作者信息
余明芳/福建教育学院数学教育研究所副教授；
王钦敏/福建教育学院数学教育研究所副教授。
本文摘要
数学文化素养主要包括数学精神素养与数学思维素养。数学在真善美三个方向的精神追求，深刻体现了数学精神素养的内涵要义。在数学教学中落实立德树人根本任务，必须发挥学科课程内生德育资源的育人功效，从以下三个进路富有方略地促进学生数学精神素养全面发展：在数学知识与问题的教学中涵育求真精神，着力提高求实、求理、求广、求新的意识与能力；在阐释数学的善益功用中涵育益善精神，致力深化益知、益事、益国、益人的观念认识；在数学理论建构与问题解决中涵育唯美精神，适时启悟唯简、唯序、唯统、唯和的审美风尚。
数学理论知识浩繁，学习者在校期间都只能学习和掌握其中部分内容，因而，在校的数学深度学习，须以发展数学思维素养为目标，注重归结数学知识理论的一致性，感悟可统一认识、能处理大量问题的数学思想。这样的学习，可助长思维等人类本质力量，不会“以有涯随无涯”。由于精神制约着思想律动的方向与节拍，也是人类本质力量的集中体现，所以，更有意义的数学深度学习，还应以发展数学精神素养为旨向。具体数学知识方法易被忘却，但数学的精神与思想，都可铭刻在心并时常发挥作用，是忘了知识细节后还能剩留的让人终身受益的东西。
数学在求真之道，以极简公理求实，以严苛逻辑求理，通过不断推广和创新构建了博大精深的知识体系；在益善之门，以益知为先继而益事、益国、益人，已在人类历史铸就无数丰功伟绩；其唯美之风，崇尚简单、有序、统一与和谐，堪称人类理性思维的范式与科学美的范本。相关研究发现：求真、益善、唯美是数学精神的主流意志，可深刻体现数学精神素养的内涵要义；在数学教学中落实立德树人根本任务，可通过认识、研究并弘扬数学精神，发挥其作为课程内生德育资源的育人功效，从以下三个进路富有方略地促进学生数学精神素养全面发展。
一、在数学知识与问题的教学中涵育求真精神，着力提高求实、求理、求广、求新的意识与能力
数学是对数量、空间、结构、模型、信息和变化等抽象概念及其关系进行系统研究的形式科学。在求真探索方面，它采用严格的公理化思想方法，从极简单的若干原始概念和极显明的一些公设出发，以归纳与类比等合情推理探寻结论，以演绎推理严密证实论断，经过不断的推广、抽象与应用、创新，使知识整体的系统性、严谨性与实用性日益增强。综观这一过程的节序与法理可以发现，求实、求理、求广与求新是数学求真之道的主要环节与特征，在数学教学中涵育求真精神，应细致剖析各环节内在的过程与方式，以提高相应的意识与能力为重点。
（一）在数学概念实在性与存在意义等问题教学中培育求实的态度与信念
数学各公理化知识体系中的原始概念如点、线、面与自然数等，都源自人类直观感知，是人脑对客观事物数学特征的概括反映，具有抽象思维范畴广成共识的永恒“实在性”。为使数学理论能反映客观实际，数学家们对知识体系中的概念实在性、定义精确性与公设合理性的考究是极端严格的，总是竭力使概念定义趋于明晰，将公设内容约至最简。数学的学习与研究，需要秉持这一求实的态度与信念，方可更好地认识并澄清每一个数学概念的内涵和存在意义，而这种态度与信念的养成，则主要依靠学习者心智的内醒觉识和教师在教学中的启示阐释。
教师的启示与阐释，一般可围绕着数学概念的实在性与存在意义等问题进行。例如：教学中引入虚数概念时，应通过启示虚数与复平面中的点具有对应关系显现它的实在性，通过阐释虚数在数学、物理等学科研究中的重要作用说明其存在意义；引入函数概念时，应通过启示现实世界中各类变量普遍存在关联现象解说引入概念的因由，通过函数可用以研究事物运动和变化规律的事实解释引入概念的含义。引导学习者深入思考数学概念实在性与存在意义等问题，可促进后续学习的兴趣动机，亦可帮助学生日后养成客观公正的工作态度与诚实守信的道义品性。
