基于PRIDE教学模式的计算理论课程教学探索

0 引 言

2015年6月，国务院学位委员会增设网络空间安全一级学科[1]，该学科是研究信息存储、信息传输和信息处理中的信息安全保障问题的一门新兴学科。网络空间安全学科的许多问题都可归结为计算安全问题，因此计算理论是网络空间安全学科的理论基础之一[2]。计算理论课程作为网络空间安全专业的基础课程，对后续学习密码学、信息安全等专业课程，起着至关重要的作用。围绕本科生培养方针和课程建设核心目标，探索使学生具备信息安全数学基础的核心知识理论框架，培养学生与时俱进的精神与面对新问题、新挑战的应变创新能力，是亟待解决的关键问题。

1 课程教学目标与核心内容

1.1 教学目标

计算理论课程的教学目标主要是培养学生掌握计算机硬件、软件以及某些应用的基本数学特性，增强其对计算机能力和局限性的了解，提高学生定理叙述与证明的基本技能；培养学生利用专业知识，为信息安全领域复杂工程问题建立计算模型并分析的能力[3]；同时为信息安全专业本科生深入学习现代密码学课程，打下坚实的数学基础，提高学生的数学思维能力；培养具有自主学习和终身学习的意识。

1.2 教学内容

计算理论课程主要围绕自动机理论、可计算性理论和计算复杂性理论3个课程模块展开[4]，其内容体系见表1。自动机理论初步阐述计算数学模型的定义和性质，包括有穷自动机模型和上下文无关模型，在编译程序、程序设计语言和人工智能中有广泛应用，是网络攻防的理论基础之一。可计算性理论研究哪些问题是可解的和不可解的，是信息系统安全的理论基础之一。计算复杂性理论研究问题的计算难度主要关注到底什么使得某些问题很难计算，而又使得另一些问题容易计算，是密码学的理论基础之一。

2 教学存在的问题

计算理论课程的主要特点是理论性和抽象性。在理论性方面，相比于连续性的数学知识，计算理论主要针对的是离散性的数学知识，因此课程的思维方式和传统的数学课程有显著区别。在抽象性方面，为了刻画计算或者计算机的能力和局限性，需要将具体的计算过程高度抽象并进行分析。和其他数学课程需要具体计算思维相比，计算理论课程需要抽象计算、抽象思维的能力。这两个特点使得计算理论教学存在以下诸多问题。

2.1 知识体系不完整，缺乏主线和价值引导

传统的授课方式以及错综复杂的知识要点，使得学生未能充分了解其实用性与学习价值，缺乏对理论知识的探究性，对计算理论课程产生错误的认知，认为计算理论课程纯粹是讲授理论性的知识，实际中没有什么用处。课程教学中缺少对科学精神、哲学思维等维度的思政元素的价值引导。

2.2 教学方法偏重理论推导，过于抽象难理解

计算理论课程的教学通常采用老师硬灌输知识点、学生被动学习的方法，难以激发学生的潜力和学习的积极性；同时课程内容中的理论推导和抽象概念偏多，缺乏直观性，更加不利于学生对知识的理解，这将导致学生逐渐丧失学习的动力。例如，如何理解抽象的图灵机模型，并将其和实际使用的计算机进行完美类比和建模，是非常具有挑战性的问题。

2.3 教学内容偏重知识理论，脱离实际应用

计算理论课程主要是为解决信息安全中的实际问题或理论问题而存在的。若老师仅仅教授课程上的理论知识，缺少实验或案例，则学生难以建立知识理论和实际应用的联系，从而无法从固有知识中寻找解决实际问题的有效方法。例如，学习了NP类之后，我们知道大多数问题很难有高效的求解文法，但是在实际应用中，出现了利用深度学习技术研制的阿尔法狗等人工智能机器，这些机器试图解决传统上的难题，并给出了打破直觉的结果。如何建立理论知识和技术应用之间的紧密联系，推动学生深入思考，是课程教学中不可或缺的重要组成部分。

