广州市2022学年第一学期高二第七周教研活动
2022年10月14日（周五）下午，在广州市教育研究院数学科的指导下，广州市高二数学中心组精心组织了广州市2022学年第一学期高二第七周教研活动。本次教研活动采取线下线上相结合的教研模式，线下教研活动地点在广东广雅中学，由市高二数学中心组组长赖淑明老师主持，市高二数学中心组成员参与，线上教研由各区教研员负责组织，各区高二数学教师在所属网络点参与教研。本次教研活动内容有：广雅中学温丽老师作《选择性必修一第2-3章直线与圆、圆锥曲线的方程教学建议》主题发言，华南师范大学附属中学的申西芬老师作《新高考圆锥曲线的试题分析与教学建议》主题发言。
01
广雅中学温丽老师作《选择性必修一第2-3章直线与圆、圆锥曲线的方程教学建议》主题发言
（一）
《直线和圆》教学建议
温丽老师首先介绍本章主要内容及知识结构图，并分析了本章的基础知识、重点、难点及研究方法。
温丽老师接着针对具体的教学内容，进行新旧教材对比：
直线斜率的引入中旧教材利用生活实例“坡度”建立了倾斜角的正切值与直线上任意两点坐标之间的关系。新教材运用向量，结合正切函数的定义，获得倾斜角的正切值与直线上任意两点坐标之间的关系。新教材不受倾斜角是否是钝角的限制，显得更为自然。
对两条直线垂直与它们斜率之间的关系的探究，旧教材借助平面图形的分析，先找到倾斜角之间的关系，再推导出斜率之间的关系。新教材借助向量工具，把直线的垂直转化为直线方向向量的垂直，寻找直线斜率与直线方向向量之间的关系，通过垂直向量的坐标运算得出结论。新教材的推导过程可逆，直接把位置关系转化为向量的数量积运算，相对旧教材更简捷。
两点间的距离公式旧教材通过构造直角三角形，借助勾股定理获得，推导过程需要分类讨论。而新教材利用向量知识直接得到，简单快捷。
点到直线的距离公式旧教材给了两个证明思路，新教材给出了具体演算过程，但也指出运算量大，因此提出思考：能否简化运算？采取“设而不求”的策略，也渗透了齐次化的处理技巧。新教材还给出了用向量方法的推导过程，再次体会平面向量及其方法在研究几何图形性质方面的作用。
对于本章，温丽老师还提出，充分挖掘课本例题习题的价值，引导学有余力的学生进行探究的教学建议。
1.通过例题、练习、阅读材料等拓展知识
教材P67第11题：本质上是直线的点向式方程，即给定一点和直线的方向向量，即可确定一条直线；教材P68探究与发现：给出了直线的参数方程；教材P80第16题、P102第10题：共点的直线系方程；教材P88第5题：圆的直径式方程；教材P89第10题：圆的参数方程；教材P89第9题、P97例6：阿波罗尼斯圆；教材P98第7题、第8题：圆系方程。
2.通过例题、练习等渗透一类题的解题方法
教材P87例5、P89第8题、第9题：求轨迹方程的常用方法：直接法，定义法、相关点法（动点转移法）。
3.加强形与数的结合，对标高考
处理某些代数问题时，借助几何直观，以形助数，有助于代数问题的解决。数形结合一方面是几何图形的代数表达，一方面是代数表达式的几何直观，两者都不可或缺。
新教材的课后习题按难度和综合性分类，并且题目形式也多样。如课堂练习出现了多项选择题，和新高考相关要求一致；部分习题加强了类比推广等一般逻辑思考方法的引导，突出数学思想方法；还有部分习题渗透数学文化，难度不大但表达较为新颖。这些题目能拓展学生视野，激发其对数学学习的兴趣，是发展学生数学学科核心素养的有效载体。
（二）
《直线和圆》教学建议
本章的研究对象是圆锥曲线，数形结合思想与坐标法贯穿研究的全过程。椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的知识框架结构近似，研究路径一致，都是按照“几何特征——标准方程——通过方程研究性质——应用”的过程展开。
温丽老师提出以下几点教学建议：
1.注重单元教学设计思想，本章内容分为三个单元，以每一种圆锥曲线的几何特征、方程、性质和应用为明线，以坐标法和数形结合思想为暗线，以逻辑连贯、环环相扣的“问题串”为脚手架，设计系列化的学习活动。这种以单元整体设计思想为指导的设计思路，正切合新课标的要求。
2.以坐标法为核心和纽带，类比直线和圆的方程的探究过程，推导出圆锥曲线的标准方程。教学中要明确坐标法求轨迹方程的一般步骤。新教材中有很多求轨迹方程的题目，大家要引起重视。
3.重视对研究对象几何特征的分析，教学中注意先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解的基本思路，适当加强“挖掘代数关系的几何意义”的训练。
4.使学生正确理解解析几何中的运算，对学生而言，代数运算是学生得分的拦路虎之一，关键是把握解析几何中的运算特点。
5.用好教材中的例题、习题，其选编的原则是帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，教学中要使学生认识到教材中题目的重要性，必要时建议老师对题目进行适当的变式拓展。
