数是数学最基本的研究对象。数的认识是学生学习数学的开始，历来都是小学数学课程的重要内容之一。依据《数学课程标准（2022年版）》修订的苏教版教材在“数的认识”方面有哪些新的变化？教学中需要注意哪些问题？下面围绕这两个方面作简要介绍。
part 01
“数的认识”教材内容
新教材中“数的认识”一共编排 12 个单元和一次综合实践（如表 1），分布在一至六年级。和原来的教材相比，这部分内容主要有以下几方面变化。
表1“数的认识”内容结构
01
调整部分内容的教学。
一是细化20以内数的认识历程。新教材将 20 以内数的认识划分成 0~5、6~9、10 和 11~19 四段编排。10 以内的加减法运算紧随认数进行教学。这样教学，有利于缓解学生的学习压力，调节学生的学习情绪，促进学习经验的迁移。把10的认识单独编排成一个单元，突出 10 的关键地位。一方面，从认识 1~9 到认识 10，标志着从逐个计数向按群计数过渡。逐个计数和按群计数最本质的区别是“进位”；另一方面，“十”的表示涉及位值制和用零占位等知识。因此，10的认识对于后续认数学习具有重要的影响。
二是重构小数和分数的学习线索。新教材按照“分数的初步认识—小数的意义—分数的意义”这一顺序重构小数和分数的学习线索。在分数的初步认识单元，教材先教学几分之一的认识，教学用分数表示量和率；再教学几分之几的认识，带出分数单位，并结合十分之几带出简单的小数；认识几分之几后，增加等值分数的认识，引导学生运用等值分数比较简单分数的大小，拓展代数推理空间；最后，教学简单的分数加减法。考虑到新教材中小数乘小数和除数是小数的除法移到了分数乘除法之后再教学，原来教材五年级分数的意义第一课时内容比较单薄等原因，新教材将原来三年级下册认识一个整体的几分之几合并到五年级分数的意义中教学。新教材不再编排小数的初步认识单元，而是采用分散认识：一是在“综合与实践”领域的主题活动中，引导学生联系生活中的购物经验解释以“元”为单位的小数；二是在认识米和厘米时，引导学生联系生活中量身高的经验解释以“米”为单位的小数；三是在分数的初步认识中，结合对十分之几的认识，从数学本质的角度了解一位小数是十进分数的另一种表达。
三是根据《数学课程标准（2022 年版）》的要求，将负数的认识移到“综合与实践”领域，将百分数的认识移到“统计与概率”领域。
02
凸显数学内容的整体性。
运算与数是同步产生的，数的各种运算都是建立在计数基础上的。从某一个数开始，向后数孕伏加的运算，往回数孕伏减的运算；从0开始，几个几个地向后跳着数孕伏乘的运算，往回跳着数孕伏除的运算。数的意义和数的表示是理解数的运算的基础。教学 10 以内数的认识以及小数和分数的意义时，教材都是把加减法运算和认数编排在同一单元。在其他认数单元，教材也穿插安排相关的运算内容。教材把数的运算紧密结合认数编排，优化了内容结构，凸显了内容的整体性。
03
加强对计数单位的教学。
计数单位是认数内容的核心知识。新教材以计数单位为主线，引导学生理解和掌握数的概念，感悟数概念的一致性。认识一位数，教材凸显自然数是1的累加；认识两位数、三位数、四位数和多位数，教材都是从认识新单位（十、百、千、万）开始，而且单列课时进行教学；初步认识分数，教材通过几分之一的累加认识几分之几，带出分数单位；教学小数的意义，教材引导学生经历把0.1平均分成10份产生两位小数、把0.01平均分成10份产生三位小数的过程，突出小数单位的产生和累加；教学分数的意义，教材增加测量活动中的分数，让学生体会分数单位的产生和累加。在教学整数、小数和分数后，教材增加“数与运算的再认识”单元，引导学生感悟整数、小数和分数都是用计数单位计数，都是由若干个计数单位组成，感悟数概念的一致性。
04
重视在直线上表示数的活动。
数与数之间的关系以及相关规律看不见、摸不着。直线是一种直观的图形，直线上的单位长度是任意取定的，当“0~1”之间的一段一旦被确定，所有整数、小数、分数都与直线上的点建立一一对应关系，并排成“线性”顺序。这种“线性”顺序直观反映数之间序的关系。因此，在直线
