跨学科融合由来已久。2017年，联合国教科文组织推出了《反思教育》文件，强调了知识融通理解的“新知识体系”。世界经合组织（OECD）在PISA2018“全球胜任力”测试项目，旨在评估全球、跨界和批判思维力。伴随着互联、智能思维的浸入，更是促成了学科边界的软化、交叉与整合。
在上述人才培养方式变革的大背景下，2022年颁布的义务教育课程方案（2022年版）》（下称“××新课标”）将“结构化”和“整合”作为了课改的核心内容，如“学段衔接整合”“大单元整合”“教-学-评一致性整合”“数学信息化的融合”“跨学科综合实践”等，都围绕立德树人，以“核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的获得与发展，发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观。”通过整合融通，促进学生“三会”的数学核心素养逐步形成。
“学科融合”的整体观念将是新课标催发未来小学各科新教材编写的重要方式，还是形成生本化、核心素养深度培养的特色来源。其实，有些学校和名师都已经走在了前面，如杭州市天长小学的“数学实验”项目、张齐华的“社会化学习”、华应龙精彩的整合化课例，都让我们提前领略到了学科融合、情景融通的前瞻理念和实践风景。放眼世界，备受关注的 STEM教育，业已成为国际公认的重要跨学科课程 ，也成为各国创新的基石。
跨学科让《G.E.B》成为奇书，这是一本计算机科普名著，但看了会让人爱不释手。书名中的“G就是哥德尔；E就是埃舍尔，一位荷兰的画家；B就是音乐家巴赫。他把哥德尔的不完备性定理和埃舍尔的绘画以及巴赫的音乐给联系起来。”书中用跨越众多领域的视角和融合的方式对知识进行全景和深度呈现。
数学是一门奇妙的基础学科，也可以视作一本神奇的“科学之书”。聚焦“数学味”，可以发现小学数学和其他学科有着众多“交集”。（如图1）
图1 小学数学与各科交集图
一
小学数学交集小学语文：意蕴相通
小学数学和小学语文的交集，体现在不同时间线的，各类文化呈现、穿越和内涵的多元联通与深挖上。蕴含着人文味和整合味的语文课堂，其内容及教学当然也不会缺少数学因子的“潜入”。现撷取几例与大家共品。
从宋代诗人邵雍的《山村咏怀》“一去二三里”，到唐代诗人杜甫的《绝句》的“两”“一”“千”“万”，古诗用数字勾勒出令人向往的美景；郑板桥对于春联上联“二三四五”的智慧理解，状元伦文叙为《百鸟归巢图》题的“数学化”的诗句，借助数学再现出了古人的睿智；语文“仰视”、“俯视”、“平视”等词语皆可用数学上的“角”和“°”来解释；“须臾”、“罗预”、“弹指一挥间”、“瞬间”、“转瞬”、“念”若分不清，可用数学上的“秒和小数”来量化；还有成语、谜语及歇后语中的数字信息随处可觅。不难发现，语文上的“实”“虚”以数学上的“数”“量”得到了对应和丰盈。
小学语文中融入“数学味”后让语文有了量感的具身体验和表情达意的逻辑构成，真实不乏情感，易懂且有趣。部编版五年级上册《语文》教材的《太阳》一课，有不少大数和长度、温度、时间组成的数量，例如，“太阳离我们约有一亿五千万千米远”这个距离的级别超越了常人视觉之所及，但文中用数量表述“遥远”是有数学的基础认知做支撑的：以苏教版数学教材来看，由于五年级学生已经具有大数理解能力，储备了多种量的实感体验及转化的基础，在基于标准长度体验基础上，学生通过语文上的定性对比和数学上的定量转化，从而达到对这个长距离感性体验和理性理解；再如，唐代元稹《一字至七字诗·茶》，整个诗句形成宝塔形状，从数量上构成数学中的等差数列造型，用文字不同数量的结构造型，逐步组构出文字、数字与形态融合的优美组合体。因此，语文融入数学，不只体现在内涵、意蕴，同样也会直观地外显在于语言的外在组织形式和形态美上。
当然了，语文学科和数学学科的交集不止于字词和句段的形式层面，小学生语言文字的理解转化能力、语文中思维结构能力（如《桂花雨》《松鼠》《珍珠鸟》等课的思维导图）、块茎思维的生长方式、大单元，基于任务群的问题式学习和项目式学习等，这些语文学习的技能、方法、策略、理念生成和实践创新，都基于内容并拓展在思维策略上，引发数学和语文教育思想的同频共振和共鸣。对于群文阅读、单元整体阅读等培养中采用的打卡方式也渗透着数学大数据的影子。
