数是对数量的抽象。感悟数的概念本质上的一致性，有助于学生形成数感和符号意识。数概念（整数、小数、分数）包含数的形成与发展、数的意义与数的表达等内容。数的概念本质上的一致性，对于教师而言是容易理解和达成共识的；但对于学生而言，因教材编排侧重点、时间跨度等方面的原因，往往又是相对模糊甚至有些割裂的。
数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会运算本质上的一致性，最终形成运算能力和推理意识。数的运算主要指整数、小数、分数的四则运算，其一致性主要体现在不同的运算都可以回归到加法，回归到同一计数单位个数的累加。由于对运算正确率的要求相对比较明确，这就导致在教学中教师对算法的重视要高于算理，学生对算理的感悟往往达不到整体化和结构化的程度。
1. 从数的形成与发展中感受一致性。
在小学阶段我们可以从“数系的扩充”和“计数单位”这两个方面来让学生感受数概念在本质上的一致性。数系的扩充源自记数的需要。例如，分数就是一种具有丰富内涵的数，分数中“量”和“率”的属性也始终交叉在分数知识的学习过程中。分数的扩充同样源自两种需要：一是在平均分物时，所分出的部分无法用自然数表示，为了表述整体中的部分就产生了分数；二是除法运算中得不到整数商时，需要用分数表示相应的结果。小数是十进分数，在意义上与分数是一致的，但在表达方式上又借助了整数的十进位值制，所以小数也称为十进小数。
教学中，可以设计“为什么要创造分数”“有了分数，为什么还要学习小数”等主题活动，引导学生追根溯源，刨根问底，打通隔断墙，感受数概念的一致性。
在数的概念中，无论是整数，还是分数和小数都可以看作是计数单位的累积。同时，所有的整数都可以看作是计数单位“1”不断累加的结果，所有的分数和小数都可以看作是计数单位“1”不断细分的结果。而这些都是学生理解和感悟数的概念以及数的运算一致性的逻辑基础。所以，无论是数的概念的教学，还是数的运算的教学，都要牢牢抓住计数单位这个核心概念，引导学生结合计数单位、计数单位的个数来理解数的意义以及运算的算理，感悟数的概念、数的运算在本质上的一致性，发展数感、符号意识、运算能力和推理意识。
例如，在“小数的意义”教学中，由于整数和小数都是遵循十进制，在认识了小数的计数单位和数位之后，教材都会整理出一个完整的数位顺序表。而在实际教学中，学生对数位顺序表的理解一直存在困难，多数情况下他们只是机械地记住了数位顺序，而对数位顺序表中的计数单位、数位之间的关系等理解并不深刻。对此，我们可以利用计数单位的累加和细分来引导学生理解。在数位顺序表中，个位是具有代表性的数位，它既是学生认识的第一个计数单位和数位，又是其他计数单位和数位产生的基础。即从计数单位“1”开始，由10 个一累加得到1 个十，再由10 个十累加得到1 个百、10 个百累加得到1 个千……进而就能得到整数的所有计数单位与数位。
同样，从计数单位“1”开始，通过把“1”不断细分，就可依次得到小数的计数单位十分之一、百分之一、千分之一……进而得到小数的所有计数单位与数位。而从整体上看，数位顺序表中相邻两个计数单位之间的进率都是10。如此，不仅能解决学生的疑惑，也有利于他们感受到数的概念在本质上的一致性。
2. 从数的表达中感受一致性。
如前所述，整数、分数和小数都可以看作是计数单位累积的结果。例如，32 是由3 个十和2 个一组成的；0.32 是由3 个0.1 和2 个0.01 组成的；2/3是由2 个1/3组成的。不难理解，数的表达都是以“数量+计数单位”的模式进行的。这里的数量是指计数单位的个数。换句话说，整数、小数、分数的表达，其核心概念依然是计数单位，计数单位和计数单位个数的不同就足以区分和表达所有的数。因此，在教学中应当有意识地引导学生进行比较和归纳，逐步形成如下图所示的认知结构，感受数的概念在本质上的一致性。同时“数量+计数单位”的模式也是数的运算教学中的关键内容，需要学生提前去熟悉和适应，为感受数的运算的一致性打下基础。
自《数学课程标准（2022 年版）》颁布以来，数的运算的一致性一下子就成了教学研究的热门话题，很多教师都在教学实践中努力探索引导学生感悟数的概念、数的运算的一致性的途径和方法。在研究中我们发现，由于在之前的教学中，教师没能有意识地引导学生从“数量+计数单位”的角度去理解运算的算理与算法，他们的经验系统中不同的运算大多处于孤立的状态。在这种情况下，教师试图用一节课的时间去打通不同知识之间的壁垒，难度较大，学生也很难真正理解整数、小数、分数运算的一致性。这就要求我们在教学中充分尊重学生已有的认知基础，从真实的学情出发对教学内容进行合理的整合与设计。
1. 感悟加、减法的一致性。
