最近十余年，小学HPM（数学史与数学教育）的理论与实践研究得到了快速发展。2022年版课标对数学文化的重视也为HPM的发展注入了新的活力。然而，我国的小学HPM研究仍然存在着教育取向的数学史研究匮乏、应用水平不高、研究含量不高等问题。目前，很多研究者提出了解决问题的建议与对策，但这些都是“要做些什么”的问题，实际上，我们还需“具体怎么做”层面的指引。基于此，本文结合HPM课例研究中除史料检索外的教育取向的数学史研究、教学设计与实施、教学评价等方面进行论述。
一、以问题提出助推教师走进历史
将数学史融入数学教学是数学知识的历史发展顺序、知识的逻辑顺序与学生的认知发展顺序的统一，因此开展融入数学史的教学需要走进历史、走进数学、走进学生。目前中国大陆借助HPM课例研究实现上述三种顺序的融合，中国台湾及国外的一些研究者将诠释学引入HPM实践。HPM实践需要教师走进教材编写者的内心世界，对教材编写者基于数学内容和课程标准编写出的教材内容进行诠释；需要教师走进数学史家的内心深处，对数学史研究者基于古代数学家对数学对象进行诠释得到的数学理论进行诠释；再将两种诠释融合，形成教学设计，进行教学。但无论是中国大陆的HPM课例研究还是中国台湾的HPM实践模型，都未真正涉及如何走进历史这一“具体怎么做”的问题。走进历史涉及两个层面：为了历史而历史、为了教育而历史。为了历史而历史即还原历史史实，为了教育而历史即进行教育取向的数学史研究，其中为了历史而历史是为了教育而历史的先决条件。正如前面所述，目前教育取向的数学史研究匮乏，这直接导致目前高水平应用数学史的实践不多。
如何走进历史？这是一个数学阅读、文本解读、数学理解的过程，在这个过程中，教师可以基于文本提出一些问题并尝试解决。面对数学史料，教师可以参照五方面的问题提出心智活动“（1）基于给定的情境提出数学问题；（2）基于给定的情境，通过改变或改编已知条件提出数学问题；（3）创设情境让学生提出数学问题；（4）预测学生可能会提出的数学问题；（5）课堂上提出数学问题让学生求解”[1]提出系列问题，并在尝试解决的过程中理解史料文本。比如，《九章算术》“方田章”问题37:
今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何。
答曰：二亩五十五步。
术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。
教师参照心智活动（1）和（2）提出问题：（1）这段话是什么意思？（环田是什么图形？中周、外周、径、积步分别是什么）（2）所要解决的问题是什么？（为田是什么？二亩五十五步是怎么来的）（3）这个问题怎么解决？（“并中外周而半之，以径乘之为积步”是什么意思）（4）要求圆环的面积，只要知道内圆、外圆的周长即可，为什么还要给出大圆、小圆半径之差？（5）这种方法和我们今天的方法一样吗？（6）为什么要用这种方法解决问题，而不用我们今天的方法？
这是求圆环面积的问题，已知的条件有内圆、外圆的周长和大圆半径与小圆半径的差；解决问题的方法是将圆环转化为等腰梯形；这种方法与我们现在所用的大圆面积减小圆面积的方法是不一样的；利用现在的方法解决问题涉及的运算相对复杂，且大圆、小圆半径之差是多余的条件，但《九章算术》中的方法涉及的运算相对简单，题目中没有多余的条件；《九章算术》之所以用这种方法解决问题，是由于“出入相补”原理是中国古代求积的基本理论，将所求图形利用割补术转化为能进一步转化为长方形的直边图形即可解决问题。
实际上，教师较难回答上面提出的问题。弄清楚这段话是什么意思和所要解决的问题并非难事，回答这些问题的难点在于需要对中国古代的求积理论——“出入相补”有深入的了解，任何平面图形的面积都是利用“出入相补”原理转化为长方形进行求解的，而不是以除长方形以外的已知面积的图形作为其他图形面积推导的基础，比如，梯形面积的求解并不是建立在三角形面积的基础之上，圆环面积的求解并不直接以圆的面积为基础。
解决了这些问题，教师也就完成了为了历史而历史的工作。这则素材能转化为教学的素材吗？这就需要教师进行教育取向的数学史解读。这则素材有没有必要应用于教学？按照教材的编排逻辑，圆环面积的计算似乎没有必要如此大费周章，但从中华优秀传统文化进课堂、学生思维的灵活性等角度出发，可以尝试古代方法的引入。面对这则素材，学生可能提出上述问题（1)(2)(3），但是他们很有可能无法回答这些问题，那这则素材是否就不能应用于课堂教学了？是否可以通过现代文的表述和题目涉及数值的改编用于课堂？答案是否定的。要想应用这则素材，需要将“出入相补”原理作为内容整合的统领思想：一方面，在多边形面积的计算中，将“出入相补”原理作为重要的思想方法；另一方面，在圆的面积求解中，将根据半径和周长推导圆的面积计算方法放在重要的地位。
