数的运算教学，最基础、最重要的目标是“理解算理，掌握算法”。在实际教学中，有些教师对算理、算法的含义不是很清楚，对它们的价值也不是很明晰，导致教学设计及实施时目标模糊、过程紊乱，未能获得运算教学该有的效果。为此，本文对算理、算法这两个运算的基本元素作一番解析，并介绍运算教学的一些常用策略，希望能带给一线教师们一定的启示。
一、算法与算理的含义
1.算法
什么叫算法？即运算的方法，也就是怎么算的。下面，举不同年级、不同类型的一些例子来说明算法的含义。
一年级：20以内进位加法口算（图 1），常用的运算方法是“拆小数，和大数凑成十，然后再加”，即“凑十法”。当然，算法还有“拆大数凑成十”“接着数”“假设成十加几”等。
三年级：多位数乘一位数笔算（图2），算法是“末尾对齐，先用第二个乘数去乘第一个乘数个位上的数……”。
图1
图2
四年级：整十数除以整十数的口算（图3），算法可以是“想乘算除”，常用算法是“被除数和除数都去掉一个0，然后再除”。
五年级：小数乘整数（图 4），算法是“先按照整数乘法算出积，再点小数点……”。
图3
图4
从以上例子可以看出，小学数学中的算法，就是指某类计算题进行运算时所采用的方法，或者说是该类运算的具体程序。任何一名计算者，只要按照这样的程序进行操作，就能开展正确的运算，获得正确的结果；而对程序的反复操作，能让计算者提升熟练度，最终稳定形成一种基本的技能。这就是算法的重要价值——使人会运算，形成运算技能。
上面的例子中有口算、有笔算，对比可知：因为口算都是直接通过思维活动进行运算并得出结果（即过程不外显），且算法不唯一，所以口算的算法往往不用严谨的文字来表达；而笔算相对较难，需要写出多步过程，求出结果（即过程外显，一般为竖式），为了便于操作，这个过程必须用明确的文字表达出来，这就是教材上的笔算内容常会呈现运算法则的原因所在（图5）。
图5
2.算理
什么叫算理？即算法背后的理论依据，也就是为什么可以这样算。无论是口算内容还是笔算内容，其运算的方法必定都有数学的原理作支撑。
例如，图1中的“凑十法”，8+5凑十的过程与数的意义、数的组成等紧密相关（如 5 可以拆分为2和3，10加3就是 13）。更重要地，这样运算实际上是在运用加法结合律：8+5=8+（2+3）=（8+2）+3=10+3=13。因此，数的意义、加法结合律等就是“凑十法”的算理。又如，图2中的 12×3 笔算，这样列竖式的依据是数的意义、数的分解（将12拆成10+2）、乘法对加法的分配律（10 和 2 分别与 3 相乘后再相加）。图 6 是其板书，小棒的圈画和三个横式清晰地表达出竖式计算的算理。（为作区别，我们可将小棒图示称为算理的直观表征，将口算横式称为算理的数学表达）
图6
再如，图3中80÷20“被除数和除数都去掉一个0，然后再除”，依据是数的意义与商不变的规律；图4中0.72×5“先按照整数乘法算出积……”，依据是数的意义与积的变化规律。由这些例子可见，算法背后的算理，就是数的意义、数的表达方式、运算的意义、运算的定律和性质。理解算理，就是探究如何运用数学原理解释算法（即理解运算过程），这样的过程实则就是开展数学推理。因此，运算是一个推理的过程，理解算理本质上就是锤炼推理意识，发展数学思维。这就是算理的价值所在——使人会思考，提升思维水平。
算理的含义还清晰地表明，运算律（包括运算性质）是进行初等运算的核心依据，因此数的运算存在这样的原则：算律确定算理，算理确定算法。
另有两点需要注意：（1）因为运算的意义和数的意义决定着运算中一定会显现出某种运算的规律，如 8+5 中的加法结合律，所以运算律是“先天存在”的，并不是在中高年级专题学习相关内容之后才产生的。（2）考虑到学生的认知水平，运算中的算理有时候不需要学生理性地表达（或深刻地认识），尤其是在学习运算律之前（如不可能在教“凑十法”时让学生理解用到了加法结合律）。所以，进行算理教学时，低年级可多采用直观表征，中高年级可逐步引导其进行数学表达。
二、运算教学的常用策略
教师只有对算法、算理的含义及价值形成高位的认识，才可能在运算教学中真正落实“理解算理，掌握算法”的目标。比如，意识到算理是算法的依据，学生对算理理解得越透彻，才会更好地接受并掌握算法，教师就会重视算理教学，重视算理与算法的勾连；知道算法是运算的程序，是一种技能，这种技能的形成需要算理的支撑，更需要一定量的操练，教师就会在算法训练上下功夫。又如，认识到算理的表达本质上就是推理，教师就会放大算理探究的过程，以此凸显思维训练的目标，呼应“数学思维主要是指运算能力和推理意识（能力）”的新课标理念。
