应用动态几何软件实现勾股定理的直观证明
——对新课标例82的解析与思考
文 | 孟宝兴 王丹华
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）强调促进信息技术与数学课程融合，重视大数据、人工智能等对数学教学改革的推动作用，改进教学方式，促进学生学习方式转变。教师应利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，帮助学生理解数学概念，建构数学知识。新课标附录1中有一个关于动态几何软件的使用案例——例82勾股定理的直观证明。该案例是应用动态几何软件辅助数学教学的典型案例。该案例展示的勾股定理是新课标规定的课程内容，旨在引导学生学习图形平移和图形旋转等知识，探究这两种图形变化也都是新课标规定的课程内容。该案例是借助信息技术，应用数学知识解决数学问题的典型案例。笔者对该案例的实现进行详细解析，望利于教师理解新课标，明晰信息技术应用于数学教与学的路径与策略。
一、借助动态几何软件
直观证明勾股定理的案例概述
勾股定理的直观证明（例82）是新课标给出的应用数学专用软件教学的示范性案例，是初中数学“图形与几何”中“图形的变化”知识模块中的重要课例。教师借助动态几何软件直观证明勾股定理，有利于学生感悟图形轴对称、旋转、平移变化的基本特征，同时有利于学生掌握勾股定理。GeoGebra是一款开源的动态数学软件，具有数形结合、动态交互等特点。教师利用GeoGebra可以很好地实现全部的动态演示，对勾股定理的直观证明（例82）进行各种方式的优化设计：仅使用平移变换的方式；仅使用旋转变换的方式；旋转变换和平移变换分别控制的方式。除几何绘图外，GeoGebra动态交互功能的应用也是实现勾股定理直观证明的关键。GeoGebra的动态交互功能主要通过动点和滑动条实现。师生使用动点功能可以实现对单一动点的动态可视化，使用滑动条功能可以实现可变参数的动态可视化，将两者配合使用可以解决数学中的多动点问题及其他复杂动态问题。
新课标对该案例有详细说明，给出了应用动态几何软件GeoGebra实现其演示效果的文字说明（如图1）和4个图示（如图2）。
图1 新课标关于例82的介绍节选
图2 新课标中例82的4个图示
笔者研读文字说明，发现该案例的交互功能主要体现在：利用动点Q控制三角形的形状；通过滑动条控制旋转动画和平移动画。
笔者观察图示，发现该案例中3个动态三角形的变化方式分别为：左上角三角形逆时针旋转90°；右下角三角形向左平移一个向量QS；左下角三角形的变化最为复杂，兼有顺时针旋转（90°）和向左平移（一个向量QS）。
为帮助学生理解GeoGebra在初中数学，尤其是在“图形的变化”教学中的应用，笔者在辅助教学之外，引导学生应用信息技术开展自主学习，让学生探究图形变化与数量变化的关系。下面，笔者介绍如何利用GeoGebra对勾股定理（例82）进行直观证明。
二、勾股定理的直观证明的实现过程
（一）创建基础点
GeoGebra中创建点有两种常用方法：利用描点工具创建；直接输入坐标表达式。
对于该案例，笔者先利用描点工具创建两个x轴上的点S、R，再利用线段工具创建一段线段c=SR，最后利用描点工具创建线段上一点Q，分别创建线段f=SQ、g=QR（如图3）。
图3 用描点工具创建点与线
接着，笔者采用输入坐标表达式的方式创建其他点：A=S+(0,g)，B=S+(0,c)，C=B+(g,0)，D=B+(c,0)，E=R+(0,f)，通过坐标计算方式得到动态点（如图4），其中A、B、C、D、E随着S和R的变化而变化，A、C、E又会随着Q点的变化而变化。该案例中Q为关键动点，其便捷的创建过程体现了GeoGebra动点交互优势。
