面向未来，初中数学要教给孩子什么？

如何才能学好数学？这是令不少学生感到困扰的难题。一些学生认为多刷题就一定能取得好成绩，好成绩就等于学好数学，甚至因此陷入“只刷题”的思维误区。随着新课程标准的颁布，我们能看到，数学学习越来越注重思维和素养，应试的方法也越来越难见效。这启示我们要更多地关注数学的本质，而非数学的外在表现。数学的本质是什么？我想，是从一些大家公认的约定出发，通过逻辑推演的方式逐层递进，不断总结模型、给出新定义、发展出新的数学工具，进而探索出更多性质。逻辑，始终是数学的内核。

在数学学习中，逻辑不清会有什么表现？面对同一道题，有的学生列了五行式子就能得出正确答案，有的学生则需要用十几、二十几行才能得出结果。观察前者的卷面，他们从已知条件出发向外发散时，路径清晰、思维连贯，而后者往往路径散乱、很难归拢。按照采分点看，两类学生都能拿到满分，但显然前者的逻辑思维能力更强。实际上，逻辑思维差，很难学好数学。与此同时，数学学习又是训练学生逻辑思维的有效途径。

一、初中数学要教给孩子什么

“老师，将来我又不当数学家，现在学的很多知识都用不上，学它有什么用？”常有学生来向我诉苦。不光学生这样想，一段时间内社会上也不乏“数学无用论”的声音。成为一名数学教师不久，我就在思考应该教会学生什么，只是让他们听懂知识、做对题吗？这显然不能应答学生的上述困惑。长久以来，很多机构铺天盖地宣传题型总结，鼓吹要熟练掌握某些固定的“套路”，这或许的确有助于学生提分，但从长远看记住某类题目的具体解法意义并不大。

当学生面对不在总结范畴内的题时，该怎么办？升入高中后题型更复杂、多样，又该怎么办？数学的具体题型永远无法穷尽。正如每个人生命中势必会遇到各种未曾有过前置经验的问题，真正的问题永远绕不开。如何基于现有条件和身边资源，通过一步步的行动解决那些真问题，是每个人必须思考的课题。意识到这一点后，我明白数学教学并非知识教得越深越好，也并非题型提炼得越多越好，重要的是使学生通过学习找到知识背后的本质，拥有从已知条件出发，通过严谨判断推导出未知结论的思维方式。

相较于其他阶段的学习而言，初中数学是训练学生逻辑思维的绝佳“演练场”。这一阶段的数学知识相对小学较深，需要学生调用更多的学科思维，相对之后的学段又不算太难，处于大多数学生的学习拉伸区。在日常教学中，我期望引导学生习惯追问从“0”到“1”的过程，鼓励他们在推演中找到正确路径。为了评估学生的逻辑思维能力，我将“讲出思路”“写出依据”作为日常训练的重要方式。通过有意识的思维锻炼，学生能逐渐树立一种信念：即便面对陌生的情境，凭借严密的逻辑推理、逐步推导，最终也能得出所需结论。

二、基于逻辑的初中学习法则

新课教学：引导学生经历思维转换、习惯刨根究底。对于不少初中数学教师而言，初一是最“难”的一年。“难”点不在于要讲授的知识有多深奥难懂，而是如何帮助学生转变思维。很多学生习惯了以算数的方法解题，不明白为何要用字母代替数字，存在很多理解障碍。例如，通过审阅作业，我注意到不少学生难以理解“代入”这一概念。以方程x+y=1为例，它可以被转化为y=1-x，若我提出将此形式代入3x+y=9中求解时，一些学生会产生疑惑：“这已经是一个等式了，再代入不就得到两个等号了？难道一个式子里出现两个等号就是代入吗？”为了使学生能理解这一新概念，我会让他们通过自己的探究、辨析，真正理解何为“代入”。在类似的追问和亲身实践中，他们才能真正理解。若是直接要求他们通过训练熟悉什么是“代入”，要求他们机械地建立起一种知识联结，那么在高中阶段学习“映射”时，他们依然会遇到理解上的障碍。比如不少学生在高中数学学习一开始就会被f（x）这种表达式所困扰，他们本就难以理解f（x）是一个整体的函数表达式。若在初中阶段又没有真正理解代入的本质是将新表达式中的某个部分替换为原来的表达式，在看到f（x+1）时，就更难以理解这表示要将x+1作为一个整体代入函数f中进行计算。