上表示数能直观显示数的存在性及其内部结构。教材在认数教学中，凸显在直线上表示数对于理解数概念的价值。一是结合认数范围的扩展，及时引导学生在直线上填数，体会数序。同时，让学生在直线上一十一十、一百一百地数数。学习小数 的 意 义 后 ，让 学 生 在 直 线 上 以 0.1、0.01、……为单位计数，促进学生理解计数单位之间的十进关系。二是引导学生在直线上描点表示数，根据点的位置比较数的大小，促进学生体会数的大小关系。三是借助在直线上表示数帮助学生理解近似数的含义，体会近似数的精确范围。这样编排，不仅有利于促进学生理解抽象的数，发展数感，而且有利于培养他们的几何直观。
part 02
“数的认识”教学指要
《数学课程标准（2022 年版）》明确指出，认数教学要引导学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念，初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识。以此为依据，“数的认识”教学重点要关注以下几个方面。
01
以数的概念为重点，感悟数是对数量的抽象。
1
引导学生经历整数概念的抽象过程
在现实生活中，抽象的数是不存在的，存在的只有与数对应的数量，如 1 粒米、2 匹马、3 辆车等。人们在日常生活中面对各种各样的事物，自然就会产生计数的需要。所以，对数的大小的感悟是从数量的多少开始的。回顾计数的历史，人们用身体器官、石子等替代物表示具体事物的数量，本质是舍弃具体事物的物理属性、只保留其数量属性的过程。为了便于交流，需要把计数的结果记录下来，这就是数的表示。数的表示，本质是对实物计数、图形计数的符号化。由此看来，理解和掌握数的概念，就是经历从数量到数的抽象过程，其中包括从数量的多少抽象出数的大小和用符号表示数两方面。史宁中教授提出，有两种方法可以实现这个抽象：一是基于对应的方法，就是先用实物、图形对应表示事物数量的多少，再对实物、图形的多少进行命名，最后把命名的东西符号化；二是基于定义的方法，就是依赖数的大小关系，通过不断加 1 产生新的自然数。前者是从现实生活中抽象出数，后者是基于数学的逻辑产生数（这是学习运算的本源）。在认识整数时，新教材充分体现这一思想，引导学生完整经历数学化的过程。
教学 1~9 的认识时，教材设计了相同的学习线索，即先基于对应的方法，引导学生联系生活实际抽象出数，再基于定义的方法，引导学生利用“后继”体会概念本质。以“认识1~3”为例。教学可以分两个层次：第一层次，引导学生从现实生活中抽象出数。呈现现实情境，先引导学生到情境中数数，并把数量相同的不同对象用象形集合图表示出来，从而聚焦它们在量的方面的属性。1 个足球、1 个足球门、1顶帽子在数量上是等价的，可以用 1 根手指代表一类等价集合的元素个数。接着，引导学生把手指表示过渡到方块表示。方块是几何模型，它舍去了实物的质的属性，同时又是实实在在看得见的，从手指（实物）表示过渡到方块（图形）表示，学生的认识就能从感性具体上升到感性一般。以此为桥梁，进一步抽象成数字符号“1”，学生的认识也就能从感性上升到理性。为了帮助学生完整感悟抽象的过程，教师还可及时追问：“1 还可以表示什么？2，3呢？”引导学生体会抽象的数字符号具有广泛的代表性。第二层次，引导学生通过后继关系得到自然数。先在计数器上拨出 1颗珠表示 1，再添上 1颗珠是 2，而 2颗珠添上 1 颗珠是 3 颗珠。借助拨珠活动，使学生初步体会自然数都是 1 累加的结果，前一个数加1就能得到后一个数。
认识两、三、四位数，教材都是创设现实情境，引出需要计数的问题。可以先让学生通过摆一摆、拨一拨、数一数得出结果，继续体会自然数的加1本质；再引导学生基于对应的方法，经历“实物表示—计数器表示—符号表示”的抽象过程。以“认识11”为例。教师出示数桃的情境后，让学生用方块代替桃，边数边摆。学生一般通过点数得出桃的个数，感受 10 添上 1是 11，11是 10后面的一个数。接着，可以启发学生思考：“怎样摆方块能很容易看出一共是 11 呢？”引导学生根据情境中的直观图，想到盒子里面装 10 个，就摆 1 根直条，盒子外面有 1 个，就摆 1 个方块，从而体会用1根直条表示1个十，用1个方块来表示一。在此基础上，引导学生把方块表示的数在计数器上拨出来，体会不同数位上的数有不同的计数单位。最后，让学生对着计数器上的珠写数——十位上有1个十，对齐十位写“1”，个位上有1个一，对齐个位写“1”，赋予不同数位上“1”具体含义，抽象出数的概念。这样，先基于已经建立起的自然数序的关系数出结果，进一步体会自然数加 1 的本质，再基于对应的方法经历数的抽象过程，学生就能完整地经历两次数学化的过程。