图4 用输入坐标表达式的方式创建点
（二）创建静态三角形
借助GeoGebra创建多边形的方式有两种：利用多边形工具创建；利用多边形指令创建。两者操作难度相当，但用指令的方式比用工具的方式更有优势：可以实现指令嵌套，从而在实际作图中不创建基础点亦可完成对象创建。
在完成基础点创建的情况下，教师可以直接使用多边形工具完成4个三角形的创建（如图5）。笔者选择多边形工具后，依次点选A、S、Q、A完成三角形t1（△ASQ）的创建，其他3个三角形创建方法一样。笔者将其名称分别命名为t2（△ABC）、t3（△CDE）、t4（△EQR）。
图5 用多边形工具创建三角形
（三）创建滑动条
该案例的演示要实现△ABC逆时针旋转90°与△CDE构成一个矩形，△ASQ顺时针旋转90°且平移向量QS，△EQR平移向量QS。平移和旋转需要同时控制，为此笔者创建一个滑动条参数，利用滑动条参数计算得到动态旋转角度、动态平移向量。
如果一个参数需要多次使用，教师可以创建滑动条设置最小值为0，最大值为1，增量通常设置为0.01。如不设置增量，默认为0.1。滑动条增量值设置不合理会影响滑动条调节时的动态显示效果。
该案例中，滑动条需要多次使用，笔者选择滑动条工具后，在需要放置滑动条的位置处单击鼠标，等弹出滑动条创建的对话框，输入名称a，最小值为0，最大值为1，增量为0.01，完成滑动条的创建。
（四）创建动态三角形
动态三角形是由静态三角形旋转、平移得到的，教师可以使用旋转工具或旋转指令实现旋转，使用平移工具或平移指令实现平移。此外，还可采用通过多边形的顶点坐标进行解析计算的方式，来实现图形的旋转和平移。
笔者利用旋转指令旋转△ASQ和△ABC（如图6）。这里选择使用指令而不是工具，指令可以嵌套进旋转角度的计算。具体指令如下：l1=旋转(t1,-a 90°, Q)；l2=旋转(t2, a 90°, C )。
图6 用旋转指令旋转三角形
笔者利用平移指令平移△EQR和集合l1（如图7）。这里同样选择使用指令而不是工具，指令可以嵌套进平移向量的计算。具体指令如下：l3 = 平移(t4, 向量(a 向量(Q, S)))；l4 = 平移(l1, 向量(a 向量(Q, S)))。
图7 利用平移指令平移三角形
（五）调整显示效果
教师用GeoGebra制作课件，在课件完成后需要隐藏辅助对象，还需要调整对象的颜色、线的类型、点的类型等，以达到最佳显示效果。
该案例中，除点S、点Q、点R、三角形t3及l2、l3、l4外，其他对象均为辅助对象，均需要隐藏。对于点S、点Q、点R而言，设置好点的类型、点径、颜色即可。对于三角形t3及l2、l3、l4，教师需要设置好线的类型、线径、颜色、透明度等参数（如图8）。
图8 调整显示效果
与新课标例82原图对比，图8中缺少一个基础的正方形。如何显示线框？笔者借助软件显示线段c，另增加上3条线段BS、BD、DR，即补上正方形（如图9）。
图9 补充正方形线框后的效果
为达到与新课标例82图示一样的效果，笔者为6条线段和滑动条a修改标题，刷新后再显示。至此，对勾股定理的直观证明完全实现（如图10）。
图10 最终呈现的效果
三、进一步探索
如何实现对勾股定理的直观证明
为实现该案例中的图形变化，笔者用了平移和旋转两种基本方式，而△ASQ的变化需要两步完成。教师借助GeoGebra采用指令嵌套的方式可以一步实现，但这对初中生理解能力要求较高。对于该案例，笔者还采用了单一变换或分别控制变换的方式实现勾股定理的直观演示。
（一）仅使用平移变换的方式
笔者应用软件对△ABC、△ASQ、△EQR进行平移（如图11）：将△ABC向下平移，使A点与S点重合；将△ASQ按向量AC平移，使A点与C点重合；将△EQR仍然向左平移，使Q点与S点重合。
图11 仅使用平移变换方式的演示效果
