在几何中，人们把限定用无刻度直尺和圆规精确作出符合要求的几何图形，称作尺规作图。2000多年前，古希腊数学家欧几里得在所著的《几何原本》中就收录了天文学家、数学家伊诺皮迪斯所提出的两个命题：给定直线外一点求作直线的垂线、求作一角等于已知角，明确要求只准使用无刻度直尺和圆规两种工具。古希腊人认为，直线和圆是几何学中最基本的研究对象，有了直尺和圆规就已经能作出直线和圆，因此不再需要添加其他作图工具。从此，尺规作图逐渐成为一种约定的几何作图要求，也成为平面几何学习的重要内容。
尺规作图使用的直尺和圆规带有抽象和想象的性质。直尺是没有刻度、无限长的，且只能使用直尺的固定一侧，其功能是可以在两点之间连接一条线段，并向一方或两方延伸，可以作线段、射线和直线。圆规可以拉开至无限宽，但仅限于拉开成之前构造过的长度，且上面亦不能有刻度，其功能是以任意点为圆心，任意长为半径作一个圆或一段弧。最基本、最常用的尺规作图称为基本作图。基本作图主要指作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，而复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
任何尺规作图的方法均可分解为以下五种最基本的步骤：
①通过两个已知点可作一直线；
②已知圆心和半径可作一个圆；
③若两已知直线相交，可求其交点；
④若已知直线和一已知圆相交，可求其交点；
⑤若两已知圆相交，可求其交点。
义务教育阶段学生首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”。课程标准（2022年版）》进一步优化课程内容设计，在小学阶段增加了尺规作图的学习要求。下面围绕小学阶段尺规作图的教学价值与实践策略谈一些粗浅想法，以抛砖引玉。
在图形与几何教学中，通过观察和操作等方式，能有效培养学生的空间观念、几何直观及推理意识。其中，画图是最常用、最简便且最有效的几何操作活动。这样的操作活动能够顺应小学生“活泼好动、以直观为主”的认知心理特征。尺规作图是画图的重要方式之一。让学生在小学阶段学习尺规作图，主要具有以下教学价值。
1.有利于衔接中小学几何学习。
很多初中学生学习几何时，往往很焦虑，主要原因之一是小学阶段教师忽视学生几何素养的培养。学生进入初中学习几何时，常常表现为不善于灵活运用几何语言、作图语言和符号语言。在小学阶段引入尺规作图，能为学生今后升入初中自然、顺利地接受那些被视为公理的几何事实提供初步经验，打下认识基础，从而更好地学习几何内容。
2.有利于积累几何探究经验。
尺规作图作为一种几何探究途径和手段，一般要求学生结合具体任务，借助尺规作出符合要求的图形，从而顺利解决问题。在实践探究过程中，小学生依托作图工具，手脑并用，参与几何探究学习，不仅有助于激发学习几何的浓厚兴趣，而且能有效锻炼动手能力，帮助他们不断丰富和拓展几何知识，积累几何探究的数学活动经验。
3.有利于提高几何直观水平。
几何直观是指人们借助眼睛看到的或脑中想象的几何图形描述和分析问题，使原本抽象的数学问题得以直观呈现，便于直接感知。其中，构造并作出合适的图形是几何直观的重要前提。小学阶段引入尺规作图的教学，有利于学生基于解决实际问题的需要，按照作图规则，在具身操作中作出精确的几何图形，其过程本身就具有不可替代的直观性，有助于学生培养初步的空间想象能力，发展几何直观。
4.有利于培养逻辑推理素养。
学生思考几何命题时，往往需要借助作图操作经历尝试、分析、思考、证明等逻辑思维过程。利用尺规作图，落在纸面上的作图轨迹对应并体现着演绎推理的思路和步骤，是发展学生推理意识的重要路径。比如，借助尺规作图探究三角形三边的关系，学生可以在作图过程中尝试猜想、操作和验证，使感性的操作过程和理性的推理过程结合起来，有利于他们的思维从具体操作向空间推理进阶。
5.有利于深刻理解几何知识。
在探索和应用几何图形的特征时，引入尺规作图解决一些简单的几何问题，能帮助学生加深对几何知识的理解。例如，教学“三角形三边的关系”后，要求学生从给定长度的线段中，选择几条并借助尺规作出三角形，在操作中实现知识的逆向运用，并由此促进他们对“三角形三边的关系”的深刻理解。另外，利用尺规作图解决一些综合性问题，还能促进不同几何知识的相互沟通，有助于学生建立结构化的知识网络。
小学阶段开展尺规作图教学，主要是为了让学生体会、感悟尺规作图的基本要求，初步掌握用尺规作简单图形的方法和原理，学会借助尺规作图解决一些简单的几何问题。小学阶段尺规作图主要是一些最基础的操作，包括用尺规作一条线段等于已知线段、作出指定多边形的周长、用三条指定长度的线段作三角形等。实际教学中，应坚持“初步探索、尝试运用、适度拓展”的原则，为学生后续学习几何知识积蓄更加充分的发展潜能。下面结合具体实例简述尺规作图教学的路径与策略。
1.初步探索：在画线段中体会尺规作用，感悟作图原理。
《课程标准（2022年版）》在第二学段安排了“用直尺和圆规作等长线段”这一内容。这部分内容的教学，重点是让学生在“玩”中初步认识尺规的特点和作用，积累初步的作图经验，发展几何直观。在实际教学中，教师可以在引导学生回顾线段特点的基础上，出示一条线段，设计如下的任务链：
