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写在前面
我们在阅读论文或者听讲座时经常会听到“建立了***模型”或者“An empirical model has been developed by **** to ***”等描述。那么，什么是模型？工程科学论文中主要有哪些模型？这些模型是怎么建立的？这些是科研中非常重要的问题，也是深化我们研究的重要基础。为了回答以上问题，本文以本人在某次演讲中的PPT为蓝本对这个话题进行一些探讨并浅谈自己对创新的理解，希望能起到一个抛砖引玉的作用。
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工程科学论文中有哪些模型
工程科学论文中的模型一般包含经验模型和理论模型，这个一般指的是预测某个参数的数学公式，以下是两种模型的简单介绍。对于数值模拟（CFD），这个里面还包括CFD模型，一般指的是二维或者三维的实体模型，这个在下一节中介绍。
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各个模型之间的关系如何？
理论模型一般由理论分析得到，而实验研究或者CFD模拟一般可以得到经验模型。理论分析的涵盖范围一般较广（可以看成是一个面），从而可以指导实验研究或者CFD模拟（每个场景可以看做理论面上的一个点）。所以我们在实验研究或者CFD模拟时，需要分析一定数量的场景（点）来近似涉及理论这个面。
我们偶尔会看到有些论文中使用三个或者四个实验点来拟合直/曲线，这样数量的实验场景（点）明显是不足的。比如四个试验点可能是一条直线上的四个点，也有可能是曲线上的四个点，实验结果无法完整确定其背后的规律。如下图所示，实验研究或者数值模拟的四个点反映的是一个曲线规律，而实际的理论可能是一条直线。所以我们在实验分析某个规律时，一般建议至少有5个实验点（场景），否则有可能不能正确反映该规律。
下图就是一个非常好的例子，X和Y分别表示输入和输出参数。我们在四个X点进行了实验，得到了四个Y值。为了找出X和Y之间的规律，我们在拟合四个实验点以后得到了一个幂函数的经验模型，而实际上的理论模型可能是一个简单的直线。所以四个试验点有时候并不能正确反映背后的规律。
下图就是在拓展实验点（五个黑色点）以后的情况，可以看出这个试验点可以良好的反映出一个直线规律。另外从图上也可以看出，实验得到的规律是可以无限接近理论模型的，比如系数为0.205和0.2，经验模型预测的精度随着实验点增多而提高。
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经验模型是怎么建立的？
经验模型的建立一般以实验研究（多数）或者数值模拟（少数实验研究较难的情况下）为基础。以下以火灾科学中木材点燃时间的预测模型为例来探讨经验模型的建立。其一般可以分为四个步骤，即（1）研究方案、（2）实验测试、（3）物理过程参考（很重要的一环，容易被忽略）以及（4）确定模型系数。
在（1）研究方案中，我们需要设计具体的实现方案，比如在木材点燃时间模型的例子中，我们考虑了六种木材类型以及不同含水量的木材样品。
在（2）实验测试中，我们利用锥型量热仪来得到不同热辐射情况下（X1）不同密度类型木材（用密度反映，X2）的点燃时间（Y）。这个实验测试的关键是需要一定数量的试验点才能正确反映出背后的规律。
第三个步骤，也就是（3）物理过程参考是比较容易忽略的一个步骤，这也是审稿人通常提出的“得到的经验模型没有物理意义”这个审稿意见的原因之一。那么，怎么来确定经验模型是否有物理意义呢？一般可以用极端值来确定。下图中q为外界的热辐射量，ρ为木材的密度，tig为木材的点燃时间。如果ρ=0，则点燃时间tig=0，说明没有质量时其点燃时间为0；而当ρ不断增加，则tig增加。如果q=28（临界热辐射量），则tig→∞，这个也能反映出木材点燃的物理意义。
这个过程中的经验模型是参考了前人在其他条件下所得到的经验模型，这也是物理过程参考中一个重要的方法。如果没有前人的模型可以参考，这种情况下可以自己尝试推导理论模型或者考虑各个单一参数的影响来综合确定模型。