6.发挥信息技术作用，为形成几何直观提供辅助，在圆锥曲线的研究中，对曲线的几何特征的直观认识是研究的第一步，但要画出这三种曲线以及相关的图形并非易事。教学时发挥信息技术的作用，注意利用动态几何软件，既为作图提供方便，又向学生展示动点的运动变化规律，引导学生观察方程中参数的变化对方程所表示的曲线形状、大小的影响，并通过信息技术软件探究图形之间的关系。
02
华南师范大学附属中学的申西芬老师作《新高考圆锥曲线的试题分析与教学建议》主题发言
申西芬老师分析了新高考圆锥曲线的试题特点、2022年新高考1卷圆锥曲线的题目、新高考圆锥曲线得分情况与原因，并对高二圆锥曲线教学提出了宝贵的建议。
（一）试题特点
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（二）2022年新高考Ⅰ卷圆锥曲线试题分析
第11题：本道题以抛物线为背景，主要考查抛物线的方程几何性质、抛物线与直线的位置关系、弦长、韦达定理、两点之间的距离、向量的数乘运算等知识。
第16题：本题以椭圆为背景，考查椭圆的第一定义、离心率和焦点弦、线段的中垂线和三角形全等等初中平面几何知识、弦长公式、极坐标、焦半径、余弦定理、勾股定理等知识点。考查学生的逻辑推理能力和运算能力，考查数学的转化与化归思想、数形结合思想，题目难度较大，有一定的区分度，是一道“硬骨头”。
第21题：本题以双曲线为背景，考查直线与双曲线的位置关系。涉及知识点：三角形面积公式、和（差）角的正切公式、点到直线的距离、同角三角函数求值、参数方程等，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，考查数学的转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想。题目难度较大，尤其是第一问直接决定本题得分。
（三）新高考圆锥曲线得分情况与原因分析
申西芬老师提供了2021年全国Ⅰ卷圆锥曲线得分情况供参考：
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学生得分背后的原因可能有以下的情况：没时间做、反常规、计算量大；不能快速将目标问题分解；几何与代数的自如转化困难；运算能力薄弱等。
（四）高二圆锥曲线教学建议
申西芬老师通过对近几年高考中圆锥曲线的试题分析，发现小题难度有所增加，解答题难度不够稳定，但解决圆锥曲线有关问题的基本思想和基本方法是稳定的。在高二教学中，教师重点要上好课，讲清楚知识的来龙去脉，定义，概念，性质，应用，基础牢固方能走的更远。在教学中解析几何解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法。在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸；注意转化条件，优化解题方法。教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。解析几何题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题目对推理论证能力要求高，所以在教学中，要在狠抓落实上下功夫，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧训练，要做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算。本章的教学重点是提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
申西芬老师提出在教学中，建议夯实学生基础，重视概念理解，定义运用，性质推导，引导学生利用几何视角审题。本章需要专题强化，如离心率、轨迹方程、焦点三角形、中心三角形、三角形面积问题、定值定点最值问题、与向量结合的综合问题、与曲线的弦相关的问题等。教学中，依托教材，以点代面，适当拓展，如教材中出现焦半径（角度式）、参数方程、坐标系平移、仿射变换、光学性质等都需要给学生进行及时的补充。注重思维回路训练，多视角解题示范，建立最优“反射”，解题中重视思维回路建立与选择，运算方法的选择。
最后，申西芬老师提出圆锥曲线是高中教材的重点内容，也是高考的重点内容。新高考命题模式也在不断的创新和尝试，反套路，反刷题，反猜题让试题命制更灵活。新高考背景下圆锥曲线解答题的考查难度有所上升，这是趋势，也是挑战。谋定而后动，知止而有得，只有目标明确，确定思维回路，运算准确，才能赢得圆锥曲线。
03
广州市高二数学中心组组长赖淑明老师作总结