2.4 教学模式形式单一，缺乏创新

传统计算理论教学往往只注重课上的知识引导和理论教学，看起来逻辑性强，但却忽视了对学生数学思维、安全思维和竞技精神的培养，容易使学生感到知识抽象难懂。如何使用多样化的教学方法，提高学生的兴趣和积极性，培养学生的创新思维，促进学生自主学习，是计算理论教学面临的重要难题。

3 教学方法的尝试与改进

PRIDE教学模式是将多种教学方法有机融合的一种教学模式，其中P指思政教育（Politics）、R指科教融合（Research）、I指启发式教学（Inspiration）、D指研讨式教学（Discussion）、E指案例教学（Example）[5]。该模式典型特点是五维一体，多维度全方位增强课堂教学效果。在知识教授过程中，加强对思政元素的价值引导；将最新的科研成果融入课程教学中，加强学生的创新思维；将抽象难懂的知识进行启发式教学，培养学生主动思维能力；将所学知识应用到密码学，深入研讨如何将计算理论知识应用到实际；通过精心设计典型案例，进一步提高学生分析和解决具体问题的能力，同时培养团队协作精神。

3.1 思政教育环节

以图灵机的教学过程为例。课程注重讲授图灵机的起源，以马克思主义科学世界观和方法论为指导，从发展的角度探讨科学进步的历程。首先讲授希尔伯特的第十问题，即给出一个算法，通过有穷次运算判定任意的丢番图方程是否有整数解。为了解决丢番图方程，必须要搞明白什么是算法，这在希尔伯特第十问题提出后整整30年没有取得任何实质进展。其次，通过类比人类解决问题的过程，给出算法的直观概念。介绍美国逻辑学家丘奇和其学生的工作，即什么样的函数是可以计算的，引入兰姆达运算来刻画函数的可计算性。第三，引入哥德尔的递归函数论来刻画哪些函数是可以计算的。最后，介绍图灵的研究，即什么样的数可以通过有限的步骤计算出来。正是图灵机的引入，将丘奇、哥德尔的工作整合在一起，最终刻画了抽象计算机的模型。众多科学家的不懈努力，持续推动了人类对计算本质的认识。

从思政角度来看，整个课程教学是马克思主义唯物史观在计算理论方向上的全面论证与实践应用。在此基础上，辩证唯物主义和历史唯物主义及其延伸的求真务实、客观理性、开拓创新、怀疑批判等科学精神，成为浸润于计算理论课程理论知识授课和实验教学的基因。

3.2 科教融合环节

在映射可归约性的教学过程中，通过展示教学团队在公钥密码学、密码学基础理论等科研领域取得的前沿科研成果，加深学生对密码算法可证明安全归约过程的理解，让学生知道如何将抽象的计算理论知识应用到密码学。具体来讲，通过使用映射可规约及改进的规约方法，证明以Elgmal签名、Schnoor签名、DSA签名等为代表的签名算法，不能在标准模型下被证明是安全的，而这些签名的延伸算法很多都是各种国际组织的标准，进而促使学生思考标准的安全性以及国产密码的重要性。

3.3 启发式教学环节

在正则语言的教学过程中，为了刻画正则语言的本质，用1个只有n种想法的演讲者坚持要讲m个观点为例，其中n，则该演讲者所讲的观点必然会有重复，进而类比引申到1个仅通过有限状态描述无穷语言的有限状态机，必然是靠资源重复来接收无穷多的字符串，即“容忍啰唆，有容乃正”。在上下文无法文法的歧义性讲解中，通过介绍春秋战国名家学派的“白马非马”论，说明诡辩术和歧义性的关系；通过三国志对曹操的评价“子治世之能臣，乱世之奸雄”，来说明汉语的歧义性。通过以上典型案例启发学生对知识点的深入理解。

