“进位加法和退位减法”是苏教版教材一年级下册第一单元的教学内容。这里所说的“进位加法”通常是指得数超过10的一位数加一位数，而相应的减法则称为“退位减法”。这些内容习惯上亦称“20以内的进位加法和退位减法”。在本单元之前，学生在一年级上学期已经学习过10以内数的认识和加减法、11～19 的认识、不进位的十几加几、不退位的十几减几，这些都是学生理解和掌握“进位加法和退位减法”算法和算理的重要基础。同10以内加、减法一样，本单元教学的进位加法和退位减法，既是学习多位数计算的基础，也是进一步学习其他各领域内容必备的基本技能之一。在多位数加、减法的计算过程中，都要分解成一位数的加法和相应的减法。多位数加、减法能不能计算正确、迅速，在很大程度上取决于一位数加法和相应减法的熟练程度。在多位数乘、除法计算过程中，也经常用到加、减法。通过实践与调查，导致学生计算多位数乘、除结果错误的原因，多数是由于在计算过程中，相加或相减的环节发生了错误。因此，切实掌握这部分内容，对学生今后的学习和发展有着十分重要的意义。
为了帮助学生充分经历进位加法和退位减法计算方法的探索过程，在理解算理的基础上掌握计算方法，并给他们提供必要的练习和应用所学计算的机会，教材立足单元内容，进行整体设计，通过适当整合知识和方法，实现内容的结构化。教材分四段安排这部分教学内容。其中，第一段教学 9 加几与相应的减法，主要引导学生在探索和理“凑十法”和“平十法”“破十法”等计算方法的过程中，体会数与运算的一致性；在利用加减法之间关系进行推算的过程中，体会“想加算减”的简捷性。第二段教学 8，7 加几与相应的减法，主要引导学生把 9加几和十几减 9的计算方法主动迁移到 8，7加几和十几减 8，7的计算中来，丰富对计算过程的体验，培养灵活选择算法的意识，提高正确进行口算的能力。第三段教学6，5，4，3，2加几与相应的减法，主要引导学生将之前的学习经验进一步加以迁移，不断优化计算方法，提高计算水平。第四段组织本单元内容的复习，侧重帮助学生通过回顾与整理、练习与应用、探索与实践、评价与反思，优化知识结构，进一步掌握相应的计算方法，形成运算能力。在上述过程中，教材还注意引导学生及时应用所学的计算解决简单实际问题，感受所学计算的应用价值，发展初步的应用意识。
通过本单元内容的教学，旨在使学生能结合具体情境理解进位加法和退位减法的计算方法，会正确进行口算，并逐步达到一定的熟练程度；在探索进位加法和退位减法计算方法的过程中，通过观察、操作、比较、分析和交流等活动，感受算法的多样化，培养思维的灵活性和独创性，知道算法背后的算理，感受进位加法和退位减法之间的联系，体会数与运算的一致性，发展初步的运算能力。同时，在帮助学生经历应用所学知识解决简单实际问题的过程中，积累一些发现和提出问题、分析和解决问题的经验，体会数学与生活的联系，感受数学的应用价值，培养初步的数学应用意识；在探索计算方法、用加减计算解决简单实际问题等活动中，获得一些成功的体验，感受数学学习的乐趣，增强学好数学的自信心。下面，笔者对这部分教材内容作一些简要的分析，并提出相关的教学建议，以供备课时参考。
part 01
教材内容分析
BETTER LIFE
本单元教学的“进位加法和退位减法”，改变了以往教材中将进位加法和退位减法分开编排的做法，将加减法整合在一个单元进行连续教学，加强了加减运算方法之间的关联，有利于学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题，促进学生形成结构化的知识体系。教材首先呈现了一幅单元情境图，图中呈现的是小动物排队坐小火车的场景。图中的这列小火车有两节车厢，每节车厢里有10个座位。小动物可以分为两组，一组是已经上车坐好的，共有 9 只；另一组是还没有上车的，共有6只。没有上车的小动物还可以分成两部分：一部分是正在排队的5只，另一部分是正在走向空位的1只。这些数量及其相互关系都与本单元所要学习的加减法运算有关。这样的情境，有助于激发学生的学习兴趣，激活学生已有的学习经验，使他们形成初步的探究欲望，从而引出本单元内容的学习。接下来教材安排了五道例题和相应的“试一试”“想想做做”、练习和复习来展开教学，内容充盈且丰富。例1、例2及随后的“想想做做”和练习一侧重教学9加几和十几减9；例3、例4及随后的“试一试”“想想做做”和练习二侧重教学8，7 加几和十几减 8，7；例 5 及随后的“试一试”“想想做做”和练习三则侧重教学6，5，4，3，2加几和相应的减法。复习则是对本单元内容的系统回顾与整理，帮助学生在练习与应用中巩固进位加法和退位减法的算理和算法，形成运算能力。具体来说，这部分内容在编排上主要有以下一些值得关注的特点。