由上可知，问题提出是助推教师走进历史的有效方法。面对数学史素材，教师一方面要提出理解文本需要解决的系列问题，并通过调用已有知识、从数学本质出发、沿用历史方法予以解决；另一方面，要从学生的角度提出问题，思考数学史素材是否可以应用于教学、怎样应用于教学等问题。需要注意的是，为了历史而历史，往往需要将史料置于专题史中进行考察，比如，上面所述的环田问题，需要置于中国古代的面积专题之下，并以“出入相补”原理为统领，因此，为了教育而历史，需要考虑内容模块、知识统整等，否则上述环田问题将会被排除在教学内容之外。
二、以单元统整推进基于数学史的深度教学
丹麦学者詹克韦斯特（Jankvist）将数学史的教育价值分为两类：将数学史作为工具和作为目标。其中前者认为数学史是数学学习的激励因素，是数学学习的认知工具，后者认为数学史是数学的一部分，数学在不同时空的演进是学习的一个目标[2]。将数学史作为工具是我国HPM发展的重要标志，因为课堂中数学史的运用开始关注学生的知识理解与思维发展，开始与我国数学教育的传统相匹配，不再游离于课程内容之外，不再局限于以附加的形式扩大学生的知识面、激发学生的学习兴趣与动机、增强学生的民族自豪感等。但我国小学的HPM实践离将数学史作为工具与作为目标还有一段距离。中国台湾学者在评价中国大陆的HPM实践时指出：“他们应用数学史的手法与台湾的HPM实践有着相当明显的差异，这种差异笔者认为应该来自参与实践的中学数学教师在数学史学习过程中的‘史学素养’，亦即对待历史文化脉络的方式与观点上的差异。”[3]事实上，中国大陆的中小学数学教师由于缺乏数学史方面的专业训练，很难将数学史置于历史文化的脉络中进行考察，基于数学史的教学实践都面向单课的设计与实施，因此很难实现数学史作为工具与作为目标价值的融合。
将单元作为数学史融入教学的基本单位并进行单元整合是实现数学史作为工具与作为目标价值融合的理想选择，因为从设计上看，与多主题整合内容相关的数学史料相对较多且可能具有一定的发展脉络，史料的丰富性有助于教学的整体设计，有助于数学史运用层次“从历史的角度注入数学知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想”的开展。比如，人教版教材四年级上册“大数的认识”单元的教学，以问题提出驱动史料解读，解决了自然数发展的几个关键问题，如：记数符号为什么要从实物走向抽象？怎样从较小数的表示走向较大数的表示？大数如何读写？印度-阿拉伯记数法与古代其他文明的记数法有哪些异同？在探究每个古代文明的记数规则时，提出问题：图1所示为中国古代的甲骨文，其他数该怎么表示？特别是，较大的数如何表示？在表示数时，0是必需的吗？利用这些可以把所有的自然数都表示出来吗？这是多少进制记数法？这种记数法与我们今天的记数法有何异同？为什么人类最终选择了印度-阿拉伯数字？将自然数的发展史与“大数的认识”单元相融合进行单元统整，在十进位值制这一核心概念的统领下，以“数的产生”为第1课时，引领学生经历记数符号从实物到半抽象再到抽象的过程，以“十进制的延伸与拓展”为第2、3、4课时，将中国的甲骨文数字、筹算数码和印度-阿拉伯数字融入教学，引领学生在数的表示过程中，经历进制、计数单位、数位产生的过程，更好地认识亿以内和亿以上的数，将中国古代的数级与其他进制作为拓展课，以让学生在迁移、创造中形成对自然数更本质的认识。将自然数的发展史融入“大数的认识”单元的教学，以具有挑战性的任务驱动学生学习，这样一来，学生的探究欲望强烈，在探究、分析、对比、联系等活动中理解了十进位值制系统的本质，感受到了知识学习的必要性与知识的发生和发展过程。这样的教学实现了数学史作为工具与作为目标价值的融合。
图 1
以单元作为数学史融入教学的基本单位将是今后小学HPM实践研究的常态。在走进历史的基础上，教师需要重构单元教学目标，将数学史作为工具与作为目标的价值融入其中；需要重组教学内容，在核心概念的指引下进行重构，比如，上面所述“大数的认识”单元教学，之所以将数的产生、十进制的延伸与拓展作为前几个课时的内容，是为了帮助学生理解十进位值制这一核心概念的本质，在此基础上，学习亿以内和亿以上的数时将会事半功倍。
三、以科学、规范的方法开展HPM视角下的教学评价
学生是教学的主体，教育教学理论指导下的教学实践自然要重点关注学生的学习情况。因此，基于数学史的教学实践要对学生的数学学习进行评价。目前，基于数学史的学生数学学习评价大多对单课学习后的学习效果进行评价。比如，万立老师等在基于数学史的“小数的认识”教学后，从知识的理解与掌握、知识学习的必要性、学习的情感体验等方面进行了调查，发现学生较好地掌握了这节课的内容，获得了积极的情感体验，焕发了创新的意识[4]。但这样的评价只能说明融入数学史的教学有效果，并不足以说明教学效果是融入数学史引发的，也无法说明融入数学史的教学实践对学生的发展产生了影响。
