广州市2022学年上学期
第七周高三数学教研活动
面对“新课程、新教材、新高考”，为深入研究和精准把握新高考命题的指导思想和规律，提高高考备考效率和针对性，在广州市教研院数学科的指导下，2022年10月14日广州市高三数学教研活动如期举行，本次教研活动由广州市协和中学林冬梅老师主持，包括两个专题讲座，分别是广东广雅中学庄承州老师的《“双新”背景下立体几何与空间向量复习备考策略》和华南师范大学附属中学林琪老师的《新教材背景下平面解析几何复习备考策略》。两位老师提供了对立体几何和解析几何一轮复习更清晰的备考思路，给高三的数学备考提供了新思路新启发，也引起了高三教师对新高考更深度更全面的思考，大家都收益匪浅。
01
“双新”背景下立体几何与空间向量复习备考策略
立体几何与空间向量的关系，主要是借助空间向量的工具性，去解决立体几何问题，在这个过程中，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学学科核心素养。在实际操作过程中，首先，传统法与空间向量法如何取舍？庄老师的观点是，先思考传统法，假如行不通，再考虑向量法。因此，传统法与向量法在教学中应两方面同时加强。其次，也要多举一些体现空间向量法以及传统法必要性的问题；最后，面对一些综合性的问题时，鼓励同学们综合运用传统法与空间向量法以求高效解决问题。
庄老师首先总结了最近五年全国I卷的立体几何高频考点和分布，这些考点有以下特点：
（1）对立体几何概念考察频繁，如直棱柱、正棱柱、正棱锥、正四面体等概念要区分清楚并熟练掌握。
（2）外接球问题、平行与垂直的证明、几何体如圆锥正棱锥的元素计算、线面角、二面角等是高频考点
（3）考察趋近于灵活，如在选填部分开始考察空间向量法、在解答题第一问开始考察体积、点到面距离，这要求复习要全面、系统
（4）立几中蕴含的思想方法（空间问题平面化、直观想象、转化与化归等）很多，这需要教学中，在这些方面多强调多训练。
然后庄老师提出了立体几何复习备考的策略：
（1）首先加强立体几何中传统方法知识体系的打造；
（2）其次加强空间向量法知识体系；
（3）最后加强传统法与空间向量法综合运用的引导；
（4）加强对其它省份这方便考题的“见多识广”，体会不一样的处理方式，扩宽视野；
（5）关注新旧教材于空间向量内容的差异。
庄老师也对立体几何中比较重要也是难度比较高的一个专题---空间几何体的外接球和内切球做了总结，从八个方面做了分享：特殊几何体还原在正方体、长方体或正棱锥的外接球问题；直棱柱的外接球问题；出现面面垂直的几何体的外接球问题；利用线面垂直关系求体积；球的最值问题；利用球、其他几何体的轴截面解决问题；内切球问题；利用定义确定球心进而解决问题。
对于立体几何与空间向量的关系，庄老师建议，首先对传统方法梳理清晰，而后对空间向量法（基底法和建系法）也要掌握扎实，解决问题时，首先分析传统方法是否可行，其次再考虑空间向量法，最后面对一些难度稍大的问题，可以考虑综合运用传统法以及向量法，这样有利于高考解决问题.在这个过程中，要关注一些新增的内容，要深挖课本例题的教学价值，做出一些相应的改编、变式,以便夯实学生的基础，培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养。
02
新教材背景下平面解析几何复习备考策略
1.近三年来全国新高考Ⅰ卷中平面解析几何的考查情况
圆、椭圆、抛物线在每一年小题中都有考查，以基本概念与几何性质为主；解答题以椭圆、双曲线、抛物线综合知识为背景，主要考查弦长、面积、角度、存在性、定值定点、直线的斜率问题，其中2021和2022年都考查了圆锥曲线综合问题中直线的斜率问题。
2.平面解析几何在全国新高考Ⅰ卷中的地位和作用
《中国高考评价体系说明》指出：中国高考评价体系梳理了各要素之间的逻辑关系，遵循正确的研究方向、目标和科学的路径、方法，创造性地提出高考命题理念从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变的理论基础与方法论基础。
《普通高中数学课程标准（2017 年版）》明确指出：平面解析几何的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
3. 平面解析几何复习如何开展
解析几何试题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题目对推理论证能力要求高，虽然解析几何中有一些基本问题，但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，需要考虑对条件进行适当的转化。
