这节课的重难点。李老师分享了本课的单元-课时教学设计的理念。
●番禺区
李大伟老师的新授课《平面与平面垂直的判定与性质（2课时）》从平面几何中角的概念入手，利用角刻画两条相交直线的位置关系、直线与平面的位置关系。再类比地引进二面角的概念，再提问启发学生思考得到二面角的大小可以用平面角来度量，从而引出两平面互相垂直的定义以及判定定理，李老师非常重视数学思维的培养，尤其是文字语言、符号语言、图形语言的三者转化。
李老师和我们分享了本课的单元-课时教学设计的理念。单元-课时教学设计充分体现了数学的整体性，逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，切实防止碎片化教学。本课提到的“定义-判定-性质”这条主线，恰恰就体现一个完整的知识体系。
●南沙区
南沙区高一数学老师以学校备课组为单位参加第7周市教研活动。这次活动首先观摩学习了李大伟老师的新授课《平面与平面垂直的判定与性质（2课时）》。本节课李老师准备的很充分，上的很精彩。教学过程设置合理，有梯次性，符合学生认知规律，体现了李老师教学设计的严谨性。整个课堂气氛民主、活跃，学生参与度高。教学过程中，李老师突出了以学生为主体的教学理念。整个教学过程李老师通过层层设问，步步引导，调动了学生的积极性，给学生充分的思考和发展的空间，在交流中让学生自己思考得出结论，使学生能够在思维中形成抽象的画面，进而自己尝试着总结出平面与平面垂直的判定与性质，能把线线垂直、线面垂直和面面垂直联系起来，掌握它们之面的联系，从而深刻理解和掌握相关知识。最后提一下李老师的板书设计，美观大方，布局合理，学生能够快速了解这节课的教学重难点。
本次教研的第二部分，李老师和我们分享了单元-课时教学设计《平面与平面垂直的判定与性质》。李老师不仅分享了教学设计的理念，还告诉了我们学习立体几何的途径：直观感受—操作确认—抽象概括—推理论证。认识和探索空间图形的性质，建立空间概念，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。
本节课学到了很多，数学教师只有不断的去学习，思考，提升自身对数学的理解水平，才能真正做到理解数学、理解学生、理解教学，才能围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，使学生会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维去思考世界、会用数学的语言表达世界。
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