可以说，初一的数学学习是整个初中乃至高中数学学习的基石。自初一起，教师就要注重引导学生在学习时建立起思考问题本质的习惯。进入初二、初三，学生已经具备一定的知识储备，教师依然要启发学生刨根究底地理解知识。比如在学习全等三角形时，学生会接触到SAS（边—角—边）和SSS（边—边—边）等判定定理。虽然教科书通常将这些定理作为公理来使用，从而简化了理解过程，然而，有些学生会疑惑：为什么三条边相等的三角形不能拼成其他形状？有学生会尝试用木棍进行实验，发现确实只能拼成一种形状，但内心仍会存疑：这是因为自己能力不足，还是确实再无其他可能？这种疑惑会进一步促使学生思考：如何证明三条边相等时，三个角也必定相等？在探究过程中，他们可能会逐渐理解，几何学需要建立在一套公理化体系之上，即先承认某些基本事实是正确的，而后基于这些事实进行推理。这一追本溯源的过程，实际上与《几何原本》的探究历程相近。如果有学生对这些公理持怀疑态度，那么可能还会发现其他不同的几何体系，比如大学阶段才会学习的非欧几何。对于感兴趣的学生来说，探索的种子已悄然种下。

复习课教学：鼓励学生不断试错、拓宽思考路径。很多时候，复习课往往会陷入题型总结的怪圈，然而题型常有创新，每道题的具体“参数”也不尽相同，重要的始终是让学生知道如何迈出解决问题的第一步。以几何题辅助线的绘制为例，一旦辅助线被正确地画出，绝大多数原本无法解答的问题便能顺利解决。难点在于，他们往往想不到在何处绘制辅助线。同样，代数题的答案中常会提到设定一个新的函数，而后将某一部分变形，或者将某一部分整体代入，进而能推导出相应的结果。更为关键的依然是，如何想到采取这种处理方式？缺失了这部分“中间环节”的学习，很难被称作真实的学习。

教师在讲题时，关注的重点不应是识别某种特定的题型、选择相应的解法，而是从无到有的思考过程。学生要想实现从“0”到“1”的突破，离不开不断试错。他们可能会尝试各种不同的路径，当发现某条路径无法得出推论时，就要重新规划思路；若能从题目的已知条件推出多个结论，应能从中理顺思路，准确判断可借由哪些结论得出想要的推论。若想尽早作出准确判断，学生就必须提升逻辑思维能力，在不断推演的过程中，逐渐确立恰当的逻辑框架。试错的过程或许比得出正确答案更重要。有时学生在看到答案后觉得自己会做了，其实还可以启发他们进一步反思：如果不采用这种解法，还能怎么做？这样才能帮助他们实现进一步的思维进阶。

进入初三后期的复习阶段，学生大多已经基本建立起自己的知识网络，解答每道题就像是在调用自己的逻辑框架去处理不同的参数，此时的教学重点是让他们反思自己的推理逻辑，不断地进行迭代优化。同时，不同个体思考问题的方法各异，师生之间可以相互分享各自的知识体系所训练出的逻辑框架，介绍彼此在遇到问题时如何想到第一步、如何扩展思路、如何归纳总结，直至最终解决问题。在交流中，师生间、生生间都可以相互借鉴思路或探索更多解法，被采纳的学生会因此感到满足，认为自己构建的框架具有实际效用，不断产生积极的反馈，从而享受数学学习的乐趣。

在数学教育中，教师应基于逻辑设计教与学的过程，唯有如此，学生才能真正以不变应万变、接近数学的本质，收获终身受益的能力。

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