所谓图式推理题，是指采用数形结合的方式呈现数与形之间的内在联系或变化规律，并根据这些内在联系和变化规律进行简单推理、得出结论的数学习题。图式推理题分布在小学数学各学段的内容之中，其对于展现数学问题的不同表征、提高学生数学能力，以及发展学生核心素养具有支持和促进作用。
顾名思义，图式推理题应包含图和式（数），由于两者存在内在的对应联系，而且依据这些联系能够作出新的判断，所以数学图式推理题的特征也是显而易见的。
首先，图式推理题具有“数”的元素。这一特征在不同年级有不同的表达。在低年级数学学习中，这类题中的数是比较明显的，要么直接呈现，要么通过简单计数就能发现；到了中高年级，数的表现相对隐蔽、复杂，它常常隐藏在含有数的式子或变化的图形之中，需要学生在比较和辨析中去分辨和找寻。
其次，图式推理题存有“形”的特质。在数学问题中，仅仅呈现“数”的要素可能还不够明晰或完整，所以需要利用相应的图形加以弥补。图形、图案等是图式推理题的主干，可以与“数”共同支撑学生的思考和分析。学生需要发现图与式（数）之间的关联，进而归纳其中的规律或数量的变化趋势。
最后，图式推理题蕴含数形一致的表征。图式推理题中“数”和“形”是相互对应和补充的。通常情况下，学生可以根据图形中“数”的特征、变化以及相应的规律等，来理解“图”的特点及其变化的原因。学生也可以根据图形、图案中呈现出的数学信息理解和分析数或含有数的式子的内在联系。换言之，图式推理题中的“数”与“形”在呈现上是相互补充的，在关系上是相互关照的，体现出呈现方式和内在关联的一致性。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。也就是说，数量关系和空间形式是数学的研究对象，当然也是数学教学的主要研究对象和内容。图式推理题将两者结合在一起，其教学意义和价值是不言而喻的。
1. 帮助学生积累数学表象。
数学表象是学生在学习中形成的对相关数学知识的直观印象、轮廓。图式推理题通常由几个图形组合而成，而且这些图形还呈现出一定的内在关联或变化趋势，所以这样的问题能激发学生的探究兴趣，给学生留下动态、变换的图形印象。而这些印象在刺激学生的感官后，有利于他们积累数学表象，并促进数学想象能力的发展。
2. 展现数学知识本质内涵。
在图式推理题中，“数”和“形”是相关联的，“数”是“形”外显的数量或关系的表达，“形”是“数”内隐的关系或变化的直观表征。图式推理题采用数形结合的方式表现图形、数量及其相互关系的变化趋势和规律。将两者结合起来，能够展现数学知识的内涵和本质，展现数学教学的特质。
3. 提升学生数学思维能力。
推理是由一个结论推出另一个结论的思维方式。图式推理题是一类含有数学规律的习题，需要利用图形外显的变化和数量的变化作出判断、推出结论。因此，图式推理题能发展学生的推理意识。
另外，图式推理题是借助图形的变化来进行推断、得出结论的，需要学生借助头脑中积累的数学表象进行相应的思维活动，这对于培养学生的创新意识、想象能力等也十分有益。
由于不同年级学生的认知基础和思维水平存在差别，所以图式推理题的分布具有明显的年级特征。依据《课程标准（2022 年版）》的学段设置办法，笔者将小学阶段的数学教学分为三个阶段，以现行苏教版教材为例，简要阐述图式推理题的学段表现与教学策略。
1. 第一学段：充分利用图式推理题，让学生认识“图”与“式”的构成和特征。
第一学段学生的认知水平主要处在形象思维阶段，他们很少能同时观察图形和算式，缺乏将图形和算式进行关联的能力。这个阶段的图式推理题教学需要加强分析、对比和引导，注重凸显“图”与“式”的对应联系，使学生初步认识这类习题的构成特点，积累解决问题的初步经验。
苏教版教材依据第一学段学生的认知水平和思维特点，结合相关内容的教学编排了较为丰富的图式推理题。例如，一年级上册“认识10 以内的数”单元编排了如下的习题。
这道题其实就是图式推理题的雏形。教学这道题时，在学生计数小棒根数的基础上，可以作适当的拓展。教师先在黑板上用小棒摆出一个正方形，让学生数出需要小棒的根数。然后启发他们思考：“再添一个正方形，需要几根小棒？”学生回答后，教师接着第一个正方形摆出第二个正方形，引导学生观察：“这样添，需要8 根小棒吗？为什么会少用1 根小棒？”学生联系教师添正方形的操作过程，明确再添一个正方形，只要再摆3 根小棒。教师相机在图中圈出增添的3 根小棒，并且追问：“像这样，再添一个正方形，还需要几根小棒？”
学生在观察、比较、交流中，逐步体会正方形数量的增加与小棒根数的变化关系。练习结束后，还可以引导学生反思刚才的学习过程，交流自己的想法，帮助他们初步感知图式推理题的基本特征，了解分析这类问题的思路和方式。
再如，二年级上册“表内乘法（一）”单元中也编排了如下一道图式推理题。
这道题可以采用“先动后静”的练习方式，即先让学生摆一个小正方形，明确可以用“1×1”表示。接着，让学生思考：“摆稍大一点的正方形，需要几个小方块？
怎样用算式表示？”学生操作后明确：用4个小方块摆成正方形，可以用“2×2”表示。继而让学生继续操作、思考，明确用9 个小方块摆成的正方形，可以用算式“3×3”表示。经过三次操作、思考后，引导学生思考：“如果继续往下摆，需要用多少个小方块？怎样列式表示？”学生通过观察、比较，根据图形的变化和算式的特点，能够类推出“4×4”“5×5”等正方形。