加法和减法是学生学习数的运算的开始。其中加法是最基本的运算，任何加法都可以分解为若干个“+1”的运算。正如著名数学家项武义所说：“加法是‘+1’的复合。”因此，自然数的加法可以理解为从某个数起连续数数的过程。而减法是加法的逆运算。减法可以看作是从某个数起往回数数的过程。但是，在实际的教学中教师往往仅把加法定义为“把两个数合并成一个数的运算”，这其实不利于学生对加法的本质以及加、减法关系的理解。
另一方面，加、减法运算需要遵循“相同计数单位的数才能直接相加、减”的原理，且大多数教师认为加、减法竖式很好地体现了这一原理。因此，不少教师在教学中过于强调竖式的作用，甚至把学会竖式作为学生掌握算法的唯一标准。事实上，加、减法运算的表达形式是可以多样的，可以是竖式，也可以是横式，而且横式的写法能更好地反映运算的算理。因此，在整数加、减法的教学中，可以采用横式与竖式相结合的方式引导学生联系数的表达方法去理解加、减法运算的算理，掌握算法，感受加、减法之间的联系。
对于小数加、减法的教学，由于小数的表达方式与整数相同，教学中可以引导学生根据整数加、减法的经验，自主完成算法迁移，并在深入理解小数加、减法算理的基础上，掌握算法，感受整数与小数运算的一致性。
分数加、减法与整数加、减法在本质上也是一致的，都可以看作计数单位（分数单位）个数的累加。同时，分数加、减法也要遵循“相同计数单位的数才能直接相加、减”的原理。进行异分母分数加、减法运算时要先通分，本质上就是把分数单位不同的分数转化成分数单位相同的分数。
这与整数加减法中的“相同数位对齐”、小数加减法中的“小数点对齐”在本质上是一致的。所以在教学中不但要启发学生理解“先通分再计算”的道理，而且要引导他们通过比较和交流，感受分数加、减法与整数和小数加、减法在算理与算法上的一致性。
2. 感悟乘法运算的一致性。
乘法是基本的运算之一。乘法运算是特殊的加法运算，其主要体现在乘法是加法的简便运算。在整数运算中，加法可以看作是逐一计数的过程，而乘法则可以看作是按群计数的过程。从逐一计数到按群计数，是计数过程的简化，也是思想和方法的进步。因此，相对于加法运算，乘法运算也被称为高级运算。
对于小数和分数乘法，一方面，随着数系的扩张，整数乘法的意义也被自然而然地推广到小数和分数中来，小数和分数乘法也可以表示求几个相同加数和的运算。另一方面，在分数乘法运算中，“求一个数的几分之几是多少”也可以用乘法计算，这是乘法意义在分数中的扩展，也是公认的教学重点和难点。同时，由于教材的编排顺序是先教学小数再教学分数，这就使得学生在学习小数时很难理解类似“3×0.4”这样的乘法算式的含义。而这，需要在学生学习了分数乘法之后进行再认识。所以，在教学分数乘法的意义时要安排专门的活动，引导学生理解“一个数乘小数”的含义。
例如，3×0.4，因为3×0.4 就是3× 4/10，所以3×0.4 就表示3 的4/10 是多少。对于小数与分数乘法的算理，也要启发学生从运算意义的角度去理解，并在适当的时机对整数乘法与小数、分数乘法进行比较，以帮助他们感悟乘法运算的本质，体验乘法运算在本质上的一致性。需要指出的是，对于乘法运算的一致性，也要紧紧围绕“计数单位”“计数单位的个数”等核心概念展开。
同时要结合实例，引导学生比较整数、小数、分数乘法运算算理的共同点，即两个乘数的计数单位相乘，得到积的计数单位；两个乘数计数单位的个数相乘，得到积的计数单位的个数。且在特定的条件下，计数单位与计数单位相乘，会得到新的计数单位。例如，下图的算式中，100×10、0.1×0.1、0.01×0.1、1/5×1/5、1/4×1/5等都是计数单位与计数单位相乘，得到的都是新的计数单位。
3. 感悟除法运算的一致性。
一方面，除法在本质上是乘法的逆运算，因此小数、分数除法的意义与整数除法相同，都是“已知两个乘数的积和其中的一个乘数，求另一个乘数的运算”。另一方面，学生在二年级认识除法时，都是结合平均分的情境来理解除法运算含义的。因此，在教学中不应把上述两个方面孤立起来，而要引导学生联系真实的问题情境去理解“除法是乘法的逆运算”的实质。例如，40÷2=20 表示把4 个十平均分成2 份，每份是2 个十。这里是已知每份数乘份数的积是40，份数是2，求每份数的运算，所以要用除法计算。
再者，关于除法运算的算理，可以按下图所示的进程引导学生去探索和理解，同时注意沟通整数、小数、分数除法之间，以及除法和乘法之间的联系，感悟数的运算的一致性，培养运算能力和推理意识。
总之，数的意义与数的运算是一个有机的整体。从本质上讲，数的概念、数的运算的一致性是数系扩张的必然结果，因为数系的扩张必须遵循因袭性原则，即扩充前的数集必须是扩充后数集的真子集，同时必须承袭扩充前数的性质、运算定义及运算性质。而这正是教学中需要突出强调数的概念、运算的一致性的根本原因。
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