1
注重在算法探索的过程中，体现
数与运算的一致性。
进位加法的主要计算方法是“凑十法”，其本质是利用十进制计数法的基本特点，将进位加法转化为 10 加几，进而根据1个十和几个一可以直接合成十几得到相应的计算结果。换句话说，学生探索并理解“凑十法”的过程，也是应用计数原理和计数经验的过程。教材编排中突出数和运算之间的密切联系，在进位加法算法的形成过程中，注意从“逐次添 1”的接着数数逐步过渡到用“凑十法”进行计算，凸显了数的认识是数的运算的基础。
例 1通过两个层次组织学生探索 9加几的计算方法，理解并掌握“凑十法”。第一层次，结合具体情境提出“一共有多少个苹果”的问题，鼓励学生列出 9+4 的算式；接着引导学生联系情境图和已有的“接着数”的加法计算经验，独立思考算法，并在充分交流的基础上，对各种不同算法进行比较，初步感受“凑十法”计算的思路。需要说明的是，教科书通过小卡通呈现的两种算法，只是为教师组织学生探索算法的活动提供一个范例，并不意味着学生通过探索一定得出或者只会得出这两种算法。第二层次，引导学生通过操作小方块，进一步明确“凑十”计算的思考过程。教科书呈现了把 9个小方块和 1个小方块圈在一起合成 1 个十（1 长条）的过程，并以算式填空的形式突出用“凑十法”计算的基本思考过程（如下图）。即如：因为9和1能凑成10，所以先要把4分成1和3；接下来可以先算 9+1=10，再算 10+3=13。这样的处理方法，突出了数的组成知识以及相关的计数原理对形成计算方法的作用。
同样，在退位减法的计算中，应用十进制计数原理，学生比较容易想到的也是“平十法”和“破十法”。如“平十法”是将十几减9转化为十几减几得10，再算10减几；而“破十法”则是将十几减 9转为 10减9，再加上几得到相应的计算结果。“平十法”和“破十法”的基础都是对11～19各数的认识、10以内的加减法以及相关的加减混合运算，本质上是利用十几的组成特点，将十几减9转化为10以内的加减法。
例 2在组织学生探索十几减 9的计算方法时，首先呈现了三种较为典型的算法：一是“倒着数”。这种算法来自之前计算 10 以内减法的经验，也是“逐次添 1”计数方法的反向运用。二是“平十法”。这种算法是先从 13 里去掉 3，得到 10；再用10减去6。三是“破十法”。这种算法是先把 13 分成 10 和 3，用 10 减去 9，再把减得的 1 与 3 合起来。接着，教材引导学生通过操作小方块，明确“平十法”和“破十法”的操作过程，引导学生通过填空明确相应的计算思路。即如：因为13是由10和3组成的，所以可以先把 9 分成 3 和 6；接着先算 13-3=10，再算 10-6=4。类似的，因为 9比 10 小，所以也可以把 13 分成 10 和 3，先算 10-9=1，再算 1+3=4。（如下图） 教材突出了“平十法”和“破十法”的计算过程，一方面强调计数单位“十”在运算过程中的作用，从而体现出数与运算基于计数单位的一致性；另一方面这两种方法与“凑十法”相对应，有助于学生体会减法与加法的内在关联，并由此引出“想加算减”的计算方法。
2
注重在算法优化的过程中，凸显
运算之间的关系。
教材鼓励学生主动探索进位加法和退位减法的不同计算方法，尊重学生的思考，呈现了交流各种算法的情境，且并没有要求学生统一运用某一种算法，而是提供了充分的体验、比较、感悟的机会，启发他们关注运算之间的关系，产生主动优化算法的心理需求。
例如，例2在呈现了用“平十法”和“破十法”计算 13-9 的基础上，教材引导学生进一步思考：还可以怎样算？并以填空的形式引导他们认识到：计算十几减9时，还可以根据加减法之间的关系，先想 9 加几等于 13，并由 9+4=13 推出 13-9=4。在随后的“想想做做”第 2、3 题，以及练习一第3题（如下图）中教材还分别安排加减算式对比的练习，帮助学生进一步体会“想加算减”的计算方法。