解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质；解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性．解析几何对学生良好的学习习惯的养成提出较高要求，对自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算的能力也提出较高要求。
高三复习不是对已学知识的简单重复和强化，而是一个再学习、提高综合运用能力的过程。对于高三平面解析几何的复习课，建议的做法是:以情境为载体，问题为线索，可视化为手段，促进学生主动建构知识网络，建立解析几何解决路径。
高三对解析几何的备考策略包括：
（1）追本溯源，寻整体结构：高考试题的命制源于教材，又高于教材，每年各地的高考试题中都有许多熟悉的面孔，它们与教材例题、习题相似。在复习备考时，我们应引导学生追本溯源，认真研究教材例题、习题，重视教材的核心价值。在立足教材的同时，也要活用教材，不拘泥于教材。高三复习回归教材，但不是简单的“回放”，而是对教材的再次开发，是对知识、方法、思想的再理解、再提高、再升华，注重知识点之间的关联，搭建完整知识体系。
（2）建结构，分析几何代数的合理表征：解析几何的核心观点就是恰当运用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合思想，核心方法是坐标法.如可引导学生梳理常见的几何条件代数化策略。
（3）用结构，变结构，用创新的视角解决问题：解析几何主要涉及的核心素养——直观想象、逻辑推理、数学运算等，解析几何中涉及到数学运算（运算对象、运算法则、运算思路、算法选择、运算结果）的多元处理．依循套路：看到解析几何综合题，生成常规方案。转换视角：当实施第一方案遇到障碍时，我们的策略是什么？在解题的过程中，需要指导学生学会：选择合适的“主变量”：很容易找到该变量与其他变量的关系；对条件 / 结论进行代数化“翻译”时，关注变量的个数 → 能列的(独立)等式 / 不等式的个数；分清哪些变量要最终求出(或求出关系式)，哪些只是临时变量；灵活消元(或直接利用变量之间的关系减少设元)， 控制和快速减少变量个数。
所谓试题的创新，本质上是视角的转换。我们的复习就是要用创新应对创新，用转换适应转换。在试题创新背后，一定存在着稳定的东西，这东西无非是：将原问题推广或者把条件与结论互逆；将一个领域中的问题移植到另一个领域；改变设问方式；设置预备定理、临时定义或者借助图象，使“超纲”问题合法化，等等。命题者通过这样的手续，使套路得以规避，使难题得以生成。备考者呢？就得沿着命题者的思路回到原点，即实现视角的转换，用转换适应转换。
林老师还提供了六个不同的典型的案例，对解析几何复习的开展提出了很多精彩的见解，也就如何进行解析几何难点突破进行了经验介绍。
越秀区教研总结
首先是由广雅中学的庄承州老师作《“双新”背景下立体几何与空间向量复习备考策略》的报告。庄老师指出，立体几何与空间向量的关系，主要是借助空间向量的工具性去解决立几问题，在这个过程中，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学核心素养。庄老师从高考立体几何高频考点及其分布、复习备考的策略思考两个方面进行详细展开，并且就在教学中如何平衡传统法和向量法给出了切实可行的宝贵建议。
紧接着是由华南师范大学附属中学的林琪老师作《新教材背景下平面解析几何复习备考策略》报告。林老师从近三年来全国新高考I卷中考查情况统计、平面解析几何在全国新高考I卷中的地位和作用、平面解析几何复习如何开展这三个方面进行展开。其中，在如何进行平面解析几何的复习这一板块，林老师给老师们展示了不同的案例。并且就案例1进行了6个联想，让老师们大开眼界，对于轨迹问题有了更深层次的理解。同时，林老师也就如何进行解析几何难点突破进行了经验介绍。
天河区教研总结区
今天下午我们备课组参加了主题为“双新”背景下立体几何与空间向量、圆锥曲线的备考策略的线上教研。庄承州老师就高考中的几何高频考点进行的总结，建议加强立几传统方法知识体系的打造，如体积的常用解题思路，几何法求共歼教的思路；其次是加强空间向量知识体系的教学；还要关注新旧教材对于空间向量内容的差异，加强对其他省份这方面的考题研究。
林琪老师先就解几在全国新高考1卷的地位和作用进行了分析，建议在复习中，要做到：
1）追本溯源，寻整体结构。
2）建结构，分析几何代数的合理表征。
3）用结构，变结构，用创新的视角解决问题 。
4）备课组老师收获甚丰。
海珠区教研总结
