数学题目浩如烟海，成千上万，虽然没有一种万能的解题方法，但还是有一定的规律可循，这一规律就是转化与化归。
数学家特有的思维方式是转化与化归。遇到问题，“他们往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将其变形，直至把它转化为已经解决的问题。”这是匈牙利著名数学家路莎·彼得做出的精辟论断。
数学解题思想是对解题依据、解题原则、解题方向、解题策略、解题方法、解题途径等解题规律的本质认识。数学思想方法是对数学知识的本质认识，是数学知识在高层次的抽象与概括，是数学知识内容的精髓和灵魂，也是透彻理解数学知识的根基，更是数学知识转化为解题能力的桥梁。转化与化归不是对某一具体数学知识的本质认识，而是对数学解题规律的本质认识。从数学方法论的角度来看，转化与化归是最高层次的数学解题方法——化归方法。与其它数学思想相比，转化与化归抽象度最高，概括性最强，适应面最广，贯穿于数学解题过程和数学研究的始终，是数学解题最根本、最重要、最普遍的指导思想和解题策略，也是数学解题根本的规律和遵循。任何数学问题的解决都离不开转化与化归，所以，转化与化归思想就是数学解题思想。
数学解题思想的主要内容如下：
1 转化的性质
（1）普适性：几乎所有的数学题目都需要实施转化，才能实现解题目标；（2）多样性：同一题目可以有多种不同的转化途径；（3）层次性：同一题目，有的解法实施一次转化即可实现解题目标，有的解法则需要实施多次转化才能实现解题目标；（4）统一性：同一题目，采用不同的转化途径所得的结果是统一的。
2 转化的分类
转化可以分为学科内转化和学科间转化，也可以分为等价转化和非等价转化。比如：将代数问题转化为更简单的代数问题是学科内转化，而将代数问题转化为几何问题则是学科间转化。解题时首先要考虑学科内转化，学科内转化无法实施时，再考虑实施学科间转化。
3 转化的实质
数学解题的实质是以运动、变化和发展的观点，以及事物之间相互联系、相互制约的观点来看待问题，善于对所要解决的问题进行转化，最终将要解决的问题化归为一个或几个易于解决的问题，从而使问题得以解决。通过转化，虽然问题的形式发生了变化，但我们需要的东西并没有改变，这就是转化的实质——形变而质不变。从这个意义上说，我们求解数学问题的过程，就是从未知向已知、从复杂向简单、从陌生向熟悉不断实施转化的过程。
4 转化的根源
事物之间的普遍联系和矛盾之间的相互转化为转化提供了哲学基础。数学知识内部的逻辑联系，包括数学知识之间的纵横联系、条件与结论之间的必然联系、数学思想方法之间的有机联系，为实施转化提供了可能性。
5 转化的依据
数学中的公理、原理、定义、定理、公式、法则、正确命题、数学方法、解题策略、数学思想等都是转化的依据。
6 转化的规律
数学解题的过程就是消除条件与条件、条件与结论之间的各种差异，直至将条件转化为结论的过程。从哲学的观点来看，数学解题过程就是矛盾不断转化的过程，是未知向已知不断转化的过程，而矛盾转化的规律是矛盾双方各自向对立面转化，直到消除矛盾双方的差异，用八个字来概括就是“逆向转化、化异为同”，这就是转化的根本规律。
7 转化的指导思想
转化与化归与其它数学思想一并构成数学解题的指导思想，共同决定数学解题的原则、方向、策略、方法等。转化与化归是一切数学思想、解题策略、数学方法的核心、统领。
分类是一种逻辑方法，分类讨论是一种解题方法，体现了分而治之的解题策略，不属于数学思想的范畴。同样，特殊化、一般化也是一种解题策略，不属于数学思想的范畴。中学数学中主要的数学思想有：（1）函数思想；（2）方程（包括不等式）思想；（3）参数思想；（4）几何直观思想；（5）数形结合思想；（6）概率思想；（7）统计思想（8）微分积分思想；（9）算法思想。
8 转化的原则
（1）熟悉化原则：当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它转化为已经解过的比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、方法、经验或解题模式，顺利地解出原题。（2）简单化原则：当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把它转化为一道或几道比较简单易于求解的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，顺利地解出原题。（3）直观化原则：当我们面临的是一道条件抽象、难以捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、生动、具体、直观的题目，以便凭借事物的形象，把握题中所涉及的各个对象之间的逻辑关系，找到解题思路，顺利地解出原题。（4）规范化原则：当我们面临的是一道不规范的题目时，要设法把它转化成规范的、有固定解决程式的题目，以便通过对规范题目的解答，顺利地解出原题。（5）和谐化原则：当我们面临的是一道条件或结论不太和谐的题目时，要转化问题的条件或结论，使其表现形式有利于运用某种数学模式（模型）或数学方法，顺利地解出原题。（6）数学化原则：当我们面临的是一道应用问题时，要设法把它转化为一道数学问题，再通过求解数学问题，进而得到应用问题的解。