（二）在数学知识、问题的发现与论证教学中促进求理的意识与能力
从“实在”的概念出发，纯粹依据演绎推理建构公理化知识体系，是数学求理的独特方式。由于它在论证过程中一概使用从一般到特殊的演绎推理，仅在知识与问题的发现过程使用合情推理，使得它与许多严重依赖实验表象获取归纳性结论的学科有本质区别。以数学的方式构建的知识体系，若前提已公认无误，演绎推理过程严密，结论就不会被轻易置疑和推翻，这也是数学得誉“理性思维范式”的主要原因。因而，数学教育在培养理性精神与态度、促进求理意识与能力方面，有着不可替代的作用。没有数学教育的教育，很难阐明什么是“真理”的模样。
数学知识、问题的发现与论证教学是培养求理意识与能力的重要契机，其间，教师应重视引导学生细致审察推理过程的模糊与可疑环节，努力克服轻慢与疏忽等心理弱点，做到周密有序、步步有据。教师在探究示范教学中，要做到逻辑严谨、理据充足，也要在“再发现”过程中做到线索清晰、情理兼具，在已教知识无法对新结论进行论证时，应设法以实验或媒体技术等方式进行辅助论证。例如，在中小学讲解圆的周长与面积公式时，就有必要利用信息技术展示微积分学的相关思路与方法；给无法理解祖暅原理的学生讲解球的体积公式时，也有必要以实验等直观方式做演示说明。
（三）在数学知识、问题的推广教学中拓展求广的意向与思路
致力推广已有的知识和问题使之不断扩张，以与更多知识和问题产生联系，致力抽象已知概念与思想方法使之更具概括性，可统领更多知识，能处理更多问题，是数学求真过程中潜在的一个强烈意向。这一意向也必然渗透在数学教学过程中，并与深度学习的两个重要阶段相应：知识、问题的扩张体现了学习中“由薄到厚”的拓展延伸与融会贯通过程，概念与思想方法的抽象则体现了学习中“由厚到薄”的去粗取精与提炼升华过程。数学概念与思想方法的抽象，往往与数学知识体系扩张同步，因而，数学知识、问题的推广教学是拓展求广意向与思路的主要途径。
数学知识与问题体系是一个可相互交汇融通的整体，其中的概念知识存在大量内在关联，因而，教学中对教材知识与问题进行推广，思路是多元的，也是切实可行且有益的。一方面，推广使课堂教学内容具有连贯线索，其中的知识与问题都是在研究过程中一体生成的，有助于学习者实现理解性学习所必需的知识与问题关系建构；另一方面，推广使得数学的众多概念、知识和问题能在更高层面的抽象思维中得到聚合、同化和统一，有利于学习者实现层进式学习所必需的学科思想与精神感悟。求广的意向是求理意识的自然延续，也是求新精神的重要体现。
（四）在数学知识生成探究与反思质疑教学中激发求新的创意与潜能
开展对已学数学知识、问题进行推广与抽象的生成探究示范教学，是激发求新创意与潜能的重要方式。教材中的知识大都可被推广与抽象并生成新知。例如：推广完全平方公式可以得到二项式定理；抽象数的概念，可以将自然数扩充到整数、实数、复数、多元数，还可生成变量、向量、张量、矩阵、群、环、域等新概念。数学新知的生成探究思路应富含新意，即使是进行推广与抽象，往往也需要另辟蹊径，例如，将勾股定理有创意地表述为“一个圆周上的任一点到该圆周的二等分点距离的平方和为定值”，方可开敞推广思路并获得众多一般性结论。
在教学中引导学生对已有知识反思质疑，或解决复杂的现实数学问题，也是激发求新创意与潜能的重要方式。例如，反思方程无解问题可引导学生突破思维篱障获得无理数、复数的概念新知；基于复杂新情境设计建模问题可增强学生创新应用意识。激发求新创意与潜能，需要教师掌握数学探究的一般规律，并以之逐步引导学生学会在研究数学中学习数学。例如，在引导学生探讨两个平行的平面具有什么性质的时候，需要教师懂得数学探究大多是一个由简入繁的“引新”过程，应适时启发学生在图形中添加新的点、线、面元素再进行观察与思考。