在接下来的例4及随后的“想想做做”中，教材也延续了这样的编排思路，帮助学生逐步体会“想加算减”的简捷。在例5中，教材引导学生联系编题活动，主动想到根据一道加法算式直接推算两道相关减法算式的得数，丰富和加深对“想加算减”计算方法的理解，进一步体会加减法之间的关系，同时也启发他们利用列出的两道减法算式灵活地进行推算。即如：可以根据 11-6=5，直接想到 11-5=6。这样的处理可以使学生初步认识到：计算退位减法时，既可以先想相关的加法算式，也可以先想相关的减法算式，进而深化对运算之间相互关系的理解，不断提升运算水平。
其实，引导学生利用运算之间的关系，从已知的相关算式进行推算的计算方法，在进位加法的算法探索过程中也有相应的安排。例如，随例 3 教学的“试一试”中，教材有意识地强调根据此前学过的9+7的得数直接推算出 7+9的得数。一方面这种推算过程比较简单，学生容易理解，教师可以引导学生由凑十计算逐步过渡到灵活推算，不断提高灵活计算的能力，发展初步的推理意识；另一方面，这种方法还渗透了“交换加数的位置，得数不变”的运算律，能为后续整理和掌握进位加法表，优化内容结构提供支持。而在进位加法的相关习题中，教材还运用连加算式进一步帮助学生厘清“凑十法”的计算过程，为优化算法创造条件。例如，例1后的“想想做做”第 3题（教材第 3页），通过题组的对比，使学生体会到每组上面一道连加算式（如 9+1+5）就是下面加法算式（如 9+6）计算时的思考过程，体会计算 9 加几的过程就是计算相应连加算式的过程，从而对“凑十法”形成更加清晰的体验，使计算 9加几的思路更简洁、更顺畅。
特别地，练习一第 7 题（教材第 7 页，如下图），引导学生在填空和比较中，结合算式感受进位加和退位减的一些有趣规律。在这里，左边一组等式中的运算规律可以表达为：9 加上一个数的和等于 10 加上比这个数小 1 的数，即 9 加几可以转化为 10 加“几减 1”；右边一组等式中的运算规律可以表达为：十几减去 9 的差等于十几个位上的数加上 1 的和，即十几减 9 可以转化为“几加1”。这就为学生基于规律进行灵活推算提供了进一步的支持。
3
注重将计算和实际问题相结合，
突出运算的现实意义和价值。
教材除了利用具体情境引出计算问题，还注意在学生理解进位加法和退位减法算理、掌握相应计算方法的基础上，引导他们结合生活经验，根据算式讲实际问题，进一步熟悉实际问题的基本结构，丰富编题经验，体会运算的意义和价值。例 1 和例 3 的教学中，要求学生结合生活经验再说一个用“9+4”或“8+7”解答的实际问题，体会同一道加法算式可以表示不同情境中类似的数量关系。在例 2和例 4的教学中，要求学生结合生活经验再说一个用“13-9”或“15-8”解答的实际问题，使他们进一步感悟同一道减法算式可以表示不同情境中类似的数量关系，从而体会运算的意义和价值。在例 5 的教学中，教材则引导学生根据题中的条件和问题，编出用减法计算的实际问题，并自主探索十几减 6，5 的计算方法（如下图），让学生在编题过程中丰富对减法运算意义的理解。这里用减法计算的两个问题都要根据“已知总数和其中一个部分，求另一部分”的数量关系提出，与之前十几减 9，8，7 中求剩余的问题有所不同，但其本质都是减法运算意义的具体应用。
在此基础上，教材还通过以下三种方式帮助学生熟悉简单实际问题的基本结构和数量关系，培养利用运算意义解决简单实际问题的能力。
首先，安排一些可以用进位加法和退位减法解决的简单实际问题，帮助学生进一步感知简单实际问题的基本结构，熟悉实际问题中的事理和数量关系，提高根据数量关系列式计算的能力。如练习一的第8、9题就是用进位加法和退位减法解决的有关花片和彩灯的实际问题。
其次，要求学生根据情境图提出用加法或减法计算的实际问题，再解答，帮助他们进一步熟悉简单实际问题的基本结构和数量关系，积累发现和提出问题的经验。如练习二的第10题，就是让学生根据小朋友在动物园看猴的情境图，寻找相关联的条件，提出用加法或减法计算的实际问题，再解答。这样的安排，一方面有利于学生巩固学过的计算，另一方面也有利于他们感受所学计算的实际应用价值。