二
小学数学交集小学英语：形理相融
小学数学和小学英语的交集，通过字母抽象媒介作用，对数或数量关系字母（字母式）进行达意明理和抽象融合。
本次《数学新课标》对学生运用字母（符号）表达数、特别是表达数量关系更为重视，关注学生舍去“数学背景”进行抽象能力的培养。
数学中，用字母可以表示数、量、形、关系、公式、公理、定理、性质、推理及运算过程等，运用字母符号化能体现数学的抽象、简约和普适的特点。
英语和数学的融合，还能体现出数学内容的国际视野和思维改造世界的一般性，也有利于将中外数学进行深度融合和互补。例如分数读法上，现有数学教材读法强调“分”和“取”的意义表达，像4/7读作“七分之四”；而英语表达中则强调几个这样的分数单位，关注计数单位的核心概念作用，4/7翻译出来就是“four sevenths”，即4个1/7，两种读法结合会让分数有更多新课标的理解。就小学而言，英语学科更多地渗透在小学数学内容呈现与思维结构的表征中。
当然，在这两学科融合中，笔者也发现存在一些教材编写的不太兼容现象。例如，由于字体的差异，学生对字母“x”的写法产生混淆，孩子们使用的英语教材采用“棒棒体”书写字母，这种写法容易和数学上的乘号混淆。跨学科来看，小学数学和小学英语教材上字母的印刷字体及学生书写规范，不少都是各成一体的，缺乏字体细节上的“兼容”和“一致”，像这样看似细节问题，笔者也很期待在各科新教材编制中得到协调解决。
其实，小学各科教材也未停止更新和改进。例如，笔者所接触到的数学教材中的“公顷”的字母书写由原来的ha（hectare）变成hm²（square hectometer，即平方百米），这样变化后就和其他面积单位的构成方式形成一致，即通过将长度单位取平方后表达面积（和面积计算算理及方法一致，即数和数乘得到数，单位和单位乘得到计量单位），统一面积单位表达方式，使长度、面积和体积单位命名规则在内部一致中进行统整和升级，渗透量纲思想。
三
小学数学交集小学信息：思变相辅
小学数学和小学信息技术的交集，体现在对信息及数据处理策略、程序模型的有序思考，以及方案的辅助理解上。《数学新课标》也明确指出两者要融合。
我们常用的十进位值制计数方式，它的产生或许和人类的“基础硬件”10个手指有关（手指计数基本法则）。计算机的二进制匹配了数字电路和逻辑真假，是针对计算机硬件“开”“关”物理工作状态而设计的计数和运算方式，“0”“1”的构成也让硬件运算过程简单，也是适应实际的必然选择。
用计算机程序思维的方法进行问题思考和问题解决策略的规划，这在信息技术编程课程中应用特别广。笔者也曾听了一些信息课，如苏科版五年级《信息技术》教材中的《小猫出题》一课，本课就利用Scratch软件，先新建变量，为变量赋值，再进行脚本积木搭建（如图2），再运行、完善程序并个性创新（下图脚本结构基本意思：两个加数相加，这两个加数在1-10间随机选取一个数值，运算后，再通过人机应答和系统正确运算结果对照，进行判断并给出判断评价语）。在学生搭建脚本的过程中，其实就是思维导图的设计、运行、反馈、“补丁”、运行并完善的动态升级过程，也是图形化思维进一步结构化的形式。这个编程流程，思维迭代往复，形成“计算思维”螺旋上升的“尝试--验证--改进”的闭环过程，在运用Scratch编程软件中体现了“思维积木”的模型价值。在大数据、计算机程序思维和计算思维的协同发展下，正火的ChatGPT等AI人工智能将呈现出惊人的发展空间。
作为一名数学教师，当我第一次跨学科听这样的课时，确实感到震撼：没想到小学生的数学思维跨科后的内容竟如此丰富。小学数学和小学信息技术再深度融合，配合SOLO分类评价方式，重视创新思维的培养，可以让学生多一些教师角色思维，多一些主体性思考，多一些规划设计能力训练；教师要开发相应的跨学科主题活动，使之成为学科融合的新走向。