智慧出于手指尖。动手操作给学生提供了思考和辨析的机会。学生在操作过程中能真切感受到“图”和“式”的关联，培养观察、比较、归纳、类比等能力。
2. 第二学段：合理挖掘图式推理题，让学生把握“图”与“式”的本质和联系。
学生通过第一学段的数学学习，虽然具备一定的分析图式推理习题的经验，但仍处在以形象思维为主的阶段。因此，第二学段图式推理题的教学，应重视内涵的开发，关注分析过程的简化、图式联系的比较和不同形式的表征，鼓励学生自主探索，感受“图”“式”的本质和联系。
例如，苏教版教材三年级下册“混合运算”单元编排了如下一道思考题。
教学时，可以按照题目要求带领学生完成图形的拼摆和算式的填写，然后比较、分析式子中的“变”与“不变”，从而解决问题。解答这道题，还可以从图形数量的变化和周长的变化等角度进行思考。
具体地说，学生在探究长方形和正方形周长时，已经有过转化的体验，知道形如“凸”字形的周长可以转化成长方形计算。由此出发，第一个正方形的周长还可以用（1+1）×2 或1×2+1×2 表示，第二个图形的周长可以用（2+3）×2 或2×2+3×2 表示，第三个图形的周长可以用（3+5）×2 或3×2+5×2 表示，等等。教学时，相机出示转化后的长方形图式，在表格中增加一栏，利用长方形的周长计算公式表示这些图形的周长，根据转化后的长方形的长和宽的关系以及相应的变化规律帮助学生建立“图”与“式”的内在联系。这样教学可以拓展学生分析的视角，帮助他们积累解决问题的经验。
再如，探索多边形的内角和时，教材预设的思路通常是将多边形的内角和分成几个三角形的内角和，即多边形的内角和=（边数-2）×180°。实际上，多边形的内角和的探究并非“自古华山一条道”，也可以变换探究思路，设计相应的图式推理题。
例如，（1）在四边形内任意取一点，发现四边形的内角和为180°×4-360°=360°；在五边形内任意取一点，发现五边形的内角和为180°×5-360°=540°。根据上面的方法把六边形分一分，可以发现六边形的内角和为（ ）×（ ）-（ ）=（ ）。
（2）观察上面的算式，说说算式中各部分分别表示什么含义。按照这样的研究方法，可以知道：多边形的内角和=180°×（ ）-（ ）。实际教学时，可以先让学生按照示范的方法画图分析并列式表示多边形的内角和，再对比算式，理解算式中关键“数”的意义，最后根据已有的例证归纳多边形的内角和的计算方法。
综上，习题解答的过程就是学生探究数学规律的过程，问题分析的过程就是学生进行推理的过程，也是学生理解“图”“式”关系的过程。学生在这个过程中，体会不同的思路可能得到不同的表达式，不同的表达式可能表示相同的意义，进而体验“图”对“式”的引导作用，“式”对“图”的表达作用，在发展推理意识的同时加深对数学本质的理解。
3. 第三学段：适时创生图式推理题，让学生体会“图”与“式”的意义和价值。
图式推理题的价值，不仅在于提高学生解决问题的能力，而且能促进学生从形象思维向抽象思维过渡，培养数学意识，发展数学素养。因此，第三学段图式推理题的教学要重视学生依据图式中的关系和规律作出一些有意义的判断，感受解决问题或作出判断的意义和价值，增强学习数学的兴趣和热情。
例如，苏教版教材五年级下册“解决问题的策略”单元编排了如下的习题。
这道题在二年级上册教材中已经有过呈现。教学时，可以先让学生按照要求完成解答。交流时辅以动画演示，让学生说明加法算式和乘法算式的相等关系。
由于乘法算式中两个乘数既可以看作加法算式中加数的个数，也可以看作首尾两个加数的平均数，教学时可以相机追问：“像这样，从1 开始连续几个奇数相加的和，可以写成哪两个数相乘呢？”“如果最后一个奇数是a，那么怎样用含有字母的式子表示它们的和？”这样，学生的思维就能从特殊上升到一般。
又如，在综合运用知识解决问题时，可以设计如下的图式推理题。这道题是让学生根据具体例证提出猜想，然后借助几何直观进行验证、说理，凸显了图式推理题的特征和价值。题中有“数”有“图”，将“数”和“图”完美结合起来，有助于学生体会“数”与“图”的紧密关联，感受数形结合思想方法的价值。教学时，先要让学生通过计算确定两组算式的相等关系，然后观察等式两边的数，展开类比推理（仿写一道等式）。之后，引导学生利用几何图形进行说理验证，理解两边相等的道理。
在研究有关数的问题时，常常可以用画图策略来帮助分析和研究，从而验证发现的规律正确与否。例如算一算，比一比：
请你再写一组这样的算式。
为了验证猜想，我们可以在边长为a的正方形纸片上减去一个边长为b（a>b）的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢？可以用这样两种不同的方法（如下图）：
两种方法都表示剪去后剩余的面积，由此得出________○__________。
总之，图式推理题是学生形成和发展数学核心素养的重要资源，各学段教学的着力点和方法应因题而异，科学设置教学目标，并依据学生的认知特点选择教学方式，逐步培养他们的推理意识、想象能力，发展几何直观、符号意识。
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