（1）借助有刻度的直尺，作一条与给定线段长度相等的线段；（2）用无刻度的直尺（或不看直尺上的刻度）和圆规，作一条与给定线段长度相等的线段。任务（1）旨在唤醒学生的原有认知，通常学生都能轻松完成。对于学生而言，任务（2）则是一项全新的任务，具有一定的挑战性。
学生在探索过程中，一般会出现两种作图方法：
一是先打开圆规的两脚，量取指定线段的长度，再画出一段弧线，接着用直尺从圆心出发画一条射线，与弧线相交于一点，则圆心与交点之间的线段就是要求的等长线段；
二是先用直尺从一点出发画一条射线，再打开圆规两脚，量取指定线段的长度，以射线端点为圆心画弧，与射线相交于一点，则圆心与交点之间的线段即为要求的等长线段。
这两种方法虽然在作图顺序上有先后之别，但其本质是相通的。学生在不同的操作过程中，不仅能够体会到尺规作图中直尺和圆规的作用（用直尺可以画直线，可以连点成线；用圆规的两脚可以确定两点之间的距离，即线段的长短），而且有利于形成对几何图形的直观感知，深刻体会“两点确定一条线段”的基本意义，以及线段长度与两点之间距离的关系。
在实际教学中，教师还应注重引导学生体会交点能体现一种确定性。结合作图方法的介绍，使他们感受仅用一种工具完成作图第一步，只是确定了线段的第一个端点，但第二个端点还是不确定的。即如，在上述的方法一中，第二个端点藏于弧线上的任意一点（线段方向不定）；在上述方法二中，第二个端点在射线上的位置是未知的（线段长度不定）。
只有通过第二步操作，才能使直线和弧线相交，形成交点，由此第二个端点才能确定。学生对交点意义的感悟，本质上就是对尺规作图原理的理解。为促进学生理解周长的含义，《课程标准（2022年版）》还增加用尺规作图认识三角形周长的学习要求，即“把三角形的三条边依次画到一条直线上”。学生在这样的作图活动中，能直观看到“周长是围成图形的一周边线的总长”，感受线段长度的可加性。
2.尝试运用：在画三角形中感受尺规价值，培养推理意识。
在初步认识尺规作用及操作方法的基础上，《课程标准（2022年版）》还设计了基于给定线段用尺规画三角形（包括等边三角形）的学习内容，引导学生在操作过程中进一步感受尺规作图的价值和原理，形成初步的技能。同时，围绕“是不是任意三条线段都能围成一个三角形”这一核心问题进行探索，培养学生初步的推理意识。
在实际教学中，教师可以先出示三条指定长度的线段，并提出如下学习任务：（1）用带刻度的直尺画出三角形；（2）用无刻度直尺和圆规画出三角形。在完成任务（1）时，教师首先画出一条边，要求学生用直尺画出另外两条边，并确定第三个顶点。学生在操作过程中，反复尝试、调整两条边的角度，但很难精准定位第三个顶点，由此引导他们进入任务（2）的探索过程。
用尺规画三角形时，学生以已经画出的线段的两个端点为圆心，以另外两条线段的长度为半径，分别画一条弧线，两条弧线相交得到第三个顶点（如下图）。教师还可以适时追问：“为什么两条弧线的交点就是三角形的第三个顶点？”引导学生在交流中明确：以点A 为圆心画出的弧，弧线上的任意一点到点A 的距离都等于7厘米；以点B 为圆心画出的弧，弧线上的任意一点到点B 的距离都等于6厘米。
换句话说，这个交点既是第二条线段的另一个端点，也是第三条线段的另一个端点，所以是三角形的第三个顶点。学生从不容易找到三角形的第三个顶点到快速确定三角形的第三个顶点，并能解释其中的道理，就能进一步体会尺规工具的特点和价值，发展初步的推理意识。在后续利用尺规作图探索三角形三边的关系时，学生还可以借助画三角形的经验，进行分析和推理，感受数学结论的严谨性和确定性。
3. 适度拓展：在画角中迁移作图经验，发展创新意识。
在学生学习角的度量，初步掌握用量角器量角以及画指定度数的角等方法后，为了使他们进一步熟悉尺规作图的原理和方法，教师还可以安排学生拓展尝试“用尺规作一个与已知角相等的角”，以进一步发展他们的创新意识。
在实际教学中，教师可以先让学生回顾用尺规作等长线段和根据三条指定长度的线段作三角形的活动，激活已有的方法经验，然后出示新的学习任务：用尺规作一个与∠A 同样大小的角。同时要求学生保留作图痕迹，让别人能看懂你的思路和方法。
面对这样的作图任务，学生一开始常常会束手无策。教师可以启发学生联系尺规作等长线段和根据三条指定长度的线段作三角形的经验，大胆进行尝试。经过探索和尝试，学生迁移已有的尺规作图方法，会形成如下的思路：先把∠A 两条边的末端连起来，构成一个三角形；然后，用尺规作出一条与三角形底边相等的线段，再根据尺规画三角形的方法，画出与原来三角形完全相同的三角形，从而得到与∠A 相等的角（如下图）。
此时，教师可以组织学生讨论：画出的角为什么会与∠A 相等？使学生体会到：由于两个三角形中对应边的长度相等，所以这两个三角形完全相同；因为这两个三角形完全相同，所以它们对应角的大小也相等。在此基础上，教师还可以通过微课向学生展示初中阶段用尺规作角的基本方法和步骤，并让他们与自己的作图方法进行对比，发现其中相同的地方。
学生通过自主尝试，迁移运用尺规作等长线段和根据三条指定长度的线段作三角形的方法经验，挑战新的作图问题，不仅能进一步感悟尺规的功能、培养推理意识，而且能在挑战过程中产生用尺规作图解决更多几何问题的兴趣。这样的拓展学习，能充分激发学生的学习潜能，为他们的后续学习积蓄发展动力。
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