综上所述，教学中涵育数学求真精神素养，应针对其主要内涵，恰当选择相应的教学路径。求实、求理、求广、求新作为数学求真的主要环节与特征，已较完整概括了数学求真精神的主要内涵。日本著名数学教育家米山国藏说过：“整个数学几乎全都是研究精神的产物，致力于发明、发现的精神的产物。”他的《数学的精神、思想和方法》一书，是将数学精神视为一般性的数学思维方法与习惯，划分为应用化、组织化、严密化、系统化、扩张化、一般化、致力发明与发现等诸多方式，概括地看，这些方式都属于求实、求理、求广与求新四个范畴。
二、在阐释数学的善益功用中涵育益善精神，致力深化益知、益事、益国、益人的观念认识
数学运用公理化方法开展研究所获的理论知识，可深刻描画事物普遍联系状态和变化发展规律，早已成为众多学科精细化研究所必需的基础工具；在当代信息社会，数学是一切尖端研究领域的创新源泉和技术内核；数学不仅对国家社会的发展与壮大有巨大的促进作用，对学习者思维品质的优化与精神品格的修养也大有裨益。从整体上看，益知、益事、益国与益人是数学产生善益功用的主要目标与途径，在数学教学中，从这些角度通过丰富的事例阐释并涵育数学益善精神，可分别以养成数学价值观、应用意识、发展观与学习观为侧重点。
（一）举析数学益知即有益于各学科研究与发展的事例促长数学价值观
事物都无法脱离数与形等数学属性而特异存在，这就使得数学的精神与思想能够蕴意在万事万物，因而可渗透到众多学科理论体系，并可有力促进各学科研究朝着精细与纵深方向发展。在教学中举析应用数学知识事例，如以微积分知识处理物理运动学、电磁学问题，以立体几何知识研究化学晶体、原子结构，以概率知识探索生物基因遗传规律，以周期函数等知识分析音乐的“音量”“音调”“音色”等，都可促长数学价值观，让学生在跨学科应用中深切感受数学知识与方法的力量，体味在校期间学习和掌握数学理论知识的重要意义。
教学中以具体事例说明数学有益于各学科研究与发展的原因，可以让学生了解善与真的关系以充实价值观认知。如指出计算机和理、化、生等学科发展需要数学，是因为这些学科在研究事物性质时，都必然要采用数学的公式、定理进行精确的定量分析等缘故，而量子物理、生物数学、人工智能等近当代科学高端技术领域离不开数学，则是因为数学的计算推理和基于微积分的理论往往比具体实验更易于把握复杂事物深层规律等缘故。善源于真，数学学科有利于众多学科的研究与发展，源于其独特的求真方式，这是学生在数学学习过程中必须理解的一个价值观念。
（二）举析数学益事即有益于活动与技术问题处理的事例促进应用意识
数学的知识与思维方式，可以优化工作思路，增进工作效益，因而有利于人们日常生活、生产建设与管理服务等各种活动事务的完善处理。教学中举析其中某些事例，引导学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，可帮助学生养成应用数学知识、方法解决生活工作事务问题的习惯与意识，亦可相应增进学生的道德行为能力。数学精神素养根植于日常的体验与感悟，因而，数学益善精神的涵育，不仅要深化观念认知，还应力促学生将其转化落实为具体的行动，做到知行合一，方可更好地推进个人精神素养与社会文化传统的发展。
数学也是处理高端科技领域技术问题的利器，教学中举析航空航天运作需要精确数学计算，精准医疗需要数学模型与算法，互联网核心技术依赖大型矩阵特征值快速算法，大电网的发电供输要用到复杂的偏微分方程组，大气、海洋探测与研究必须运用偏微分与随机微分方程等复杂多样的事例，让学生深入了解很多高新技术领域如果没有数学的参与就几乎寸步难行的事实，可以让学生从更多渠道感受数学的善益功用，从而增强个人在日后相关工作中应用数学知识与思想方法处理复杂问题的意识与能力。