运算教学的多种策略都与上述认识紧密相关，不同的策略无非是根据内容的难易程度和学生的认知情况，对算理、算法的顺序、轻重作出的不同处理。现根据笔者的实践探索，介绍三种常用的策略。
1. 先算理，后算法，用算理创造算法
以笔算两位数乘两位数的教学为例。从教材编写（图7）可见，教学的基本流程为三个步骤（即图中三个框中的内容）。
第一步：创设情境，引出算式；
第二步：开展操作，理解算理；（圈画点子图，用横式表达计算思路并得出结果）
第三步：依据算理，创造算法。（将最普适的算理转化为相应的算法，如图7中的箭头所示）
图7
这样的流程，笔者称之为“先算理，后算法，用算理创造算法”，它清楚地体现了运算的基本原理——算法是通过算理得到的。
因此，如上流程几乎成为教材编写运算内容的统一模式，无论是口算、笔算，还是整数、分数或小数的运算，均如此（图 8、图 9）。现实中，很多教师也会按教材推荐的这个流程进行教学，学生在此过程中得以经历观察、操作、分析、推理、创造、概括等一系列学习活动，较好地理解算理，掌握算法。
图8
图9
很明显，上述流程中最具挑战性的就是依据算理创造算法的环节，因为很多算法（主要是笔算），其现用的书写格式（如图 8中的除法竖式）是在历史的长河中持续演变和优化的结果，这绝不是小学生在一节课内能够创造出来的。而这个挑战的价值也是显而易见的——学生的创造虽然很难成功，但这是一次有意义的探究过程，此过程可帮助学生锤炼思维，发展推理意识，积淀创新精神。从这个角度来说，学生能否创造出算法并不重要，重要的是这样一种经历。（当然，过程的经历也有助于学生对算法的接纳和掌握）
“先算理，后算法”的策略适用于“这个运算内容学生还不会算，要明晰算理后才能学会算法”的学情判断及逻辑定位。但在现实中，很多运算内容在正式教学之前，因为其方法太简单，或是学生已在课外学过，所以不少学生已经会算了，如上文说的 20 以内进位加法 8+5，分数乘分数 12×35，等等。此时，“先算理，后算法”的策略就显得不那么合适了。
如何应对这样的学情？这就要用到运算教学的第二种常用策略。
2. 先算法，后算理，借算法探究算理
同样先看一个具体案例。
除数是整十数的口算除法，按教材编排（图 3）所示：先通过小棒操作理解 80÷20 的算理，然后发现 8 个十除以 2 个十只要用 8÷2 计算即可，于是获得“被除数和除数都去掉一个0，然后再除”的算法（可简称“划0再除”）。
但在实际教学中，如下的教法也许更自然。
第一步：呈现算式，暴露算法；（如直接呈现 80÷20甚至更多题目，学生口答结果并介绍算法“划0再除”，教师确认算法）
第二步：质疑算法，探究算理；（先引发学生质疑“为什么可以划0再除”“为什么商是不变的”等，然后开展算理探究活动）
第三步：理解算理，巩固算法。（在深入理解算理之后，再次练习，巩固算法）
上述流程的教法，即可称之为“先算法，后算理，借算法探究算理”，其最大的特点就是顺应学情，让算法先行，用算法中暴露出来的疑问迫使学生主动“倒追”算理。
之所以说顺应学情，是因为我们曾给出80÷20等八道口算题（包括150÷30这类整百数除以整十数的口算）进行前测，发现计算正确率为94.2%，让学生介绍方法，能说到“划0再除”算法的学生占75.9%。很明显，绝大部分学生在课前就已经能正确地口算整百、整十数除以整十数，很多学生还能清晰地表达算法。在这样的情况下，合理的教学思路自然应是直面现实，以学定教，也就是按照很多学生已知算法的现实逻辑来设计并实施教学。
如此学情绝非个例，因为家长对教育的重视、学生学习途径的多元等各种原因，所以教师教学某个知识之前，学生已会的现象极为普遍。运算的知识（尤其是算法）由于好教，易见效果，因此常常成为家长、培训机构提前教学的首选内容。以笔者所在地区为例，多次前测的结果显示：教学口算内容之前，90%左右的学生已会；教学笔算内容之前，哪怕算法再难，都有约30%的学生已会。
