恩格斯从数学来源的角度提出“数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学”，这一论述对数学及数学教育产生了深远的影响。他主张，数学中数量和数量之间有联系或发生关系才有意义，单个数量的存在或堆积是没有意义的。数量这个词是被人们惯用的术语，“Quantität sverhältnisse”应该翻译为“量的关系”，而不是“数量的关系”。对“数量关系”的译法，关肇直先生也认为有不妥之处，他指出：应把“数量关系”改译为“量的关系”。本文中的数量和量两个术语互用。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将“数量关系”确定为小学阶段数与代数领域的两个主题之一。“数量关系”主要是指“用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生要经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识”。由此可见，2022年版课标对小学“数量关系”的目标要求涵盖两个方面：一是发现和表达具体情境中的数量关系，二是运用数量关系分析和解决实际问题。因此，数量关系的教学应聚焦于量及其关系的认知和表征，才能运用数量关系解决问题。
过去，数量关系的教学经历了从“过度模式化教学的应用题”到“去应用题”再到“解决问题”最终转变为“问题解决”的演变过程，似乎更强调运用数量关系（特别是常用数量关系）解决问题，而在一定程度上忽视了对量及其关系的认识和表征的教学。然而，在具体情境中发现、分析和表达量及其关系（不仅仅是常用数量关系）对于学生早期代数思维的培养和发展，以及后续的代数学习具有举足轻重的作用。实际上，强调早期代数思维是2022年版课标的一个显著变化。那么，小学阶段的早期代数思维具有怎样的特征？该阶段早期代数思维的发展与数量关系的教学存在怎样的内在联系？如何通过数学教材中的教学内容来发展小学生的早期代数思维？本文结合北师大版教材相关教学内容进行具体分析。
一、早期代数思维的特征及教学启示
对于中小学生而言，数学从数和数的运算（算术），到符号和符号运算（代数），容易忽略从算术到代数的过渡，这样不利于学生后续学习和代数思维的发展。通过加深算术课程的内容，帮助学生发展早期代数思维和代数推理能力，是解决这一困境的有效途径。早期代数思维是指“学生在归纳概括一般化的算式结构、变化规律和数量关系，并且运用（各类）符号来表征和推理论证一般化结论时经历的一系列思维过程”。主要体现在抽象算术、函数思维和数量关系三方面数学内容。研究表明，早期代数思维需要满足三个条件。第一是不确定性，问题涉及未知量、变量、参数等要素。第二是表征，问题中涉及的不确定的量必须被命名或用符号表示。第三是分析性，即以分析的方式处理不确定的量，这些不确定的量被当作已知的数进行加、减、乘、除运算。
基于此，小学数学教学应引导学生经历从具体情境中发现数量及其关系，并进行表征，进而通过分析数量关系和规律进行相应的一般化表达和问题解决的过程。这一过程是衔接算术与代数的一种思维推理方式，是早期代数思维关注的焦点。早期代数思维是介于算术和代数之间的思维推理过程，强调深化包括数量关系在内的算术课程的内容，主要指向在教学过程中重视三种思维推理形式：“关系性思维（Relational Thinking）”“共变思维（Covariation Thinking）”和“准变量思维”。简言之，在数量关系教学时，教师应引导学生经历关系性思维、共变思维和准变量思维的分析与推理。
二、关系性思维的特征及其教学内容分析
关系性思维不仅要求学生准确把握“相等”的概念，还鼓励学生从整体的视角审视算式和等式的内在结构。这种思维方式能够让学生超越对算式中运用数的程序性计算，转而关注数与数之间的内在联系，并据此灵活变换等式。面对等式时，学生不是将等号视为计算结果输出的简单提示，而是能够洞察等式所蕴含的等价关系和整体结构。从等号的程序性理解到关系性理解的转变，这正是算术思维向代数思维演进的关键标志之一。