最后一步就是（4）建立经验模型。如果经过了物理过程参考这一环节以后，经验模型的建立就只剩下其中系数的确定了。比如这个例子中就可以通过得到的实验数据得到其系数为87。
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理论模型是怎么建立的？
理论模型的建立是完全不同的一个概念。我们同样以火灾科学中木材点燃时间的模型为例来探讨。理论模型的建议是以已知的理论模型为基础（比如能量守恒定律），通过公式融合推导（或者简化）得到理论模型（方程）。为了确定理论模型的有效性，一般我们还是需要实验数据进行验证。其中值得注意的是，这里的实验数据可以用于理论模型的验证，也可以用于其系数的求解。
理论模型中的第一个步骤就是根据已知的理论（1）建立方程组。在这个例子中，有能量守恒方程和各个边界条件。理论模型中方程组的建立需要形成“方程组的闭环”，即方程组内方程的数量和未知参数的数量必须相等，否则不能得到方程组的解析解。另外也是非常重要的，理论模型中大多都不是完全意义上的“理论模型”，在理论模型的推导中为了简化方程推导或者得到解析解，求解过程中或多或少会有一些的简化假设（assumption），这个一般在模型推导之前需要强调说明。
在不断的公式推导和融合中，我们可以（2）求解得到理论方程。这也是比较考验数学功底的一个步骤，比如这个例子中就需要一阶偏微分方程解析解求解以及积分解析解等方面的基础知识。在这个例子中，我们可以得到以下的理论模型，其中可以看出其他输入参数都可以得到，但Cig这个系数无法直接得到，这就需要依靠实验数据来确定了。
在（3）实验设计及测试中，我们需要根据得到的理论模型来设计具体的实验，从而满足相应的研究目的，比如确定理论模型中的系数或者验证理论模型。
最后一个步骤就是（4）确定理论模型中的系数。这个可以通过数据拟合来确定一个符合各个实验场景的最佳值，或者各个类型的场景都有一个最佳值。
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各个模型之间的比较
通过以上对经验模型和理论模型的例子，相信大家对这两个模型有一个更深的了解。那么理论模型和经验模型有些什么区别了。具体的总结如下图所示，但有一点需要强调的是，理论模型和经验模型没有“高低贵贱”之分，这个只是科学研究中的两种方法而已，并不能说明理论模型就一定比经验模型高明从而忽略经验模型的建立。理论模型就像一个高楼大厦的框架，而经验模型就像其中装饰家具，没有具体装饰家具的高楼大厦也许是“空中楼阁”，无法在现实中直接利用。
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浅谈工程科学的创新
下面我以大家都很熟悉的一篇论文（Helbing等人在Nature上关于人员疏散的论文，www.nature.com/articles/35035023）为例来浅谈一下什么是创新。Helbing等人为了模拟建筑内部人员在紧急条件下的人员疏散问题，建立了社会力模型。这个社会力模型考虑人与人之间以及人与障碍物之间关系对人员疏散速度的影响，这个模型的建立就是一个非常好的创新。
Helbing等人在模型建立以后，后面的学者对其中的参数（比如fij – 人与人之间的作用力；fiw – 人与障碍物之间的作用力）利用实验或者理论方法对这个模型进行了深化补充，这个也属于创新，但创新性要远小于“第一个吃螃蟹的”Helbing等人。
所以有很多科研学者非常重视“idea或者关键科学问题的提出”。有可能提出一个idea或者“科学问题”在有些时候比实际解决问题更重要。这也是为什么“大牛”比较“牛”的原因。大牛一般对领域有着全面的了解，这样更有可能提出创新的概念，但有的时候全面掌握某个领域反而会限制创新。
那么，如果要回答本文前面中所提出的问题-什么是创新？最近比较火的一个话题可以很好的解释这个。比如Musk提出了火箭回收想法，这个就是非常好的创新，而后面关于火箭回收技术的优化有可能只是“锦上添花”而已。
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