但是，大多数学生会算法，却不知算理（或一知半解）。如此学情就带来了教学创新的机会——课始直接让学生计算，暴露学生在算法上的已知，然后借助正确的算法或算法上的细微差异，刺激学生对算法提出疑问，而这些疑问一定指向算法背后的算理，此时解决疑问的过程自然地成为学生主动探究算理的过程……这样既开放大气又凸显内涵的教学思路，可称之为“用算法引问，促算理探究”。近几年，我们在实践中形成了大量相关典型课例。
这样的课堂，因聚焦于算理的深度探究而彰显出思维迸发的魅力——质疑、分析、比较、推理等高质量的思维活动贯穿其中，学生思维的批判性、严谨性、深刻性等均可得到有效锤炼。在新课标高度重视数学思维的背景下，其意义是显著的。要说明的是，“先算法，后算理”，并非弱化算法，无非只是先“做强”算理理解，促使学生真心接纳算法，再巩固和熟练算法，教学目标依旧是“深刻理解算理，熟练掌握算法”。
3. 算法、算理同时探究，以法索理，以理寻法
看了上述两种教学策略后，也许会有教师心生疑惑：为什么非得把算理和算法分出先后顺序来开展教学呢？难道就不能把任务整体下放，既让学生尝试探究算法，又让学生解释算理？
这当然是可行的，这正是笔者要介绍的第三种策略。
依然先用案例作直观介绍。
分数除以整数4/5÷2，有教师这样教学。
第一步：给出算式，布置任务；（如图10，同时提出算法和算理的要求）
图10
第二步：学生探究，合作交流；（学生自主探索，计算并用图示或文字说理）
第三步：展示反馈，得法明理。（学生介绍时，教师恰当引领，于是两种算法及算理清晰呈现，如图11所示）
图11
这样教学，即为“算法、算理同时探究，以法索理，以理寻法”。它的特点是探究任务布置明确（算法、算理同时要求），学生思维个性彰显（有的学生从算法出发思索算理，有的学生从算理出发探寻算法，算理表达亦形式多样，有图示、文字等）。而正因为任务的开放、思维的丰富和内涵的聚焦，让课堂显现出大开大合的独有气象。
不过，读者也应该认识到，如此设计的前提条件是所教学的运算内容，其算法或算理不能过于复杂，总体要处于学生的“最近发展区”，否则学生就会因挑战太大而无从下手。这也从侧面佐证了前文所介绍的“先算理，后算法“”先算法，后算理”这两种常用策略的价值。
这种教学策略，若与当前较为“流行”的运算教学模式作对比，也许还能带给教师们一些启示。例如，教学两位数乘两位数的笔算，很多教师这样教。
教师呈现情境，引出算式23×12，布置探究要求（图12）。
图12
展示学生的不同方法，确认结果；引导学生找寻方法间的关联，发现竖式的原理（图13）；教学竖式，落实算法……
图13
笔者不是很赞成这样教学，原因有二。其一，算理和算法不够清晰。“用自己喜欢的方法进行计算”，学生一定是有的写横式、有的写竖式。图 13 中，竖式④是算法，横式①是算理，那么②和③又是什么呢？它们为何不转化为竖式呢？其二，探究过程不够充分。竖式的算理，每一位学生都探究、表征过了吗？仅凭观察发现①和④之间的关联，学生就深刻理解算理了吗？凭借个别学生的“创造”就获得了竖式算法，算法形成的过程是否太过轻描淡写了？
笔者觉得，若按“算法、算理同时探究”的策略，该探究要求至少应调整为：（1）请列竖式进行计算，求出结果；（2）可以在图上画一画，或者自己写一写，说明计算的道理。（当然，本课教学用策略三并不是最佳选择）
综上，“先算理，后算法，用算理创造算法”是基于知识的内在逻辑，顺向推进，让学生自主发现算法；“先算法，后算理，借算法探究算理”是基于学生的现实学情，逆向展开，让学生深度理解算理；“算法、算理同时探究，以法索理，以理寻法”是以开放性和挑战性的任务，促使学生同步建构算理与算法。这三种运算教学的常用策略，特点不同，适用情况也不同，教学中可以根据实际情况灵活选用。
数的运算是小学数学中最多见、最普通的内容，但运算教学不是一件容易的事，因为它涉及很多理念、内涵、方法等。教师唯有形成高位认识和准确理解，才能合理地设计教学并实施教学，引领学生实现“明理、得法、提升能力”的学习目标。
要特别说明的是，本文的观点与策略虽然都来自于笔者的实践，但不一定正确和完备，期待广大教师在实践中予以检验或完善，也期待专家学者提出意见与批评。让我们共同努力，更好地推进运算教学研究和数学课程改革。
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