3.4 研讨式教学环节

在时间复杂性的教学过程中，在讲授完P类、NP类和NP完全类之后，提出问题，让学生思考密码学通常基于什么类型的难题假设；针对此问题，布置课后作业，让学生查找密码学相关文献，给出密码学常用的困难问题，以及这些困难问题和NP完全类的关系，并让学生思考密码学是否使用NP类中最困难的那一类问题来构造密码算法。在调研完毕后，通过课程分组研讨，学生深入理解时间复杂性是如何贯穿各种密码学算法的。

3.5 案例教学环节

在NP类的教学过程中，NP问题指难以找到多项式时间算法的问题，在现实世界中，通常认为NP完全问题属于计算困难的问题，因而可以提供密码系统事实上的安全性。然而，NP问题本身是较为抽象的，图灵机、多项式、难解等术语也是难以理解的。从学生亲身经历的本科生教务排课问题出发，采用问题驱动的方式让学生理解排课问题难在何处，即无法既满足所有老师的排课需求，又保障与学生的选课意愿不冲突，进而体会到NP问题难在何处。

4 教学实施效果

在网络空间安全人才培养实践中，北京航空航天大学网络空间安全学院教学团队瞄准网络空间安全学科及相关专业人才培养的知识目标、能力目标及素质目标，笔者和所在的数学基础教学团队积极践行PRIDE教学模式，对计算理论课程教学进行了长期且深入的探索与实践。

实践表明，在PRIDE教学模式培养下，计算理论的教学效果显著。北航教务处网站学生评教结果见表2。

2020—2021学年春季学期，34名本科生选了计算理论课程。为充分调研教学实施效果，笔者团队发放调查问卷34份，回收问卷34份。经过对问卷的仔细研讨，我们发现本课程学生评价平均分为93.8分，优良率达100%，具体评价反馈见表3。

5 结 语

培养网络空间安全拔尖创新人才，离不开扎实的数理基础和专业基础。作为网络空间安全学科的数学基础课程，计算理论的理论性和抽象性特点都是阻碍开展高质量课程教学的重要因素。针对计算理论课程教学的现存问题， PRIDE教学模式充分调动了学生的积极性和主动性，使得计算理论的教学变得更加深入浅出、引人入胜和生动有趣，有利于培养学生的计算思维和创新思维能力。基于本文的教学探索与实践，下一步应结合学科竞赛，将理论教学应用于实践，促进科教融通。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 国务院学位委员会教育部关于增设网络空间安全一级学科的通知[EB/OL]. (2015-06-11)[2022-10-28]. http://www.moe.gov.cn/jyb_xxgk/moe_1777/moe_1778/201511/t20151127_221423.html.

[2] 教育部高等学校网络空间安全专业教学指导委员会. 高等学校信息安全专业指导性专业规范[M]. 2版. 北京: 清华大学出版社, 2021.

[3] 李占山, 吕帅. 基于计算思维与创新能力培养的计算理论课程教学改革探索[J]. 计算机教育, 2019(1): 4.

[4] Sipser M. 计算理论导引[M]. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2006.

[5] 刘建伟, 李大伟, 高莹, 等. 面向网络空间安全人才培养的PRIDE教学模式探索与实践[J]. 网络与信息安全学报, 2021, 7(4): 183-189.

基金项目：教育部产学合作协同育人项目“区块链工程实践教学基地建设”（202102119016）；北京航空航天大学研究生教育与发展研究专项基金项目“网络空间安全研究生基础理论课程思政教学的探索与实践”（JG20213938）。

第一作者简介：张宗洋，男，北京航空航天大学副教授，研究方向为区块链和隐私计算，zongyangzhang@buaa.edu.cn。

引文格式：张宗洋，高 莹，姚燕青，等. 基于PRIDE教学模式的计算理论课程教学探索 [J].计算机教育,2023(2)：13-16.

转自：“计算机教育”微信公众号

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