2
引导学生经历分数和小数概念的抽象过程
对于分数的认识，教材注意通过分段编排，引导学生逐步经历分数概念的抽象过程。
教学分数的初步认识时，教材创设分物情境，引发学生认识新数的心理需求。知道“半个”是学生的生活经验，用“1/2 个”表示是生活经验的数学化。新教材不再直接给出“半个就是二分之一个”，而是提出“‘半个’可以怎样表示”这一问题。在实际教学中，教师要鼓励学生先自主表示出“半个”，再组织他们对各种典型作品进行辨析、比较，把原本不自觉的、潜在的、粗糙的生活经验进行改造，逐步抽象出“平均分”“分2 份”“取1份”。在此基础上，结合“分”的过程给出符号表示。学生经历这样的过程，不仅能深刻理解1/2 的含义，而且能体会符号表示的好处。在抽象出“1/2”后，还要及时组织学生围绕“1/2 还能表示什么”展开交流，体会1/2 具有广泛的代表性。
教学分数的意义时，教材从分一些物体组成的一个整体、用分数表示分的结果开始，帮助学生进一步丰富对分数的感性认识。教学可以分三个层次展开：第一层次，认识一个整体的1/2。教师继续创设分物情境，引导学生迁移已有的经验，在图上分别表示出 6 块饼干、8 块巧克力的1/2，进而通过反思抽象1/2 的本质属性。第二层次，认识一个整体的几分之几。可以通过情境变式，帮助学生逐步理解分数的内涵。第三层次，拓展分数的外延。可以组织学生说说刚才这些分数还可以表示什么，感受分数的一般性。在学生形成丰富的感性认识后，教师可以让学生在直线上描点表示分数，舍弃背景，抽象概括分数的意义。新教材中不再出示单位“1”的概念，而是用“整数1”来表述，这样与小数意义的编排保持一致，有利于学生体会整数1是沟通自然数与小数、分数的桥梁。
教学小数的认识时，可以先创设度量情境，引导学生在测量长度的活动中体会十分之几米、百分之几米 、千分之几米……分别可以写成用“米”作单位的一位小数、两位小数、三位小数……在此基础上，让学生用分数和小数表示正方体上的涂色部分，实现去情境化，抽象概括出小数的意义。
02
以计数单位为核心，感悟数概念本质的一致性。
整数、小数、分数都是相同计数单位累加以及不同计数单位组合的结果。从一致性角度看，数的认识教学重点涉及两方面：一是单位是如何产生的，二是单位是如何累加或组合的。由此看来，所有数的认识都要先研究单位是如何产生的，然后研究其他的数是如何得到的。
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引导学生感悟整数都是由若干个计数单位组成的
在自然数序列中10、100、1000、10000、……具有双重身份。教学两位数、三位数、四位数和多位数的认识时，教材分别从认识 10、100、1000，10000 开始，先按照“加 1”规则认识到 10、100、1000、10000 分别是 9、99、999、9999 后面的一个数；再通过一个一个、十个十个、一百一百、一千一千地数，明确“十”“百”“千”“万”也是计数单位。教学时，先要充分展开新单位的产生过程，再引导学生用新单位计数。
认识10是关键。把10的认识突破了，其他单位的认识就容易了。教学时，可以先让学生到真实的情境中数数，明确“9添上 1是十”，再引导他们经历“10个一是1个十”的认知历程。对于小学生而言，“10个一是 1 个十”比较抽象，所以教学可以分为四个层次：第一层次，借助“10包纸巾装成 1 袋”“10 支铅笔扎成 1 捆”等生活原型，引导学生直观体验“10 个一可以换成1个十”；第二层次，在计数器上拨珠，把10个一换成 1 个十，认识个位和十位；第三层次，用符号表示“十”——先引导学生对齐十位写 1，并体会只写“1”还不行，再启发学生联系已有的经验，基于个位上一个也没有，要写0。这样，学生就能初步体会位值制以及用“0”占位的必要性与优越性。第四层次，组织学生一个一个地数方块，把 10 个方块合成一条，产生新的计数单位“十”。
