【前沿科普】关于分形学理论及其在地学领域的应用--多重分形

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以下文章来源于GISerQ ，作者GISerQ

这些天有人私信问关于分形理论的问题，就继续写一点关于分形理论的内容。分形理论最早开始于用于描述自然界中不规则事物的特征，如海岸线、河流、地貌......，并且与地理中的尺度有着密切的联系。

前面比较浅显地分别介绍了关于地理中的尺度问题以及单分形理论，具体可查看：

关于分形学理论及其在地学邻域的应用

地理中的尺度问题...

今天接着介绍一下分形理论中的多重分形理论。

什么是多重分形？

分形理论中分为单分形（mono-fractals）和多重分形（multifractals）。单分形通常使用一个分形维数来描述事物的特征，而多重分形则常用连续的多重分形谱以及广义分形维数来表示。在多重分形中，一个系统的局部分形维度是自适应的，即不同尺度的部分其分形维度可能不同。这反映了系统内部的异质性和规律的变化。

多重分形是一种解析地理事物非整数维存在形式的研究思想，可定量化地 描述空间复杂系统总体、局部的演变特征，对某一对象进行多重分形的分析包括全局性、区域性两套指标体系。全局性指标体系是利用系统整体包含个体存在状 态多少的信息熵思想来反映空间总体的复杂性；局域性指标体系则通过各局部在系统中所占权重大小的思想来分析空间内部的分异。

多重分形作为分形几何的一个分支，它描述的是在复杂系统中存在各种尺度的不规则性和非线性关系。与传统的分数维度相比，多重分形能够更好地捕捉到结构中的多尺度特征和局部变化。

如何计算多重分形特征？

将研究对象使用大小为��� × ���的盒子覆盖，用���(���)表示非空盒子数。用 ������(���)表示每个单元的概率测度，即特征信息分布概率，则有如下关系。

接着计算配分函数和质量指数函数，当质量指数函数关于阶矩为凸函数时，则可以根据下式计算得到相应的广义分形维数：

典型的广义分形维数D(q)分布曲线如下：

当质量指数函数可微时，则可通过Legendre 变换计算得到多重分形谱f(α)：

典型的多重分形谱如下：

看起来好像很复杂的公式，其实计算的时候就类似于两层循环，最外层为阶矩在改变，内层为不同阶矩下的尺度在变换，相当于for循环里面套着一层for循环，这也就解释了这种方法为什么叫多重分形：

for 阶矩变化

    for 尺度变化

多重分形在地学领域有哪些应用？

多重分形的核心思想是通过尺度变换来揭示系统的自相似性和不规则性。它常用于分析具有复杂结构的数据。

1. 地震活动：多重分形可以应用于地震活动的研究，揭示地震序列中的丰度和空间分布的多尺度特征。通过分析地震事件的多重分形谱，可以研究地震活动的复杂性、自相似性以及地震发生的概率分布。

2. 地表形态和地貌：多重分形被用来分析地表形态和地貌的复杂性和自相似性。通过计算地形高度值的多重分形谱，可以揭示地貌的多尺度特征，如地形的起伏、岭谷的结构和分布，对地表地貌发生过程和演化机制的研究有重要意义。

3. 气候和气象：多重分形可以用于分析气象和气候数据，如温度、湿度、降水等，以揭示其多尺度的空间分布和时间变化特征。对气象和气候过程进行多重分形分析，可以提供对气候系统自相似性、尺度依赖性和非线性动力学特征的理解。

4. 水文和水资源：多重分形可应用于水文过程的分析和预测，如降雨、径流等。通过分析水文数据的多重分形结构，可以研究不同尺度下的水文变化规律，对水资源的管理和可持续利用提供重要参考。

5. 地球物理和地球化学：多重分形可以应用于地球物理和地球化学数据的分析，如地磁场、地电场和地球化学元素等。通过多重分形的计算，可以揭示地球物理和地球化学过程中的多尺度结构和有效性分布，深入理解地球内部和地球表层的复杂性。

这些是地学领域中多重分形的一些应用示例。多重分形提供了一种深入研究地球系统复杂性和多尺度结构的方法，对我们理解和解释地球科学中的各种现象和过程具有重要的启发和意义。

如果感兴趣的话后续会专门举例写一下如何具体计算分形维数以及多重分形特征。

转自：“生态遥感前沿”微信公众号

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