2022年版课标增加了“等量的等量相等”这一基本事实，旨在强调关系性思维的重要性。鼓励学生通过探索关系和结构来理解这一基本事实，并要求他们能在真实情境中运用关系性思维进行量的推理。例如，面对等式“37＋48＝36＋49”，学生若不进行具体计算就能判断其正确与否，说明他们已经超越了程序性的算术思维，能够识别出等式中隐含的结构和关系，并运用补偿策略来实现等式的变换，即“37＋48＝37－1＋48＋1＝36＋49”的推理过程。这表明学生已经能够从整体结构出发，对算术性质进行更深层次的一般化思维。教师在教学这类数量关系知识时，应该有意识地引导学生识别和表征情境中的量，发现、表达和分析相应的数量关系，并利用数量关系来解决问题。
在小学数学教材中，关系性思维的素材贯穿始终。例如，在北师大版教材一年级上册《做个加法表》一课中（如图1），竖着看，学生通过观察第一列算式的变化规律，会发现“10＋0＝9＋1＝8＋2＝……＝0＋10”，即两个数相加的和相等。教师要引导学生发现这一列算式隐含的结构和关系，构建出相邻或相间的两个算式中的数量变换关系及其潜在关系（加减同一个数），并进行分析和说理，如10＋0＝10＋0＋1－1＝10－1＋0＋1＝9＋1，以 此类推，让学生对这一组算式进行说理和推理。在此基础上，让学生继续探索、总结“和是9、8、7……的加法组合”，引导他们初步猜想和文字表达数量关系：在加法算式中，两个加数同时加减同一个数，得到的算式存在等价关系。学生通过关系性思维进行进一步分析、推理和确认一般化规律。
再如，在北师大版教材三年级上册《运白菜》一课中（如图2），教师应引导学生进行整体关系的思维。这两个算式都表示“运走两车后还剩多少棵白菜？”。其中算式“850－256－280”直接来自题目，而算式“850－（256＋280）”则基于对数量关系的深入理解构建了一个新的量，即“两车一共运走了多少棵白菜”。因此，两种表达方式得出的结果相同。教学中，教师可以通过创设购物、销售等问题情境，帮助学生识别和表征情境中的各个量及其相互关系。通过量的推理，学生能够不断发现并验证同类数量关系，进一步体会问题整体结构的相似性。基于此，学生可以初步体验更具一般化的连减运算性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。
另外，在探索加法交换率、乘法结合律等运算率时，可以引导学生进行关系性思维和推理，帮助他们掌握相关数量关系并发展早期代数思维。例如，在北师大版教材四年级上册《乘法分配律》一课中，教材呈现了四种解题思路（如图 3），本文分析其中两种。思路一是先求3行白色瓷砖的块数，再求5行蓝色瓷砖的块数，然后求总数。思路二是先求白色和蓝色瓷砖的总行数，再乘每行瓷砖数，求出瓷砖总数。通过计算和比较这两种思路的结果，学生可以发现乘法分配律。其实，教师可以进一步引导学生通过分析问题情境中的各个量之间的关系推理出两个算式的相等关系。如厨房瓷砖总量等于左面墙瓷砖量与右面墙瓷砖量之和，也等于白色瓷砖与蓝色瓷砖数量之和。这种关系与具体数值无关，意味着题中的 3、5、10 等数可以换成任意自然数（0 除外），而其表示的实际意义保持不变。上述教学正是基于早期代数思维的视角，引导学生进行关系性思维，不仅使学生掌握了乘法分配律，而且有效地培养了学生的推理意识、创新思维能力和问题解决能力。
三、共变思维的特征及其教学内容分析
在早期代数思维研究中发现，即便是幼儿园的学生也能够理解数量之间的共同变化规律（每增加1只狗，相应增加2只眼睛）。一年级学生能够描述数量间的对应关系（1只手有5根手指，2只手则有10根手指）。到了二年级，学生能够使用自然语言表达一般规律来预测共变量的其他相应值（乘法口诀的学习：一三得三，二三得六……三九二十七）。这表明，低年级乃至幼儿园的学生，给予适当的任务和指导，他们都能形成和发展早期代数思维。对数量共变的概括和推理涉及以下几种能力：对共变量模式关系的一般化；寻找相应的变量值以及给定规则的共变思维。学生首先应掌握“找到对应变量的值”的能力，其次培养给定规则的共变思维，最后获得“共变量关系模式的一般化”的能力。当学生意识到两个量的值同时变化时，他们就会产生共变思维。进行共变思维的学生能确认两个量的共变关系，并能“协调（Coordination）”这两个量之间的共变模式。研究表明，共变思维模式有利于学生思维的定性分析，学生在共变思维下，更容易把握涉及的量及其共变关系，并将其作为寻找数量关系的起点。
