我们常说给孩子一杯水，教师自己要有一桶水。不过我们往往忽略这么一个问题：教师怎么把自己的水变成学生的水？有的教师有一缸水可倒了半天学生的杯子里一滴水都没有，因此教师有必要研究倒水的技巧。教师怎样在学生的杯子里倒满水呢，陶行知先生在几十年前就给我们指明了方向——“教学做合一”。
笔者就以“分数乘整数”一课为例来谈谈如何在“教学做合一”理念的指导下开展数学教学。
Part 一.
倒水之前先储水
有种观点叫“教什么比怎样教更重要”。姑且不论到底哪个更重要，不过如果一个教师连教什么都没弄清楚那怎样去教又从何谈起呢？我们现在很多老师在上课之前（尤其是公开课）往往先思考的是如何制作精美的多媒体课件、如何创设生动的情境、如何引导小组合作等问题，但往往课上热热闹闹，课后学生却空空如也、一无所获。到头来把“放手”变成了“放羊”于是乎不得不另找时间仍然“把学生当天津鸭儿添入一些零碎知识”。
先生有个观点“师要教好学生首先自己要学好”，教师自己桶里无水，学生的杯中又怎会有水呢？所以要上好一节课，先把教材吃透是少不了的。先生说过“教学做合一的理论不是不要书……不用书，或用书而用得不够，用得不当，都非教学做合一的理论所允许的。”备课时需要反复阅读教材、教参及网络的教学资源领悟教材的意图。对教材我们可以从纵横两条线进行分析，从纵向看分数乘法是在学生掌握了整数乘法、分数的意义、分数的基本性质以及分数加减法的基础上进行教学的，而向后延伸则是分数除法的教学；从横向看分数乘法主要有分数乘整数、整数乘分数和分数乘分数三种类型。教材的例题1对应的是分数乘整数，例题2对应的是整数乘分数。
这两个例题都是分数和整数相乘，在算法上是一致的，而且分数和整数相乘的算法是很简单的，对学生来说很容易记忆。但如果学生没有深刻理解分数乘法背后的意义，那么学生在解决实际问题的过程中就会碰到困难。例题1解决的问题是“求几个相同分数的和”，此类问题可以从整数乘法的概念——相同加数和的简便运算入手，学生解决问题时可以借助整数乘法中计数单位累加的经验来实现原有乘法意义的迁移——即转化为分数单位的累加；例题2解决的问题是“求整数的几分之几是多少”，此类问题的解决很难利用整数乘法的意义迁移后解决，从关系上说例题1是乘法意义的迁移，而例题2是乘法意义的发展。所以例题1和例题2对学生来说是两种完全不同类型的问题，前者的问题情境相对比较简单，有了解决整数乘法问题的经历，学生往往解决这类问题比较顺利；而后者的问题情境相对比较复杂，学生对此类问题的理解常常会出现困难，在教学处理上应该从易到难，由此可见本节课的重难点应在于让学生通过迁移整数乘法的知识，理解并掌握分数与整数相乘的计算方法。
在比较多个版本的分数乘法教材时，我们可以发现苏教版有让在学生解决问题“求几个相同分数的和”时先涂色再列式的要求。
应该说学生根据题目的意思列出算式并不困难，但在一般情况下学生是不会想到画图的，因此很多教师的处理方法是或者为画图而画图走一遍形式，或者把画图作为学生可能出现的一种方法进行预设，或者作为一种验证计算结果的方法在最后出现。那么教材设置这么一个环节到底意义何在，仅仅是为了直观？画图的方法是一种表征形式，所谓表征（representation）是指利用某一种形式，将事物或想法重新表现出来，以达到沟通的目的。有学者指出通过实物、图画、文字、符号等外在表征形式可以使学生的内在思考得以显现，有助于教师了解学生对数学概念的理解程度。通过不同表征形式的转化，学生可以有意义地学习数学概念，对六年级学生来说可以经由图像表征转换到符号表征来较好地理解分数乘法的意义。从原始人的壁画可知人类的思考起源于图像，文字符号更是由图像转化而来，所以借助于画图学生能更好地理解算式背后所蕴含的算理。通过画图学生可以直观地感知到:涂色的时候，平均分的份数并没有发生变化，所以分母没有发生变化；而涂色部分的变化，能让学生直观的感悟到分数单位的累积即每涂一份就增加3个十分之一，所以分子呈现倍数的变化。综上所述借助图形表征来表达对分数乘整数的理解，能让学生以一种较好地形式与人沟通其对分数乘法意义的理解同时也发展了自己的推理能力，为后面有意义的理解算式打好基础，更需要指出的是这样一个画图活动也为学生利用面积模型这一图形表征形式来认识分数乘分数的意义积累了一定的经验。
行知先生认为教师要一面教一面学，所以上好一节课就好要做好一节课的知识储备，没有驾驭教材能力的教师不是一名称职的教师。教师在学习的过程中需要丰富自己的知识，不断地蓄水，让自己的“水”既有广度又有深度，只有这样才能满足学生一杯水、一缸水甚至一池水的需要。
Part 二.