第三，通过补充问题或补充条件的形式，帮助学生进一步掌握简单实际问题的基本结构和数量关系，积累分析和思考的经验，发展分析和解决问题的能力。如练习三的第 7 题，要求学生根据题中的已知条件，“先提出一个问题，再解答”，突出由两个相关的已知条件出发进行思考的方法；第 8 题要求学生根据题中的一个条件和所求问题，“先补充一个条件，再解答”，突出从所求问题出发寻找合适条件的思考方法。单元复习的第 10 题要求学生根据已知的条件和所求的问题，补充一个合适的已知条件，组成一道完整的实际问题，并进行解答。在稍复杂的问题情境里，往往条件与问题都比较多，因此，根据条件提出问题、根据问题选择条件是学生需要掌握的重要思考方法，值得我们适当加以关注。
part 02
几点教学建议
BETTER LIFE
基于上述对教材内容的分析，笔者对这部分内容的教学组织与实施提出如下几点建议。
1
创设具体情境，激发学生主动探
索算法和算理的欲望。
本单元教材例题中的情境都是与小动物买卖水果相关的，既有童话色彩，又密切关联现实，有利于吸引学生的注意，调动学生已有的经验，提出和解决问题。特别是，这里的情境还具有连续性，对学生而言是既熟悉又陌生的，有利于他们在解决计算问题的过程中，将熟悉的、学过的知识和方法迁移到陌生的、新的问题中，产生主动探索算法和算理的欲望。因此，教学时，要指导学生在认真观察情境图的基础上，说说图中所呈现的信息，并由此启发他们提出问题、列出算式。这样教学，既有利于学生体会计算学习的必要性，又有利于培养学生收集信息、整理信息，以及发现问题、提出问题的能力，激发他们开展探索性学习的兴趣。
例如，教学例 1 时要引导学生观察小猴卖苹果的情境图，通过提问“小猴盛放苹果的盒子有什么特点？怎样做可以让别人一眼看出一共有多少个苹果”等问题，启发学生想到：可以先从青苹果中拿1个放进盒子里，把 9 个凑成 10 个，就能一眼看出一共有多少个苹果。从而为接下来学生自主探索“凑十法”打下基础。
教学例3时要注意引导学生观察这里小象卖梨和之前小猴卖苹果的相同和不同之处，即如：都是把不同颜色的水果分左右摆放的，但这里左边和右边的盒子都有 10 格，左边的盒子里放了 8 个黄梨，右边的盒子里放了7个青梨。也正是有了这样的观察和比较，才能够使学生迁移 9 加几的计算经验主动去探索 8+7 的算法，也才容易使他们产生既可以把 8 凑成 10，也可以把7凑成10的不同算法。
而在例 5 的熊妈妈卖梨的情境中，黄梨和青梨虽然也是分别装在两个盒子里的，但每个盒子里都有 6 格而不是 10 格。因此教师在教学中可以适当提高要求，让学生逐步摆脱对具体情境的依赖，基于之前的计算方法和推理经验主动解决新的计算问题。
情境不仅是学生学习计算的“敲门砖”，更是学生理解算理、探索算法的重要“基石”。
2
重视探索过程，引导学生明确算
法、理解算理，发展运算能力和
初步的推理意识。
计算的本质是推理。学生学习计算，明确算法、理解算理的过程，就是学生思维活动的过程。教学计算就是发展学生推理意识和运算能力的过程，而这个过程离不开观察、操作、比较、分析、交流和反思等探索性活动。
观察与操作是探索的基础。观察能够帮助学生明确运算的对象，操作能使学生将静态的算式转化为一种动态的活动，一方面降低学习的难度，消除思维的障碍，使学生的逻辑思考得以顺利展开；另一方面也有利于学生在头脑中形成知识的表象，从而帮助学生实现对知识的理解和保持，并有助于他们有条理地表达算法和算理。例如，在引导学生探索例 1中 9+4的算法时，可以先让学生各自想一想，再和同桌同学说说自己的想法；接着可以让学生在直线上画一画、数一数，也可以用圆片代替苹果，在教师为各小组准备的盒子里摆一摆，边摆边想；然后引导学生结合操作过程说出不同的算法；最后，通过全班分组操作小方块来突出基本算法，也就是“凑十法”。上述操作活动可以帮助学生从“接着数数”的方法逐步过渡到“凑十计算”，既体现了算法多样化，使每个学生都获得成功的体验，又使基本计算方法的教学落到了实处，发展了学生的运算能力。