例如，2022年版课标实例中的例 19 第（1）题：“小华比小明多5张漫画卡，如果小明有8张，小华有几张？如果小明有12张呢？如果小明有若干张呢，怎样用字母表示小华有多少张漫画卡？”这一问题情境是进行共变思维和推理的良好素材。不难发现，该问题情境中涉及两个量：小华的漫画卡数量，小明的漫画卡数量。其中，“小华比小明多5张漫画卡”已经直接设定了这两个数量之间的共变关系。“如果小明有8张，小华有几张？”这一设问引导学生基于两个数量之间的规定关系进行共变思维分析，当一个变量值确定后，另一个变量值随之得以确定。“如果小明有12张呢？如果小明有若干张呢？”这一追问，继续引导学生通过共变思维进一步感悟“小华的漫画卡”和“小明的漫画卡”这两个量之间的共变关系，进而引导学生进行概括和一般化表征。也就是说，在情境中探寻到“小明的漫画卡数量”包含“8张、12张、若干张”这组数，接着根据两个量之间的依存共变关系，把 8+5、12+5、若干张+5看成一个整体，都用来表示“小华的漫画卡数量”。不管两个量的数值如何变化，它们的共变关系保持不变。
又如，在北师大版教材一年级下册《做个百数表》一课中（如图 4），学生通过观察发现：横着看，后一个数相较于前一个数增加 1；竖着看，下一行的数相较于上一行的数增加10；斜着看，右下角的数相较于左上角的数增加 11。在教学过程中，教师应引导学生依据相邻两个数的共变规律，获得从一个量推算出另一个量的能力。经过多次验证，对这一规律进行归纳，识别相关的量，并用自然语言进行表达，概括这些数量之间的关系。此时，在共变思维的辅助下，学生能够学会分析相应的数量关系，形成数感和推理意识，以及早期代数思维。
再如，正比例和反比例作为刻画现实背景中两个相关变量的共同变化规律的数学模型。在日常生活中，有很多数量关系可以表示为正比例或反比例的量，其本质是两个量按照一定的比例关系发生共变。如图5所示，引导学生通过填表发现，正方形边长每增加1厘米，其周长相应增加4厘米，正方形的周长是边长的4倍，即周长和边长两个量的比值保持不变，此时正方形周长和边长成正比例。当一个变量确定后，另一个变量随之确定，二者的变化是互相依存的。同时，以“路程、速度、时间”三个数量关系为例，路程随时间变化而变化，且路程和时间的比值（即速度）一定，即路程和时间两个数量之间的关系进行共变思维和推理，可以得到路程和时间成正比例。反比例亦是如此，这里不再赘述。
在教学中，教师应有意识地通过提问引导学生自主识别问题情境中的变量，发现变量间的依存和共变关系，并对共变规律进行概括和表达，从而深化对数量关系的理解，培养推理意识和早期代数思维。
四、准变量思维的特征及其教学内容分析
通常具备准变量思维的学生能够认识到“在一个‘算式’或是一组‘算式’中，存在的某些数量关系，这些数量关系不会因为数的变化而改变”。准变量思维体现了初步的概括性和一般化，这正是代数思维的核心所在“分析之后的概括”。缺乏分析的概括可能是“尝试与猜测”的结果，而缺乏概括的分析可能是“数量之间关系”的记忆。实际上，在探讨关系性思维和共变思维的特征时，已经涉及了数量关系的表达过程，即通过关系性思维和共变思维的推理，引导学生识别相关量及其关系，并进行概括和表达。然而，准变量思维则强调使用更具一般性的符号（非字母）来表达数量关系。例如，学生面对如下问题情境。