认识10后，还要引导学生用“十”作单位计数。10 添上 1 是十一，前文已经介绍“11”的抽象过程。用“11”表示“十一”后，接着要引导学生根据不同数位上“1”表示的含义，把“11”写成“10+1”形式，体会不同计数单位可以组合，11 可以看作 1 个十和 1 个一的组合。在此基础上，还要完整呈现 12 到 19，一方面帮助学生体会以“十”作单位计数时，不足十的数计数顺序和10以内的数是一致的，为结构化地认数打下基础。另一方面，让学生进一步体会十几都可以写成 10加几的形式，都是 1个十和几个一的组合。教学 20~99 的认识时，首先要展开“19 添上 1 是 20”的过程，帮助学生理解“满十进一”的计数原理，体会 20 是 2 个十累加的结果；然后，完整呈现 21 到 99，引导学生继续体会以“十”作单位计数时，不足十的数的计数顺序和10以内的数是一致的，理解所有两位数都可以看作几个十和几个一的组合。
同样，教学三位数、四位数的认识时，也都要先展开新单位产生的过程，然后引导学生用新单位计数，体会三位数、四位数都是由计数单位组合而成的。认识多位数后，学生对自然数的认识将告一段落，教师要带领学生简要回顾人类计数方法的发展历史，体会自然数的基本计数方法，抽象概括十进制计数法，感受我国四位一级的计数方法，明确每个自然数都是由若干个一累加而成的，较大自然数还可以看成由不同计数单位组合而成。
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引导学生感悟小数都是由若干个计数单位组成的
小数是十进分数的另一种表达形式，“十进”是本质。教学“小数的意义”时，教师要引导学生经历单位细分产生新的计数单位的过程，突出新的计数单位的累加产生新的小数。学生在过去已经经历了把整数 1 平均分成 10 份并表示出一位小数的过程。怎样把 25 厘米改写成用“米”作单位的小数呢？过去的教学，一般引导学生根据米和厘米之间的关系进行思考，即如：因为 1 米=100 厘米，1 厘米是 1/100米，可以写成 0.01 米；25 厘米是 25 个 1/100米，25 个 0.01 米是 0.25 米。这样教学，并没有让学生清晰地体会 0.01和 0.1之间的关系，也就是没有讲清 0.01 的产生过程。因此，仅有上面的教学是不够的。教学中，还要引导学生围绕“0.01 米也可以看作是把 0.1 米平均分成多少份得到的”展开讨论，经历单位细分的过程。同样，在引出三位小数时，也要突出把 0.01平均分成10份，每份是0.001的过程。
理解小数的意义后，教师要带领学生整理小数的数位顺序表，进一步体会小数与整数之间的联系。以整数 1 作为单位，按照满十进一的规则，通过单位累加可以得到整数部分的计数单位，体会用整数部分的计数单位能组成不同的整数；按照退一作十的规则，通过单位细分可以得到小数部分的计数单位，体会用小数部分的计数单位能组成不同的小数。这样，以整数1为桥梁，借助十进制计数法，小数和整数就构成了一个完整的数的系统。
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引导学生感悟分数都是由若干个计数单位组成的
分数的本质是“数”，数都可理解为计数单位累加的结果。教学分数的认识时，教材十分重视分数单位的教学，引导学生逐步感悟分数都是若干个分数单位累加的结果。
教学分数的初步认识时，教材结合认识几分之几，带出分数单位。教学时，一方面要引导学生经历几分之一通过累加得出几分之几的过程，感悟几分之几都是由几个几分之一组成的；另一方面，教学分数大小比较和简单分数加减法时，要注意引导学生紧密联系分数单位进行思考，初步体会比较分数大小就是比较相同分数单位的个数，计算分数加减法就是把相同分数单位的个数相加减。