从评价发生的时间看，基于数学史的学生学习评价可以分为课堂评价与课后评价。目前，汪晓勤教授基于“为强有力的理解而教”的课堂评价框架，从内容呈现、认知需求、学习机会、学生表现和评价运用五个维度构建了HPM课堂教学评价新框架[5]，对HPM的课堂评价来说极具参考价值，但目前尚未应用于小学。课后评价大多以单课学习为基本单位，很难考查出数学史融入数学教学对学生发展的影响，中国台湾在此方面的尝试值得借鉴。他们开展规范的准实验研究、个案研究、行动研究，借助科学的问卷、量表、访谈提纲等对一个单元或多个单元学习前后学生的学习态度或学习成就进行调查，发现参与研究的学生学习态度正向改变，学习成就有所提高，但不同研究中学生学习成就提升的程度有所不同。由此可见，他们以单元作为实践的基本单位，让学生在持续且较长的时间内浸润在数学史的教学背景之中，同时以科学、规范的方法开展实践、收集数据、做出评价，对数学史对学生学习的影响做出了科学的评价。
教学评价是小学HPM亟待拓展的方向。鉴于将以单元统整推进基于数学史的小学深度教学的预测，教学评价将围绕单元统整开展。在开展评价的过程中，首先要确定是对课堂教学进行评价，还是对教学效果进行评价。如果开展教学效果评价，则要明确是评价学习态度，还是评价学习成就，抑或其他。此外，还需要选用合适的研究方法，采用科学的手段获取数据、分析数据。
四、以发散的思维拓展HPM的课题研究范围
目前，HPM研究有六个方向，分别是理论探讨、教育取向的数学史研究、历史相似性研究、教学实践与案例开发、HPM与教师专业发展、数学史融入教材研究，并在每个方向初步形成了相应的理论。但HPM并不是封闭的体系，在教育理念不断涌现的今天，HPM需要不断与其他教育理论建立紧密的联系。
目前，深度学习、学习路径、技术赋能、单元教学、精准教学、“双减”落实、大概念教学、学科德育、核心素养、中华优秀传统文化等是小学的热门话题。如果将数学史作为素材，将数学史作为人类思考问题的方式，HPM都能与这些话题建立紧密的联系。比如，历史相似性的存在有助于把握学生的认知特点、认知障碍、认知顺序，有助于精准教学的实施；对于“圆的认识”单元，从几何学的历史发展进程看，用数学的方法刻画“够不够圆”是直观几何向实验几何跨越的关键，以直代曲的极限思想在圆周率计算、圆面积推导中的灵活应用是实验几何到论证几何跨越的关键，因此，用数学的方法刻画“够不够圆”、帮助学生探究并理解以直代曲是精准教学的关键所在。将其他理论引入HPM，也将丰富HPM的理论与实践。如上面所述的问题提出、“为强有力的理解而教”课堂教学评价框架的引入，让高水平HPM教学实践出现的概率增加，让HPM课堂评价有了参照的标准。
审思小学HPM研究，为使小学HPM深度发展，我们需要回到数学史料的解读，问题提出是目前解读史料的有效路径；我们需要实现数学史多元教育价值，单元统整是数学史作为工具与作为目标价值融合的重要手段；我们需要开展有效的评价，评价框架的构建和科学、规范的方法运用是有效评价的基础；我们需要从HPM走向多视角融合，建立HPM与其他理论的联系是多视角融合的关键。
参考文献：
[1]蔡金法，姚一玲. 数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究[J]. 数学教育学报，2019，28（4）.
[2]Jankvist U T. A categorization of the“whys” and “hows” of using history inmathematics education［J］.Educational Studies inMathematics, 2009,71（3）.
[3]苏惠玉. HPM 实践在台湾：以《HPM 通讯》为研究个案[J]. 台湾数学教育期刊，2019,6（1）.
[4]万立,文萍,飞惠玲.在探究中创造,在创造中发现：融入数学史的“小数的认识”的教学[J].小学教学(数学版), 2020（4）.
[5]汪晓勤. 关于 HPM 课堂教学评价的案例分析[J]. 数学通报，2021，60（10）.
【本文系云南省教育厅科学研究基金项目“HPM 视角下职前教师专业发展的研究与实践”（编号：2021J0660）的研究成果】
（作者单位：杭州师范大学经亨颐教育学院）
声明：本文刊发于《小学教学》（数学版）2022年第10期
转自：“小学教学”微信公众号
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