学生在经历了对问题（1）至（3）的关系性思维和共变思维的探讨后，可能会给出如下表达：3，3＋（2－1）×2，3＋（3－1）×2，3＋（4－1）×2，3＋（5－1）×2，3＋（6－1）×2……小括号内的“2、3、4、5、6……”起到了“变量”（即“项数”）的作用。针对问题（4），首先引导学生用自然语言表达出规律：每一项的项数减1的2倍，再加上第1项的数，其和即为该项的小方块总数。接着，进一步引导学生写出更具概括性的表达式：3＋（项数－1）×2，这是一个准变量表达式，更接近代数表达式。
例如，在北师大版教材二年级上册《分香蕉》一课中（如图6），面对“小猴子分12根香蕉，每份同样多，可以怎么分？”的问题。教学时，首先应该让学生明确平均分的两种情况：一种是先确定份数，再按份数进行平均分，结果是每份分到的数量；另一种是先确定每份的数量，再按每份的数量进行平均分，结果是能分到的份数。接着，教师可再举几个类似的问题，在关系性思维的作用下引导学生感知数的可变性与结构的不变性。最后，在准变量思维的推动下抽象出除法模型的一般化表达：总数÷份数＝每份数，总数÷每份数＝份数。在此基础上，后续还会将上述除法模型与乘法模型（份数×每份数＝总数）建立内在联系。这些联系都是第二、第三学段学习“总价＝单价×数量”“路程＝速度×时间”“工作效率＝工作总量÷工作时间”等数量关系的根本。所有这些都可以视为准变量表达式，是指导学生进行准变量思维的学习素材。
又如，在北师大版教材四年级上册《加法结合律》教学中（如图 7），引导学生发展准变量思维。首先，引导学生观察算式，经历类比推理和归纳推理，发现加法运算的规律（加法结合律），并尝试用语言描述发现的规律。接着，联系现实生活寻找实例解释发现的规律，加深对规律的理解和认识。最后，引导学生用字母表示加法结合律。为了让学生充分理解加法结合律的本质，有必要在具体算式和符号表达之间增加准变量思维和表象表达的过程，鼓励他们用自己喜欢的方式表达规律（文字、图形语言、任何符号等），以此用简化和概括化的准变量表达式表达规律，如（▲＋★）＋⚪＝▲＋（★＋⚪），为后续用字母进行符号表达提供思维准备，以充分发展学生的符号意识和模型意识。
准变量思维的核心在于运用非代数符号的语句或表达式，它超越算术思维方式。通过关系性思维和共变思维的推理，揭示并利用算术中隐含的数量关系与结构，识别、提取关键的数以及表达式中的关系性元素。这些思维方式能够对潜在的结构进行表达和转换，实现对算术问题的“代数思考”。准变量思维的运用，有助于缓解算术思维与代数思维之间的割裂状态，有利于算术与代数教学之间的顺利衔接，为代数的正式学习搭建好“脚手架”。
综上所述，关系性思维、共变思维和准变量思维在教学数量关系时相互作用，各有侧重。关系性思维的核心在于超越具体数值的计算，关注数量间的等价变换，实现对算式的整体理解；共变思维的核心在于通过两个变量数值的对应变化，关注概念化数量间的依存共变性；准变量思维的核心在于对关系性思维或共变思维过程中发现和概念化的数量关系进行“代数地思考”，并使用含有符号（非字母）的表达式进行概括化和一般化的表达。准变量思维是前两种思维的进一步发展，即对两种思维发现和猜测的数量关系进行论证和概括化的过程。
分析实际情境中的数量关系并运用恰当的模型解决问题，是作为学习主题的数量关系的核心。数量关系并非单纯的知识性公式，而是学生在头脑中构建出的关于量之间关系的结构，具有过程性和创造性，并且与学生的个人经验紧密相关。因此，基于早期代数思维的视角，数量关系的教学还应重视对问题情境中的数量的识别和表征的思维过程，以及对相关量关系的发现和表达的思维过程，即用关系性思维、共变思维和准变量思维推理的过程，这符合 2022年版课标的理念。关注关系性思维、共变思维和准变量思维，就是使数量关系教学更加扎实和丰富，在算术的程序化思维和代数的形式化思维之间架起桥梁。这样既能实现学生从算术思维向代数思维的平稳过渡，也能全面地挖掘和体现小学“数量关系”主题的教学内涵和价值，为培养学生的数感、应用意识、推理意识和模型意识等相关核心素养贡献独有的力量。
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