（三）举析数学益国即有益于国家社会的发展与壮大的事例助长发展观
现代国家在军事、经济、文化等方面的综合实力竞争，归根结底是科学技术的竞争，而作为科学探索与众多高新技术基础的数学，则是保障一个国家在各方面保持强盛实力的最重要学科。在教学中，应让学生了解近现代历史中英、法、德、美与苏联等国家在国力最强盛年代对数学的重视程度与相关研究发展状况，通过举析如美国一直将保持数学的领先地位作为国家整体发展战略要求，法国人口不多但数学家一直层出不穷等事例，激励数学学习意志、鼓舞人生志向，引导数学英才关心国家发展大事，日积月累地形成有益于国家社会治理的科学发展观。
科学的精神与思想是人类社会文明进步的重要支柱与主要推进力量，数学的精神与思想则是其中最重要的先导因素，而且，数学文化素养也是现代社会公民的基本素养，公民整体的数学文化知识水平对社会文化传统的进步与发展有决定性影响。一个无相当数学知识文化的公民往往欠缺理性精神和客观、诚实、包容的人生态度，且在一些国家会被视作现代文盲，在教学中举析类似事例，可教导学生深入思考社会发展与个人进步问题，逐步增强学习积极性，有意识地通过学习积累提升自己的数学文化水平。
（四）举析数学益人即有益于个体的精神与思维发展的事例助进学习观
数学的学习与研究可促进个体品格修养与精神力量的发展，对思维品质优化与思维方式晋级也有深刻影响，可有效助长人的本质力量并使人终身受益。但调查表明，大量学生对数学学习意义缺乏认识，导致学习内源动力不足，鲜有专心致志的沉浸式深度学习体验。数学学习意义不明，大多因为不了解数学益知、益事、益国与益人的价值作用，因而需要教师注重深化相应观念认知，并结合具体事例详细分析数学学习对实现生涯规划与人生志向的重要性，以帮助学生养成对学习内在动机具有持久激励作用的学习观。
数学学习可让人学会克服急躁心理并养成专心致志与周密有序的思维习惯，克服惰性心理养成顽强探索和锐意进取的精神，同时还可促使人的思维更加广阔、灵活、敏捷，富有批判性、创造性和预见性，并在遇到困难时不怕困难，懂得将困难问题置于已知知识、问题、方法和经验系统中分析，再通过逻辑思考对问题进行化简与化归。在教学中，解释“凡有所学，皆成性格”的内在含义，举析和数学益人即有益于个体的精神与思维发展的相关具体事例，可以指引学生进一步认识数学学习的价值和意义，通过勤奋学习为日后积累必备的品格与能力。
概而言之，在教学中涵育数学益善精神，要通过阐释数学思想理论的善益功用，致力深化益知、益事、益国、益人的观念认识。“上善若水，水善利万物而不争”赞誉的是水，亦可以之赞誉数学。数学是最基础且应用最广泛的科学，益知、益事、益国、益人，足为善之大者。教学中从这四个向度举析事例，助进学生数学价值观、应用意识、发展观与学习观养成，可有力强化数学学习意义认知，让学生乐于数学学习并在生活与工作实践中主动倡导发扬数学精神，灵活应用数学的知识与思想方法，在实践善心、善行中获得追求真理的毅力、实践真理的能力和守护真理的勇气，因而是整体涵育数学精神素养过程中不可缺少的重要模块。
三、在数学理论建构与问题解决中涵育唯美精神，适时启悟唯简、唯序、唯统、唯和的审美风尚
数学运用公理化思想建构理论体系，总是致力以最简约的方式提出概念与公设，以最简捷有序的方式组织知识结构，并努力使结构内的知识与问题在系统与思想层面取得整体统一，使结构内的知识与其他所有数学知识能无矛盾地和谐相长。其间极需富藏人类本质力量的精神、思想的探本穷源和深谋远虑，蕴聚着数学对简单、有序、统一、和谐的坚执追求和学科极富个性的审美意趣。因而，在教学中涵育数学唯美精神，可主要在数学理论体系建构与运用理论解决问题的过程中，适时启悟学生从唯简、唯序、唯和、唯统等向度感受和辨析数学的审美风尚。
