《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标2022年版”）将“数与代数”领域的内容整合为“数与运算”“数量关系”两个主题，进一步优化了课程内容结构。其中，数量关系包括利用数与运算解决问题、估算、常见数量关系、字母表示数、探索规律等内容。然而，将这几个内容整合在数量关系这一主题下，不少教师困惑：这一整合背后的原因是什么？在该主题下如何落实核心素养？教师要如何理解与把握该主题的核心？为此，本文力求分析数量关系主题所链接的核心素养表现，搭建学习内容与素养表现之间的桥梁，明确各学段的重点关注，以便在教学实践中更好地落实核心素养。
一、主题概述
（一）学习主题链接的素养表现
“‘数量关系’主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。”［1］“课标2022年版”将分散的与分析和运用数量相关的内容——运用数和数的运算解决问题、估算、常见数量关系、字母表示数、探索规律等整合成数量关系主题，它们本质上都是运用数量关系解决问题，“这不只是形式上的变化，更是从学科本质和学生学习视角对相关内容的统整，更好地体现了学科内容的本质特征和学生学习的需要”［2］。这进一步凸显了问题解决在小学数学学习中的重要性，“有助于整体上理解和把握以数量关系和问题解决为重点的内容，促进学生问题解决能力的培养”［3］。
在数量关系的学习中要重点发展学生的应用意识、模型意识、符号意识，同时发展几何直观、推理意识和创新意识。“实施数量关系主题下的各部分内容的教学，重点在于将其作为一个整体理解，在教学实践中以模型作为数量关系的核心概念统领各学段不同内容之间的关联，避免孤立地、碎片化地学习知识和方法，促进知识与方法的迁移和学生核心素养的形成与发展。”［4］
（二）学习内容与素养表现之间的桥梁
如何架起学习内容与核心素养表现之间的桥梁？我们认为，需要认真分析核心素养主要表现的具体内涵。通过数量关系主题的学习，要重点发展学生的应用意识、模型意识和符号意识。
“应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。”［5］其中，“能够感悟现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，可以用数学的方法予以解决……”的要求需在数量关系主题中加以落实，从中也可以看到，从现实生活中发现并提出数学问题、规划解决问题的方案、寻求合理的问题解决策略是发展应用意识的关键。特别地，“应用意识有助于用学过的知识和方法解决简单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力”，表明学生在数量关系主题的学习中，需要立足真实世界，借助数学的知识和方法解决真实问题，从而体会数学与其他学科及现实世界的密切联系，感受数学的应用价值。
“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。”［6］其中，要求学生“知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释”。从中不难看出，在数量关系主题的学习中，对学生模型意识的培养同样需要鼓励他们解决现实生活中的真实问题，体会数学的应用价值；同时，要让学生在经历问题解决的全过程中，感悟数学模型可以解决一类问题。“课标2022年版”所提到的常见数量关系“总量=分量+分量”“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”等就是解决一类问题的数学模型，有助于学生解决现实问题，感悟数学的价值。
“符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。”［7］其中，“能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性……”体现了符号表达具有一般性，符号为数学抽象和一般化提供了必要的工具。把符号作为“对象”还可以进行运算和推理，且得到的结果也具有一般性。因此，在数量关系主题的学习中，需要学生在解决现实问题的过程中，借助符号将蕴含的数量关系和变化规律一般化，而这正是代数思维的核心。
另外，在数量关系主题的学习中，还要注重培养学生的几何直观、推理意识、创新意识等素养。
“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。”［8］需要学生借助直观来把握问题本质，明晰思维路径。“推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。……推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。”［9］要鼓励学生在问题解决的全过程中讲道理，有条理地思考和表达。“创新意识主要表现在发现和提出问题，提出猜想并验证，探索解决开放性、非常规的问题等方面。”［10］要鼓励学生主动调用已有知识经验，从现实生活中发现和提出有意义的数学问题，探索问题解决策略，形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神。
通过以上与数量关系主题相关核心素养表现内涵的分析，同时参照各个学段在这一主题下的“内容要求”“学业要求”“学业质量标准”，初步提炼了数量关系主题的核心概念，具体如下：
1. 现实生活中有大量涉及数量关系的真实问题，探索、分析和运用数量关系是发现和提出问题、分析和解决问题的重要途径。