怎样倒水细思量
当然教师即使蓄满了一桶水，也不能保证学生能有一杯水，还需要找到倒水的法子。我们有时候不管三七二十一一通猛灌结果全倒在了学生杯子的外面；有时候是心有千言万语却不知从何说起，学生的杯子里只寥寥数滴水。如何才能倒水得法，先生有一句名言“先生教的法子必须根据学的法子”道出了其中的真谛。我们倡导 “自主、合作、探究” 是学生重要的学习方式，但这种学习方式的采用既不是学生在教师牵引下如扯线木偶一般亦步亦趋，使之成为一种表面化和形式化的表演；也不是教师的放任自流，使学生在“自主、合作、探究”的活动中如迷途的羔羊一般心中茫然。“自主、探究、合作”的学习方式的习得离不开教师的引领，教师需要对学生整个学习过程予以合理把握及适度调控，也就是说教师教到位了学生才能学到位。
现在的很多教学当中教师都不敢设计复习铺垫的环节，生怕给扣上教学观念陈旧的帽子。传统的五步教学法（即组织教学、复习导入、讲授新课、巩固练习、课堂小结）深受前苏联凯洛夫教育学的影响，而理论界对凯洛夫教育学的一个重要批判是“教育学中不见儿童的表现”，所以设置什么环节关键在于你有没有从学生的学习出发来进行思考。学生在五年级学习了分数的相关知识，但经过一个漫长的暑假后，学生对分数的意义、约分等相关概念有所生疏，所以教师有必要帮助学生回忆一下旧知识，把旧知的复习孕伏在情境当中是比较好的处理方式。为此我们将书本的问题情境进行适当改编，先出示条件“做一朵黄色的绸花要3/10 米绸带，做一朵红色的绸花要 9/10米绸带，做一朵蓝色的绸花要1米绸带。”请学生提一个一步计算的问题。根据学生的回答，教师选择3个问题：1、做一朵黄色绸花和一朵红色绸花一共用布多少米？2、做一朵红色绸花比一朵黄色绸花多用布多少米？3、做3朵蓝色绸花一共用布多少米？借助于这3个问题帮助学生复习了同分母分数加减法的知识、约分的知识以及整数乘法的知识，在此基础上引出问题“做3朵黄色的绸花，一共用布多少米？”让学生进行探究。情境创设与复习铺垫并不是矛盾对立的，两者可以和谐交融，我们采用开放性的问题情境引领学生主动唤醒自己的已有认识，以旧引新为接下来新知的探究扫除了障碍。从情境学习的理论来看情境是知识的一部分，知识往往依附于情境之中，学习者在情境中进行互动，从而达到对知识的深刻理解。
如果说在复习铺垫阶段教师采用了小心引领的策略，那么在接下来的探究分数与整数相乘的算法阶段，教师则采用大胆放手的策略。在学生根据题意列出算式“ 3/10×3”后，教师要求学生自己尝试解答。在给予学生充分的思考之后，教师展示学生的各种算法：
以往我们常常采用的模式是“教材选定算法——教师讲解算法——学生模仿算法——练习强化算法”，学生更多的是一种被动的接受，而现在教师给予学生足够的自主探索空间使之主动得出了计算方法。不过学生能得出算法并不代表学生对其中的算理有着深刻的理解，算理不清光有算法学生在解决具体问题当中就会遇到困难。如果此时只是进行教师的讲解，对学生来讲又是一种被动的灌输，所以在展示的基础上教师应该与学生一起开展充分的讨论。讨论是一种重要的合作方式，在师生互动和生生互动之中可以促进学生的思考，在讨论的过程中通过质疑、辩论来真正弄清算法背后的算理，讨论是一种常见的合作模式，它有利于学生对数学概念的学习。在讨论的过程中，教师需要扮演好调控者的角色，不能让学生的讨论浮于表面，必要时可以通过提出关键问题把学生的讨论引向深处。比如可以引导学生讨论对分数乘法转化成小数乘法这一方法的看法，学生在讨论中可以发现有些分数转化成小数是无限循环小数计算起来比较繁琐；比如引导学生思考为什么整数3和分子3相乘分母10却不变，在讨论中学生明确了这是同分母分数加法分母不变，分子相加的简便写法。
在教学中学生对于先约分再计算的方法往往感受并不深刻，很多学生一开始并不接受这一方法，他们觉得先计算再约分也很方便。我们认为光凭借例题中2道计算题就让学生总结分数和整数相乘的计算法则，学生没有足够的计算经历来支撑，为此在教学完例题后，我们没有让学生马上总结计算法则，而是出示4道计算让学生练习。
有了充分的练习学生对算法的掌握很牢固，同时对先约分再计算的简便性也体会得更加深刻，在此基础上让学生将算法总结成计算法则就水到渠成了。苏教版虽然没有以文字的形式出现分数与整数相乘的计算法则，但我们的理解是没有出示不代表不要归纳计算法则，计算法则的出现应当建立在学生充分感受、充分交流的基础之上。计算法则体现了数学语言的严谨、规范、精炼和抽象，高年级学生尝试对计算法则的归纳也是对其表达能力、概括能力的培养。
陶行知先生说的“教学做合一”就是要让学生学会自主探究、学会合作，教师的责任在于启发和引导，学生怎样去学教师就应当怎样去教。教师研究倒水的技巧就是一个研究怎么教的过程，学生需要多少水，我们就给学生倒满多少水，学生需要怎样的水，我们就倒给学生怎样的水。
Part 三.