（一）启示数学唯简即追求知识结构与解证思路至简原则增强简化意识
数学追求知识结构至简：力求以最经济的公理化方式构建知识体系，用极简单的原始概念、最简约的公理与最简捷可靠的推理揭示规律，采用简省的符号语言，以函数、方程、不等式等简明方式呈现概念与知识间主要、直接、内在的联系。数学教学要引导学生辨析贯穿在数学知识关系建构过程中的这种简化意识，并启发学生认识数学知识生成探究中“由简入繁”的趋势，掌握数学知识论证过程中“化繁为简”的思路，深入感受数学知识生成与论证中“以简驭繁”的智慧，将简化的意识与方法视作数学理论知识系统建构的一个重要思维原则。
数学追求解证思路至简：尽力在问题解决中通过具体分析找到最简捷的思路，尽可能以通用思想和简单法则处理复杂多样的问题。数学解题教学中常用的“一题多解”“多题归一”“一法多题”等都体现了这一原则。解决数学问题的方法多种多样，但共同的思路都是联系已学知识、已解问题与已有经验，通过计算与推理实现命题变更，将问题化简、化归为可处理问题，因而，在解题教学中启示至简原则，需要教师引导学生通过实践归纳得到贯穿在所有解证思考中的这一简要思路，并引导学生在所有问题解决过程中反复运用直至熟稔掌握。
（二）启示数学唯序即追求知识体系与思维过程循序原则增进序化意识
数学追求知识体系循序：致力遵循知识的生成脉络与论证条理，用严格逻辑将众多概念、性质、定理、公式等组织成高度有序的理论体系。依照知识的生成脉络开展探究示范教学引导“再创造”思维，依照知识的论证条理培养严谨的逻辑思考能力，通过探索知识间的生成与论证关系以组建具有纵向双维的单元知识结构，是日常数学教学中不可或缺的基础工作。其中，还需要教师重于增进序化意识，经常启示学生辨析贯穿在各单元知识关系建构中的循序原则，并通过具体事例说明知识体系的序化之于知识记忆存取与应用的重要性。
数学追求思维过程循序：以有序的思维建构知识体系，做到先后有致、环环相扣；以有序的思维解证数学问题，做到步步有据、条理清晰。在教学中，缜密有序的数学思维能力培养，需要根据学情进行分步训练或分层指导，比如，可以通过命题或例题、习题教学，先训练学生在有结论即有目标的问题情境中的有序思维能力，再训练学生在条件或结论不明确的结构不良问题情境中的有序思维能力；还可先通过探究示范教学指导，提高学生在跟从教师探究思考时的有序思维能力，再通过自主探究教学指导，提高学生个人独立思考时的有序思维能力。
（三）启示数学唯统即追求知识与思想方法内在统一原则启迪同化思想
数学追求知识内在的同构与统一：努力寻求各结构化体系知识间的同构关系或一致性，使之能统一在一个更简单、通用的知识原理范畴中。探寻理论统一性的努力也是物理、化学等学科共有的一种精神，在数学中，将集合论或群论作为众多分支统一的知识基础，将微积分理论方法推衍到各个分支，都体现了数学的同化思想。在教学中，引导学生疏通贯穿在知识体系的统一原则，认识不同知识间的内在一致性，如寻找圆锥曲线的统一定义，以及各种计算法则的一致性，都可达成启迪同化思想的目的。教学中进行的序化与同化可促使数学知识在整体结构层面得到简化。
数学追求思想的概括与统摄：竭力探索数学知识与问题中思想方法的一致性，以归结一个能概括处理更多问题能统摄众多方法的普适性思想。教学中在这个层级启迪同化思想，首先是要引导学生理解知识内在关系并整体把握其结构体系，从中领悟作为单元知识结构灵慧的数学思想，如统计学中的归纳思想，数列中的转化思想等；次而引导学生更宏观地将各单元知识与问题整合起来统一认识，重点把握其中具有一致性的思想和思维规律，如复数、向量、解析几何中共有的坐标化思想，问题解决中共有的通过联想对问题进行转化的思维规律等。