赖淑明老师充分肯定了两位老师的发言，两位老师的研究精、细、深。目前是"双新"实施的第三年，教材变了，高考题在变，我们在开始新一章节的教学之前，需要研究教材、研究高考，两位老师给大家提供了很好的示范：如何研究。温丽老师的研究包括新教材的课时要求、整体框架、新旧教材的变化等，老师们听完温老师的分享后再读教材和教参，一定更有体会。目前新高考实施了两年，申老师对考点的变化、考查形式的变化、难度的变化等做了深入的研究和对比，对老师们日后做高考研究很有启发。
赖淑明老师提出在圆锥曲线的教学中，有两个鲜明的特点：几何和代数综合运用，运算能力要求较高。老师们在日常教学中，要着重培养学生的几何直观和运算能力，从课堂着手落实学生的运算和答题规范。新教材倡导大单元教学，要重视培养学生思维，我们要教专家思维，而不是教专家结论。
新教材新高考对数学教学提出了新的挑战，作为数学老师我们需要付出更多，数学思维的培养对学生的发展是终生受益的，值得我们付出。
各区参加线上教研活动的老师，也收获满满。
海珠区
海珠区高二数学老师以学校备课组为单位认真准时参加第七周市教研活动。
在下午的教研会议中，温老师针对“直线和圆的方程”及“圆锥曲线的方程”讲解了教学建议。温老师首先讲解了直线和圆整章内容的框架，重难点和研究方法。再从具体章节分析核心内容以及新旧教材在设计上的一些区别，分析了新教材改进后的好处。温老师还提倡老师们充分挖掘课本例题习题的价值，引导学有余力的学生进行探究，发展学生数学学科的核心素养，强调教学过程中要重视对研究对象几何特征的分析。
申老师分析了今年新高考圆锥曲线相关题目的多种解法以及蕴含的数学思想，充分发散老师们的思维。还具体分析了今年考生在圆锥曲线模块中低得分率的原因。并从高考角度审视新高考对考生的要求，给出了圆锥曲线在高二教学中具体的教学建议。
黄埔区
温老师对比新旧教材中第二章直线与圆，第三章圆锥曲线的教学设计，从教材编写、课时安排的变化、例题的增删变化、习题的拓展等多个角度进行分析，最后给出了这两章的教学建议。申老师就圆锥曲线的新高考试题进行深入剖析，给出了多种解法，让我们了解了近三年的圆锥曲线高考题目考查的变化：考查的曲线从侧重椭圆变为侧重双曲线，也给出了具体的教学建议。
本次教研为我们接下来的教学工作作出了良好的示范和引领，大家深受启发。所有数学老师都认真观看和聆听了两位老师的讲座。两位老师的研究与分析，让我们未来的教学思路更清晰，方向更明确。
增城区
广州市广雅中学温丽老师主讲“直线与圆、圆锥曲线的方程教学建议”，本章采取了坐标法研究直线、圆及其相关问题，它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的思想。新教材给出了直线斜率与直线方向向量之间的联系，为后面的内容提供了便利。在解析几何中把研究的图形称为曲线，曲线与方程之间一一对应的关系是解析几何的基石。我们要充分挖掘新教材例题和习题的价值，引导学有余力的学生进行探索，以坐标法为核心和纽带，发挥信息技术作用，为几何直观提供方便。
华师附中的申西芬老师主讲“新高考圆锥曲线的试题分析与教学建议”，她总结了八省联考、2021年新高考1卷和2022年新高考1卷的题型和考核内容、关键能力。她详细分析了2022年新高考1卷圆锥曲线第21题，该题目以双曲线为背景，考查直线与双曲线的位置关系。涉及三角形面积公式，和差角的正切公式。申西芬老师共提出了7种具体的解法！方法之多，令人感叹！然后她又对该题目进行了推广，得到了5个推广的结论！对于第（2）问，申西芬老师提出了3种不同的解题思路，她认为第（2）问跟2009年辽宁高考题目、2011年全国数学竞赛、2020年新疆预赛的解析几何题有类似的地方，可见申西芬老师对该题目研究非常的深入！这种钻研的精神非常值得钦佩！解析几何存在的问题是学生没时间做，反常规，计算量大，不能将目标快速分解，代数与几何的转换存在困难。她结合自己的教学经验，给出了具体的教学建议！既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注重灵活应变。
通过本次教研，我们收益很大！我们将把所学到的知识应用到教学中，切切实实提高解析几何的教学质量！
白云区
温老师对新旧教材进行对比，从内容、教学目标的不同，提出以坐标法为核心和纽带，重视对几何特征的分析，使学生正确理解解析几何中的运算，用好教材中的例题、习题，发挥信息技术作用等教学建议对教学有很好指导作用。听了申老师《新高考圆锥曲线试题分析及教学建议》的报告，我们对圆锥曲线的教学有了新的理解，随着新高考的到来、新教材的使用，圆锥曲线这块内容对学生来说运算是无法跨越的鸿沟，纯代数运算无疑加大了学生学习数学的困难，在教学过程中要有意识渗透几何性质在解决圆锥曲线问题中的应用。对于学生而言，找不到问题的本质是无法解决问题的主要原因，在教学中更应该注重数学本质而非过多去强化解题技巧与方法，通性通法、知识之间的关联、知识脉络的构建是我们努力的重点，在备课中，要有大单元的意识，先认真研读教材，聚焦学生对概念、定理公式的理解，数学思想的应用等。