要让学生用活水
学生的水如果不去用甚至不会用，那么有再多的水也是一潭死水。陶行知先生要求我们“读活书、活读书、用活书、活用书”，而不能是“读死书、死读书、读书死”，学生将学到的知识活学活用才是好。要让学生把水用活关键在于把“教学做合一”中的“做”落在实处。20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。1988年发表的美国《21世纪的数学基础》认为，问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情境中的过程，而学习数学的主要目的在于问题解决。笔者以为就数学学习而言“教学做合一”可以以问题解决为中心，教师在问题解决的过程中教，学生在问题解决的过程中学。当然有理论认为问题解决中的数学问题是指非常规性的问题，但笔者以为常规问题的解决也能培养孩子解决问题的能力，而孩子在常规问题解决过程中所获得的数学能力也可以应用于非常规问题的解决，让孩子两条腿走路可以让孩子走得更快、更远。
本节课属于计算课，通过这节课的学习我们要培养学生的运算能力，运算能力是核心素养在小学阶段唯一作为“能力”要求的行为表现，那么运算能力高是否仅仅意味着计算速度快、计算正确率高呢？数学上的运算并不只是机械式的计算操作，熟练的计算应该建立在对数学概念或算理的深刻了解之上。能够借助自己的理解将数学概念和计算相结合，才是真正的计算能力，对某类问题的计算熟练程度高低，往往决定了儿童是否能顺利实现新旧知识之间的迁移。苏教版对计算教学的编排是在问题解决的过程中发展计算能力，而后运用运算能力来解决实际问题，实现了意义、法则、应用三方面的有机结合。为了让学生既能熟练运用本节课习得的计算知识解决实际问题同时又在解决实际问题的过程中深化对乘法意义的理解，教师设计了一个题组：
求几个相同分数和的问题情境可以分成等组（combine equal groups）、比较（compare）、面积等几种类型，因此教师在练习当中应当注意题型的多样性，这样才能让学生应用的过程中对分数乘法意义的理解更全面。我们在尽量保证题型多元化的前提下还设置了有隐含条件的题型（第3题），同时将表面积的知识和分数乘法的知识结合起来复习了正方体表面积的计算。对于数学的学习不仅要以旧引新，也要新中有旧，把新问题和老问题结合起来，这样学生的学习才是有深度的。
在学生完成这三道题目的解答后，教师进一步引导学生反思“这三道题目看起来各不相同为什么都用乘法计算？”通过学生的讨论，总结出这三道题实际上都是求几个相同分数的和，所以都可以用乘法解决。教师将分数变成小数，问还是用乘法做吗，引导学生说出都是求几个相同小数的和；教师再将分数变成整数，问现在都是求什么，学生说出都是求几个整数的和，最后总结出只要是求几个相同加数的和都用乘法计算。当然学生的探究并没有到此结束，教师继续引导学生思考“像这样的求几个相同加数和的问题你能找到其中的数量关系吗？”有了以前解决整数乘法问题的经验学生很快归纳出了“每份数×份数=总数”这一数量关系式。数量关系式本身是一种数学模型，周玉仁教授指出“在小学生能够理解的基础上，适时用数学语言（包括符号）予以抽象概括，这不仅大大有助于提高他们解决实际问题的能力，而且其本身就是数学思想的一种重要体现。”建立数学模型是数学问题解决的一个重要过程，在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。因此我们有必要让学生理解数量关系式、运用数量关系式，使数量关系式成为学生分析问题、解决问题的一项重要工具。
陶行知先生指出“做”含有三种特征：行动、思想、新价值之产生。学生在问题解决的过程中手脑并用积极思考，总结出了无论整数、小数还是分数情境只要是求相同加数和的问题均可以运用“每份数×份数=总数”这一模式进行解题，其新价值正在于找到了此类问题的一般性解答方法。人们说读书的要义在于由“薄”而“厚”，再由“厚”而“薄”，数学学习不也需要这样吗？
如今我们对学生怎样去学越来越重视，但这也对教师的专业性提出了更高的要求。1986年，舒尔曼（Lee．Shulman）提出了PCK（Pedagogical Content Knowledge）即学科教学知识的概念。PCK实际是一种转化的智能，能否把学科知识转化为学生能有效获得的知识决定了教学是否有效。所以只有教师把教什么、怎么教钻研透了，我们才能让学生更高效地学，陶行知先生“教学做合一”的思想给我们指明了一条如何去发展教师PCK的道路，让我们可以倒好学生杯中的水，并最终让学生用活水，自己去汲水。
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