（四）启示数学唯和即追求知识整体与主客意境谐和原则启悟和谐思想
数学追求知识整体和谐：致力以概念与思想创新等消除旧有理论体系中一切矛盾与不和谐的因素，新理论的产生不会导致旧有理论被推翻，新旧理论和不同分支理论可逻辑共洽并行不悖。例如，为使方程不至于无解，先后引入了无理数、虚数概念，为消除欧氏几何第五公设无法证明问题，创建了非欧几何理论，引入后对立的实虚数、正反的第五公设仍可相互包容谐结共生。欧拉公式eiπ+1=0中貌似不相干的五个元素可和谐共处，微积分基本定理中对立的微分、积分概念可相互融合，都显现了数学中的知识和谐景象，均可作为启示谐和原则的教学素材。
数学追求主客意境和谐：从实求理，不断推广创新，致力使抽象于客观世界的符号系统可体现万物本真，理论成果能正确反映宇宙大自然的和谐秩序与规律，进而使人类能更好地改造客观世界实现人与自然的和谐共生。主观之“意”是善与真、情与理的融合，客观之“境”是事物矛盾与现实问题的化身，教学中启示学生感受数学追求的主客意境和谐，应指导学生综合理解数学在真善美三个方向的精神追求，并通过列举数学理论在各个领域精深应用的具体事例，引导学生深入思考，切实体悟抽象界域主客交互和合的美学意蕴。
总体而言，简单、有序、统一与和谐是数学的四个主要审美追求，均发端于数学独特的求真方式，而后渐成风尚，使得数学整体理论近乎“以最恰当的方式画一幅简单、统一和易于领悟的世界画卷，这画卷可以让人理解宇宙的和谐，给人以优雅与壮丽的感觉”（爱因斯坦）。在数学理论体系建构与问题解决中从唯简、唯序、唯统与唯和等向度涵养唯美精神，不仅具有精神性，也具有科学性、时代性与思想性，可以启发学生深入认识事物内在的秩序与和谐，净心陶醉在真善美汇聚一体的数学交响曲中，深刻感受可体现人类本质的科学思维创作力量。
结语
立德树人、为国育才是学校教育的主旨，作为学校教育基础学科的数学，需要承载育人铸魂、启智增慧的重要任务，需要以启悟思想与养育精神作为学科教学的目标旨向，在促进学生思维发展与品格提升过程中发挥关键作用。数学课程学习在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中，有着不可替代的独特功效，但由于各种因素影响，实际数学课堂大都比较重视提高学生的数学思维能力，而忽视了发挥数学课程在培根铸魂、养心润德方面的育人价值，甚少在促进学生数学思维素养发展的过程中同步涵育与之相应的数学精神素养。
数学精神是数学思维活动发生与发展的内在动力，它贯穿在数学的文化传统和理论知识中，也融合在数学思维活动中，体现为数学思维的目的性、价值性与意向性等。数学在真善美三个方向的精神追求，集中体现了数学精神素养的内涵要义，蕴含着非常丰富的教育素材，也是一个需要持续发掘、深入研究和精细探析的学科内生德育资源。在数学教学中落实立德树人根本任务，必须发挥数学课程的内在育人价值，因而必须引导学生整体感受数学在真善美三个方向的精神追求，不断地认识、研究、弘扬数学精神，使其在步入社会后能够发挥数学精神对知、情、意心理的感召力量，积极营造求真务实、开拓创新、锐意进取、乐意奉献、和谐有序等良好风貌，成为改善与引领社会精神气象的时代新人。
完
本文刊登于《中国教育学刊》2023年第六期，平台发表内容以正式出版物为准
本文转自微信公众号“中国教育学刊（ID:zgjyxk)”
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