荔湾区
荔湾区高二数学老师以学校备课组为单位认真准时参加第7周市教研活动。整个教研活动过程中，网络信号稳定，声音清晰，视频流畅，老师们按时签到签退并填写调查问卷。
本周教研内容精彩纷呈，紧扣“双新”。先是广雅中学温丽老师给我们带来的专题讲座，《第二章直线与圆、第三章圆锥曲线的方程教学建议》。温老师深度解读了这部分教学内容，通过与旧教材的章节例题、练习的横向对比，基于单元课时教学设计的理念，进行重新解读。讲座启发了我们，帮助我们梳理了教学脉络。我们要充分利用好教材上的素材，进行二次加工。接下来我们认真学习了华师附中申西芬老师带来的教研主题《新高考圆锥曲线的试题分析与教学建议》。申老师也提出了相应的教学建议。依托教材，以点代面，适当拓展，在高二教学中，教师重点要上好课，讲清楚知识的来龙去脉，定义，概念，性质，应用，基础牢固方能走得更远。在教学中解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法。在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸，教材中的例题、习题，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通；注意转化条件，优化解题方法。在教学中，要在狠抓落实上下功夫，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼，要做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算。两位老师的讲座都强调了立足教材，研读高考题，以点带面，适当拓展。这给予我们基层教学更清晰的方向指引。
花都区
10月14日下午，由于疫情原因，花都区很多数学老师在封控区内，老师们在积极配合防疫工作的同时，认真学习，均有很大的收获。
广雅中学的温丽老师，就新教材中的解析几何部分做了详细的分析。其中充分挖掘课本例题、习题的价值，非常细致地分析了教材例题、习题中、阅读材料等隐藏的知识点，拓展一类题的解题方法，加强形与数的融合， 让老师们受益匪浅，也值得老师们进一步详细研究。
华师附中的申西芬老师就2022年高考圆锥曲线的试题，给老师们分析了新高考圆锥曲线的试题考查特点及教学建议。申老师给出了2022年第11题、16题、21题的各种不同的解题思路，分析了每种思路的优点、缺点，在指导老师教学时更是建议大家重视课堂教学，要在狠抓落实上下功夫，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼，要做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算。
从化区
今天从化区高二数学老师按备课组集中在各自学校进行网络教研，老师们都积极准时参加。整个教研过程网络基本顺畅，声音清楚，画面清晰，PPT字体大小合适，整体效果非常不错。老师们听得认真，并且能坚持到最后。
广雅的温丽老师作了《选择性必修一第2-3章直线与圆、圆锥曲线的方程教学建议》，华附的申西芬老师作了《新高考圆锥曲线的试题分析与教学建议》。两位老师对新教材新高考研究透彻，有深入的对比分析，给我们提出了非常好的教学建议。为我们进行新教材的研究指明了清晰的方向。老师们深受启发，非常有助于接下来的圆锥曲线内容的教学。所有内容的资料已发给老师们做进一步的学习和研究。
越秀区
这次教研首先是广雅中学的温丽老师的选择性必修一第二章直线与圆、第三章圆锥曲线的教学建议，温老师在斜率公式、点到直线的距离公式等公式的推导过程作了新旧教材的对比，指出向量作为工具会对简化计算带来很大的帮助，同时也引用了单元课时设计理念建议大家从新教材的例题、课后习题出发，重新整理成小专题，渗透一类题的解题方法；同时充分挖掘课本例题、习题的价值，引导学有余力的学生进行探讨，高效率的使用教材，并对很多具体的问题如椭圆的定义，几何性质等的教学都提出了具体的、可操作性强的教学建议，对我们有很大的启发。
然后是华师附中的申西芬老师带来的《新高考圆锥曲线的试题分析与教学建议》，我们在申老师对2022年新高考1卷16、21题一题多种解法所呈现的五彩缤纷的思维海洋中敖翔，感觉收获良多，同时在思考哪一种解法适合我们自己的学生呢？从申老师展现的往年学生在此模块得分的数据来看，除了在感叹学生在此模块得分难以外，作为一线教师的我们情不自禁地在思考如何教这模块，才能提高得分，最后申老师给出了教学建议：夯基础，专题强化，依教材，以点代面，适当拓展，注重思维回路训练，优化运算方法。
转自：“广州市中学数学教学研究会”微信公众号
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