比较与分析是探索的关键。一方面可以强化算法和算理之间的关联，使学生不仅知道怎样算，还知道为什么这样算；另一方面还可以帮助学生明确不同算法之间的区别和联系，帮助他们感悟不同运算之间的关系，发展初步的推理意识。例如教学例 2 时，可以让学生结合操作过程对“平十法”和“破十法”进行比较，发现其中共同的特点，即如都是转化为10减几来计算的，从而体会“十”的重要性；而在引出“想加算减”时，要先引导学生比较9+4=13 和 13-9=4 这两道算式，找到算式中数的位置特点，再联系之前学习加减法的经验，促使他们自主总结算法。
交流与反思是对探索结果的巩固与深化。交流不仅给学生提供了数学表达的机会，让思维通过语言这种形式变得更加连贯、更加有条理，从而明确相应的算法；而且通过交流，学生可以了解别人的算法，培养倾听和理解他人想法的意识和习惯，进而也为自我反思提供资源。例如，在教学例 1中“再说一个用 9+4解答的实际问题”时，可以让学生以小组合作的方式先说一说不同的实际问题，再组织全班交流。要注意引导学生完整地说出条件和问题。如果学生有困难，也可以通过提供一些情境
给予必要的启发。此外，还可以让学生体会到这样的实际问题是说不完的，同一道加法算式可以表示不同情境中类似的数量关系，从而初步感受数学模型的意义和价值。
3
重视练习和复习，帮助学生优化
知识结构，提升运算能力。
结合已有的教学研究和经验可知，进位加法和退位减法在稍复杂的加减口算、估算、笔算中经常会用到，而且多位数的乘除法计算中也要用到加减法，学生对这部分内容的掌握情况对以后的数学学习影响很大。因此让学生理解进位加法和退位减法的算理，掌握相应的算法，能熟练地口算进位加法和退位减法是本单元的教学重点。为了突出上述教学重点，除了要在例题的教学中注重相应的探索学习过程，还要在练习和复习中帮助学生进一步明确相关运算之间的联系，不断优化知识结构，形成运算能力。
组织练习时，首先要鼓励学生独立思考、自主探索，注重引导他们说说自己的思考过程，说出具体的算法和算理。教师可以引导学生或运用“凑十法”进行计算，或根据学过的加法算式推算相关的加法或减法算式的得数，还可以基于对相关运算规律的理解进行相应的推算。要通过推算方法的不断进阶，培养学生根据算式特点，灵活选用合适方法进行口算的能力，不断提高计算水平，逐步熟练掌握进位加法和退位减法的基本计算方法。考虑到一年级学生的年龄特点，练习中还可以安排一些趣味的游戏活动。例如，练习一第 4 题，组织教学时可以准备数字卡片和积分卡（或其他奖励），让学生分小组进行游戏：由学生轮流抽取卡片，其他学生说出相应的“9加几”或“十几减9”的算式。得数正确可以得一张积分卡，最后看谁得到的积分卡多。通过这种积分式的活动激发学生主动参与口算练习，不断提高计算的准确性和灵活性。
组织复习教学时，一方面要引导学生对已经学过的进位加法和退位减法进行回顾与整理，相对完整地建立对进位加法和退位减法计算过程和方法的理解，感受进位加法与退位减法的内在关联，进一步提高运算能力；另一方面，要注意通过不同形式的练习，帮助学生对加减运算中蕴含的规律获得更多有意义的体验，丰富和加深对加减运算意义及其相互关系的理解。此外，还要注意帮助学生进一步提高用加减法分析数量关系、解决简单实际问题的能力，感受加减法的实际应用价值。例如，组织“回顾与整理”教学时，可以先让学生在小组里进行整理，再围绕本单元的重点内容组织讨论，引导他们说说本单元学习了哪些计算知识，各是怎样学会的。接着，完成教材中“看图说一说，填一填”的活动，引导学生重点说说“凑十”计算和“想加算减”的思考过程，突出基于加减法关系进行思考的重要性。在此基础上，引导学生依次整理加法表和减法表，并通过观察、比较，说说表中算式的排列规律，鼓励他们由表中任意一道加法或减法算式，说出相关的不同算式，从而对这部分内容形成更具结构性的认识。
当然，在进位加法和退位减法的教学中还有很多需要值得研究的问题。教学中教师需要细心观察，善于发现，耐心指导，通过适当的教学素材和教学形式给学生提供学习支持。在帮助学生形成运算能力的过程中，也要让他们养成良好的数学学习习惯，喜欢数学，发展解决问题的能力，培养初步的应用意识，逐步形成核心素养。
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