2. 四则运算的意义是分析数量关系的基础，加法模型和乘法模型是解决问题常用的数学模型。
3. 根据实际问题的需要选择估算或精确计算来解决问题；画图、列表、实物操作是解决问题的重要策略；实际问题的结果要具有实际意义。
4. 相等关系（和不等关系）是数量之间的基本关系；等号不仅表达了运算结果，还表达了两个量的相等关系；寻找等量关系是解决问题的关键。
5. 用字母（或其他符号）或含有字母的式子一般化地表达数量关系和变化规律；字母参与运算或推理得到的结论具有一般性，以形成解决一类问题的模型。
6. 变量之间存在一定的关系，成正比的量概括了一类事物的变化规律。
二、学段分析
“根据学生发展年龄特征和学习循序渐进的需要，义务教育阶段课程内容各学习主题以螺旋式上升的方式被安排在四个学段。”“在体现内容的整体性和学科本质一致性的同时，四个学段内容的选择和设计呈现明显的阶段性。”［11］因此，需要在概述数量关系主题的基础上，对小学三个学段的内容进行深入分析，以便能更好地在一线教学中落实核心素养。
（一）整体学习进程
数量关系主题下的学习内容贯穿小学三个学段：第一学段着力于运用运算意义解决问题，感悟模型；第二学段着力于提炼常见数量关系，建立并应用模型；第三学段着力于用字母表达模型，进一步应用模型解决问题。可以看出，该主题的学习在整体上需要经历“在理解运算意义的基础上建立‘加法模型’‘乘法模型’等，进而进行模型的拓展应用”［12］的过程，过程中也“注重发现、分析和表达具体情境中数量之间的关系和蕴含的规律，并用于解释、推理和预测”［13］。
1. 第一学段
这一学段是学生用数学的方式观察和理解现实世界的开始。“课标2022年版”增加“感悟运算之间的关系”，强调对加法和乘法的感悟，为学生认识“总量=分量+分量”“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”这些数量关系奠定了基础；“增加数的大小比较，感悟相等和不相等关系”强调感悟数的两个基本关系以及大小关系的传递性，为后续理解“等量的等量相等”这一代数基本事实做好铺垫。
本学段重在利用四则运算的意义解决问题，让学生初步感悟模型。“学生初步接触数量关系，在教学时需要联系生活中的问题情境，主要利用四则运算的意义，并借助画图和实物操作等帮助学生理解数量关系，解决数学问题。”［14］侧重于让学生在熟悉的生活情境中提出合适的问题，并引导他们运用数和数的运算的相关知识来发现和合理表达简单的数量关系，解决简单的实际问题。同时，探索用数或符号表达简单情境中的变化规律，引导学生初步感悟加法模型和乘法模型，能解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联。
2. 第二学段
本学段学生将经历从现实世界中获得常见数量关系，建立基本的数学模型，并尝试运用常见数量关系解决实际问题。“课标2022年版”增加“总量=分量+分量”的加法模型，鼓励学生在真实情境中发现常见数量关系，并能合理利用数量关系解决问题，旨在更好地发展学生的模型意识与应用意识；增加“等量的等量相等”，旨在让学生尝试运用这一基本事实进行代数推理，发展学生的推理意识。
教学中应帮助学生体会现实生活中有大量涉及数量关系的真实问题，探索、分析和运用数量关系是发现和提出问题、分析和解决问题的重要途径；感悟速度、单价是用两个量之间的倍数关系来描述事物的属性，加法模型和乘法模型是解决问题的常用数学模型，可用来解决一类问题。
3. 第三学段
本学段要求学生在解决实际问题的过程中，进一步体会加法模型和乘法模型的意义，运用字母表达模型进而解决问题，并探索变量之间的关系。“课标2022年版”增加“结合具体情境，探索正比例的规律或变化趋势”，旨在让学生体会一个量是如何随着另一个量的变化而变化的，为中学函数的学习积累经验；将“能用字母表示数”调整为“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性”，突出了字母表达的一般性，旨在鼓励学生运用字母进行表示、运算和推理，从而解决问题。
“第三学段，数量关系教学的重点是模型的拓展应用，它的着力点仍然是对数量关系的分析与判断。”［15］注重鼓励学生用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律，形成初步的代数思维。同时，利用实际生活中的情境，理解比和比例以及按比例分配的含义，并能运用常见数量关系解决较复杂的真实问题。“第三学段解决的问题中包含较为复杂的数量关系，不仅需要学生用数学的眼光观察真实情境，尝试探索发现和提出问题，更需要学生综合运用所学的知识和方法，特别是运用数量关系模型及其拓展分析和解决问题，充分利用几何直观分析数量关系，选择恰当的数学模型解决问题，进而发展学生的推理意识、应用意识和创新意识。”［16］
（二）各学段的重点关注
为了建立学习内容与链接的素养表现之间的桥梁，研究团队针对数量关系的教学，分学段罗列了需要重点关注的地方，包括学生需要经历的重要过程，不同学段需要感悟、理解和迁移的核心概念，并最终归于需要发展的核心素养表现，具体如表1所示。
总之，在数量关系主题的教学中，要引领学生立足真实问题情境，经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，能用数和符号来表达实际情境中的数量关系，并建立恰当的数学模型，实现从四则运算意义的理解到模型建立的抽象过程，以及问题解决从个别化到一般化的过程，从而推动学生核心素养的发展。
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