教学分数的意义时，教材增加在度量活动中认识分数的内容，同时带出假分数。这样编排，不仅有利于促进学生理解分数的本质，感悟分数单位的产生与累加，而且能有效化解真分数和假分数的教学难点。教学时，要关注以下三点：一是在测量情境中引出“用粉彩带作单位测量蓝彩带，不能正好量完，怎样才能准确知道蓝彩带有多长”这一问题，组织学生讨论，在讨论中明确可以把粉彩带平均分成2 份、3 份、4 份……用每份的长度作为新的单位测量蓝彩带的长度。二是留给学生充分的自主活动时间，使他们在反复尝试、不断调整的过程中经历分数单位产生的过程。三是让学生经历用分数单位进行累加的过程，体会以 1/4 作单位，几个 1/4累加就是四分之几，并由此带出假分数。
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感悟数都是用计数单位计数，理解数概念的一致性
在教学整数、分数和小数的认识后，教材增加“数的再认识”的内容，帮助学生进一步理解数概念的一致性。教材采用填空的形式，让学生用不同计数单位的组合表示整数、分数和小数。通过比较，明确整数、分数和小数都是用计数单位计数，都是由若干个计数单位组成的。然后，呈现过去经历过的比较数的大小的活动，进一步理解数的概念本质上的一致性。教材的编排启示我们：理解数概念的一致性，应当是一个连续、渐进的过程，教学要充分考虑学生认知水平的阶段性特点，不能拔苗助长、急于求成，而要结合各阶段的认数内容，引导学生逐步进行关联统一，不断提升概括化水平。
03
在认数活动中发展学生的数感。
数感是数学核心素养在小学阶段的主要表现之一，也是中学阶段形成抽象能力的经验基础。数感的培养与认数活动相伴相随。要结合不同阶段的认数活动不断丰盈学生对数的大小的感悟，促进学生逐步建立数感。
1
引导学生联系生活实际感悟数的大小
在认数教学中，教师要有意识地引导学生到生活中去数数，感受具体数量的多少，为发展数感积累经验。如学生知道自己班级大约是 40人，学校有 30个班级，利用这个经验可以直接感知 1200 的大小。另一方面，对数的大小的感悟，不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还要引导他们感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。比如，结合认数教学，可以要求学生用数表达交流生活中的信息，体会用数可以把相关信息刻画得更清晰、更准确。再如，认识三位数后，出示“位于迪拜的哈利法塔大楼高约 800 米”“目前，世界上最小国家常住人口不到 800 人”。通过让学生阅读上面两条信息，对 800 的大小形成更加直观的感受。同样是 800，使用不同的背景，有时感觉它很大，有时感觉它很小，这恰恰是培养数感所需要的。
2
引导学生在数学活动中感悟数的大小
发展学生的数感，需要以有效的数学活动为抓手。结合认数教学，教师可以通过数数、估数等活动，帮助学生积累数学活动经验，进一步感悟数的大小。对数的大小的感悟，不仅指感悟各个数的数值，还包括数与数之间的大小关系。教学中教师要重视引导学生结合在直线上描点比较数的大小、理解近似数含义等活动，感悟数的大小关系。除此之外，还可以通过选数活动体会数的接近程度，通过猜数活动体会数的区间范围。
3
引导学生在数学活动中感悟数的大小
发展学生的数感，除了联系生活经验外，还需要借助推理活动。特别是对较大数的认识，学生受生活经验限制，难以结合具体数量直接进行感知，而推理可以促进学生对大数的感悟。例如，教学10000的认识时，可以引导学生联系一个班级的人数大约是50人，开展推理：2个50是100，20个50是1000，200个50是10000；也可以联系学校的跑道一圈长400米进行推理：2个400是800，20个400 是8000，剩下 2000是5个400，所以25个400 是10000；等等。学生利用已有知识展开推理，对10000的大小感悟就会越来越丰富，越来越精准。
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