9 转化的方向
转化的方向就是解题思路，更是解题之本。解题的首要任务是确定正确的转化方向，正确的转化方向至关重要，只有确定了正确的转化方向，我们才能找到合适的解题方法和途径。
（1）转化的大方向
转化的原则就是转化的大方向，即陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，抽象问题直观化，不规范问题规范化，不和谐问题和谐化，应用问题数学化。解题时，还要具体问题具体分析，不同类型的问题要选择不同的转化方向。
（2）转化的小方向
[1]多元问题少元化；[2]高次问题低次化；[3]超越问题代数化；[4]无理问题有理化；[5]分式问题整式化；[6]复数问题实数化；[7]空间（曲面）问题平面化；[8]几何问题代数化；[9]代数问题几何化；[10]动态问题静态化；[11]静态问题动态化；[12]特殊问题一般化；[13]一般问题特殊化；[14]相等问题不等化；[15]不等问题相等化；[16]直接问题间接化；[17]正难问题反面化；[18]无限问题有限化；[19]复杂图形割补化；[20]复杂函数基本初等化；[21]复杂数列等差等比化；[22]未知数问题方程（不等式）化；[23]含参问题分类讨论化；[24]范围问题不等式（或函数）化；[25]方程（或不等式）问题函数化；[26] 函数问题方程(不等式)化；[27]主元辅元互换化；[28]同构问题构造化；[29]随机问题确定化；[30]应用问题数学化。
10 转化的策略
解题策略是在数学解题思想、数学思想的指导下，为了实现解题目标而采用的谋略，是数学思想转化为解题操作的桥梁，也是寻找解题方法的方法。转化与化归是数学解题最根本的策略。中学数学中常用的解题策略有：（1）模式识别策略；（2）见微知著策略；（3）顺推逆推策略；（4）辅助元素策略；（5）语言转换策略；（6）分而治之策略；（7）正难则反策略；（8）特殊一般策略；（9）合情推理策略；（10）整体考虑策略；（11）回归定义策略；（12）差异分析策略；（13）假设结论成立策略；（14）动静转换策略；（15）有效增设策略；（16）紧盯目标策略。
11 转化的方法
数学解题思想、数学思想是数学解题的指导思想，对数学方法起指导作用。数学方法是在数学解题思想、数学思想、解题策略的指导下，用于解决某一类特定问题所采取的固定的转化措施、套路。转化的方法主要有三类：（1）逻辑方法：分析法、综合法、归纳法、演绎法、类比法、反证法、同一法；（2）数学方法：配方法、换元法、判别式法、待定系数法、参数法、递推法、解析法、三角法、复数法、定义法、分类讨论法，数学归纳法等；（3）技巧方法：比较法、放缩法、叠加法、叠乘法、割补法、等积法、错位相减法、倒序相加法、分离参数法等。
12 转化的步骤
(1）弄清题目的学科类型；（2）确定转化的指导思想；（3）把握正确的转化方向；（4）选择适当的转化策略；（5）采用合适的转化方法；（6）实施转化的具体步骤。
13 转化的途径
美籍匈牙利著名数学家波利亚说过：“解题过程就是不断变更题目的过程。”“我们必须一再地变换它，重新叙述它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。”为了实施有效的化归，可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，还可以变更问题的内部结构，又可以变更问题的外部形式，既可以从数的角度去认识问题，又可以从形的角度去看待问题，既可以在同一个学科内转化，有可以在不同学科间转化，不断变换研究问题的角度和方向。通过恒等变形、同解变形、等价变形、化繁为简、分解题目、语言转换、变量替换、引入参数、设立变数、平移对称、旋转伸缩…等变形手段，将一个非基本的问题，最终将它化归为一个比较熟悉的基本问题，从而使问题获得解决。
14 建立数学解题思想体系的重大意义
建立数学解题思想体系，具有十分重要的现实意义：一是理解数学知识、完善知识结构的妙策良方；二是提高解题能力、增强数学素养的重要途径；三是克服题海战术、走向高效教学的必经之路。
15 掌握数学解题思想的主要措施
掌握数学解题思想的主要措施：一是要明确数学解题的基本规律——转化与化归——所谓解题就是把要解的题转化为已经解过的题；二是要讲清楚公理、原理、定义、定理、推论、公式、法则的转化功能和转化（逻辑）关系；三是在例题、习题教学时要讲清楚简单习题与复杂习题之间的转化（逻辑）关系；四是要逐步积累、熟练掌握一定数量的基本问题和典型例题，作为解决复杂问题的母题，做到以不变应对万变；五是要弄清楚中学数学中十几条重要的转化线，明确转化的方向；六是要熟练掌握数学解题思想、数学思想、解题策略、数学方法、解题规律；七是要通过一题多法和多题一法熟练掌握数学知识之间的有机联系，力求举一反三，触类旁通，不断优化思维品质；八是把熟练掌握数学解题思想作为数学教学的根本任务之一；九是把充分暴露化归的思维过程作为数学解题教学的基本原则之一；十是教师要精心研究教材，精心选择例题、习题，坚决克服题海战术，减轻学生过重的课业负担，走高效教学之路。
由于自己才疏学浅，文中错误之处定然不少，敬请各位专家学者批评指正。
转自高中数学解题教研微信公众号，仅作学习交流，如有侵权，请联系本站删除！