（二）仅使用旋转变换的方式
笔者应用软件对△ABC、△ASQ、△EQR进行旋转（如图12）：将△ABC绕点C逆时针旋转90°，使A点与E点重合；将△ASQ绕O1逆时针旋转90°，使A点与S点重合；将△EQR绕O2逆时针旋转180°，使E点与S点重合。
图12 仅使用旋转变换方式的演示效果
对于旋转中心O1、O2可采用倒推的方式求解（如图13），即选择三角形任意两个顶点原始位置和最终位置进行连线，作其中垂线，两条中垂线的交点即为旋转中心。制作课件时，笔者直接采用点坐标计算的方式快速作点O1、O2的位置，其中O1=S+(g/2, g/2)，O2=S+(c/2, f/2)。
图13 求解旋转中心
（三）旋转和平移分别控制的方式
为实现对旋转和平移的变换分别控制，笔者先后创建两个滑动条，旋转滑动条a，设定最小值为0°，最大值为90°，增量为1°；平移滑动条a，设定最小值为0，最大值为1，增量为0.01。
笔者首先对△ABC、△ASQ进行旋转（如图14）：△ABC绕C点逆时针旋转α,使点A最终与点E重合；△ASQ绕Q点顺时针旋转α，使点A最终与点E重合。
图14 旋转效果
然后对△ASQ旋转得到的△EQR进行平移（如图15），平移向量均为向量QS。
图15 先旋转后平移的效果
采用旋转和平移的变换分别控制的方式进行直观证明时，旋转和平移互不干扰，可分别控制，不区分先后顺序。
四、总结
（一）GeoGebra可辅助教师开展数字化教学
新课标要求教师合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革。教师在解决实际问题中，创设合理的数字化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。GeoGebra作为一款开源的数学软件，在全世界有数以亿计的教师和学生使用。教师通过其官方网站检索丰富的数学资源，可以直接用于教学；也可以对资源进一步进行个性化加工，使其更契合教学需求。教师使用GeoGebra主要场景有课堂作图、课件制作、试卷制图、数学研究等。课堂作图指教师利用GeoGebra快速作图代替传统课堂中黑板上的尺规作图，并完成一些诸如函数图像、圆锥曲线等复杂内容的快速绘制；课件制作指教师在备课阶段根据教学设计的需要，利用GeoGebra制作精品课件，在课堂教学中进行动态演示、辅助讲授；试卷制图指教师用GeoGebra完成图形绘制，导出高清位图或矢量图，满足自制试卷、教案、课件中的精确作图需求；开展数学研究指教师用GeoGebra绘制复杂的数学图形，帮助解决数学问题。
（二）GeoGebra可支持学生自主探究学习
新课标反复提及教师应丰富、变革教学方式，促进学生自主学习。新课标建议教师指导学生做好时间管理，规划学习任务，利用数字化平台、工具与资源开展学习活动，加强自我监控、自我评价，提升自主学习能力。GeoGebra平台的交互课堂功能已上线：教师可以将自己制作的资源（包括课件、文档、视频、音频、笔记、问题、网页、文本等内容）发布到课堂中。学生打开课程链接或输入课程代码即可进入课堂，进行操作，如利用课件进行自主探究，教师可实时查看学生的操作情况。GeoGebra交互课堂功能的应用为教师开展探究数学教学提供了技术支持，便于师生使用GeoGebra课件资源和相关在线服务。
注：本文系2018年度湖南省教育厅科学研究项目“‘互联网+’背景下师范生教育技术应用能力培养路径研究”（编号：18C0676）的课题成果。
（作者孟宝兴系衡阳师范学院教师，西北师范大学在读博士；王丹华系衡阳师范学院教师）
文章来源 | 《中小学数字化教学》2022年第9期
转自：“ 中小学数字化教学”微信公众号
如有侵权，请联系本站删除！