广雅的庄老师的发言《“双新”背景下立体几何与空间向量复习备考策略》突出传统法与空间向量法在解决问题时候的择优选择，通过大量课本习题、改编和高考真题展开发言，给出立体几何复习教学的建议，并提醒大家关注新增内容，深挖课本例题的教学价值，最后，庄老师对球的问题也进行了简单分析。
华附的林老师的发言《“双新”背景下圆锥曲线复习备考策略》抓住平面解析几何复习如何开展进行分析，林老师提出，高三复习不是对已有知识简单重复和强化，而是一个再学习、提高综合运算能力的过程，对于高三平面几何的复习课建议做法：以情境为载体，问题为线索，可视化为手段，促进学生主动建构知识网络，建立解决问题的路径。随后通过大量的案例进行知识的整合、难点突破等备考分析，为高三圆锥曲线教学的优化、不同视角观察问题、命题的变换转化等带来启发。
番禺区教研总结
各学校教研都很认真，高三教师对教研内容进行讨论、反思、学习，对新旧教材体系内容进行对比学习。华附的林老师进行《新教材背景下平面解析几何复习备考策略》的专题讲座。林老师从“近三年来全国新高考Ⅰ卷中考查情况统计”讲起，明确“平面解析几何在全国新高考Ⅰ卷中的地位和作用”，再通过例子具体地介绍“平面解析几何复习如何开展？”老师们边听边思考，对照任教学生的特点，如何在自己的高三备考与课堂教学中实施解析几何的教学，促进每一位老师的再思考，从而促进教学水平与方式的提高。
白云区教研总结
在讲座中，两位老师提到高质量备考的方法：一是确定每节课的目标，每节复习课学生必需学有所得；二是研究例题的题源及解题后的思考；三是基于学生视角备课及授课。感受最深的有两点：一是抓基础落到实处；对于生源一流的学校，仍然注重基础知识、基本方法的反复训练，数学基本思想的反复提炼和理解，对数学核心素养的培养始终放在第一位。这是对应新高考的方向的，特别有效。二是备考观念的更新，从以前的总结题型技巧，到现在的提升解决问题的能力。以前的备考侧重于对几类基本题型的总结归纳、反复训练，学生掌握了解题步骤，遇到熟悉的问题能按部就班解决问题。但新高考出题方式变幻莫测，练熟的题型不一定会考。因此只能以不变应万变，就是理解透概念，悟透基本数学思想，提高逻辑推理能力。
荔湾区教研总结
广雅的庄老师认为传统法与向量法在教学中应两方面同时加强，其次，也要多举一些体现空间向量法以及传统法必要性的问题；最后，面对一些综合性的问题时，鼓励同学们综合运用传统法与空间向量法以求高效解决问题。作为针对基础比较薄弱的学生，关注一些新增的内容，要深挖课本例题的教学价值，做出一些相应的改编、变式,以便夯实学生的基础，能规范解题方法步骤很重要。华附的林老师指出解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现曲线的特性。要强化作图意识，突出几何特征的探索，多角度思考问题，加强代数条件几何化的分析，也要把“几何”解析化成“代数”，但在运算中，要优化解题思路选择合适的算法。
花都区教研总结
广雅中学的庄老师对立体几何复习备考方面，建议立足教材，学会对传统法与空间向量法的取舍。强调：加强立体几何中传统知识体系的打造，对求体积、求空间角等问题的方法进行归纳总结；加强空间向量法知识体系的打造，主要涉及三种空间角问题及距离问题等，并建议要加强计算法向量的计算，特别是带参数的运算；传统法与空间向量法的综合应用，这两部分的结合应该是立体几何的精华，建议先充分结合图形思考传统的几何思路，再结合空间向量法把问题简化。
华附的林老师，非常强调对问题的变式，改变对象、结构、运算等加强对学生能力的培养，林老师建议在教学中在关注对圆锥曲线概念的理解，强化作图意识，突出对几何特征的探索，加强对代数条件几何化的分析。另处，林老师还特别强调解析几何中数学运算是难点，运算过程中要对运算的目标分析，差异同化，选择合适的运算方法。
增城区教研总结
广雅中学的庄老师给大家介绍了立体几何的备考策略。针对立体几何中证明线面位置关系，求线面角、二面角等题型提供了常规方法。特别是解答题中的传统法、基底法、建系法的各自特点与优势。平时的教学中也得关注新旧教材中空间向量内容的差异。紧接着，由华南师范大学附属中学的林琪老师对平面解析几何复习备考策略进行了分享。强调了解析几何在高考1卷中的地位与作用。分列6种案例对几何问题提供思考。几何是思考的起点，也是终点。我们要强化作图意识，作图是研究几何问题的基础，作图的过程是读题，审题，理解题意与探索接替思路的过程。几何代数化处理，加强代数条件几何化分析，解析几何中的运算值得重视，强化技巧处理。
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