苏教版《数学》六年级下册有《比例》及《正比例和反比例》知识（新教材中“反比例”知识将移到初中），其中也蕴含着“变量”和“定量”概念，教材并未提及这两个概念。但由于Scratch编程课中对“变量”的先行理解和运用，已经让这节信息编程课成为了小学数学《正比例和反比例》教学的跨学科“种子课”了。当然，这两门学科对变量的处理还是有一定区别的：Scratch《小猫出题》重视变量中随机性的理解应用，小学数学中《正比例和反比例》这部分内容强化对两个量间相互影响的变和结果不变的初步的函数思想。
从数学的角度出发，小学数学教学的内容、方法、思维及策略其实是深度融合并又影响信息技术的；从信息技术成果运用看，信息技术则以“脚手架”和“小助手”的角色，为数学深度思维的培养提供强有力的经验、软件和硬件支撑。
“通过计算思维将各种信息约简和形式化”，这里的“计算思维”就是要让学生在数学学习中将数学思维和信息技术中的程序思维、验证思维充分融合，取长补短。数学老师和信息老师可以创新进行“同堂上课”，不同学科老师也可以进行跨学科衍展性实践研究。像这样在“类学科群”（内容交集、融合比较多的几种学科）中寻找“交集点”的价值，拓展成“交集面”的构课思路，对学生融合思维的数量和品质的增值应是很有帮助的。
四
小学数学交集小学美术：尺度相宜
小学数学和小学美术的交集，很多都体现在数形结合的“尺”“度”择取上，呈现在艺术、数学和现实的交融中，内化于感性和理性相宜里。
2019年高考，维纳斯“突袭”高考数学全国卷一，具有“黄金分割比”的“断臂维纳斯”爱神身高蕴含的“尺”“值”成了莘莘学子的一道“爱的坎”，当时也让不少数师生感到意外。从这里可以看出，学科融合的不仅有知识，也有对美、对和谐的共同解读和追求。
对于美和数学，《数学新课标》也予以了重视，史宁中校长也专门就数学中的美进行了“美与数学”专题解读。人美版五年级上册《美术》教材中，《美术中的比例》一课，通过对《溪山行旅图》和《维鲁维斯的人》的分析，对黄金分割也做了初步介绍（如图3）。些许遗憾的是，美术教材中的“比值”这一概念，在各版本数学教材中多数放在六年级，学生现在不一定能理解“比值”这个词，若这部分内容和数学教学进度相匹配，或转换成两数“商”的说法会更有利于学生基于现状的解读。
回到小学数学中，若将教材相关内容进行延伸，可结合数、形、比将“黄金分割”再进行度量化、抽象化和数学模型化：例如，0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……（斐波拉契数列），可结合圆的相关知识，让这些数字再进行可视化，让所勾画出来的“黄金螺旋线”（如图4）呈现出美，而这些“美”的模型在生活中更是普遍存在的。这样的数形结合、融入生活且被人们大量发现并认可，使得黄金比这个标准模型在人们的意识中完美且神奇，并长久地寄存于生活和思想中，成为一把“尺”，衡量其他事物魅力和美丽值。
同样，在人美版五年级上册《美术》教材中，通过《绘画中的透视现象》一课，使得学生对三维世界的二维对称和物形对应有所感悟，为小学数学教学中的长方体、正方体、圆柱和圆锥等三维立体图形的学习，奠定了具象、抽象和想象的基础。苏教版《数学》教材对于三维形体的深入研究放在六年级，是在二维曲线图形“圆”相关知识学习之后的。有了美术教材内容上的铺垫，学生三维立体图形的想象及抽象表达也打下了基础，形成跨学科间互融、互助和互促的状态。
五
小学数学交集小学音乐：韵律相协
小学数学与小学音乐的交集，交融在音韵和谐里，体现在周期韵律起伏的身心深度协调中。
巴赫的音乐成就，得益于莱布尼茨的数学著作，欧拉写下的《音乐新理论的尝试》将数学和音乐结合。莱布尼茨曾说“音乐是数学在灵魂中无意识的运算”；毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”；爱因斯坦说过“这个世界是由音乐的音符组成的，也是由数学公式组成的”……音乐与数学关系可谓源远流长。
日常小学音乐教学中的“形与声”的“外壳”其实也蕴含着数学：音乐中音的排列、命名和时值都渗透数学数与量的抽象；音符的命名和音符的时值关系成反比，是数学数量关系在音乐中的体现；我们的祖先通过竹管加上1/3或者减去1/3（即“三分损益法”），通过运算，由此得到中国传统五声“宫、商、角、徵、羽”；在音乐结构中的高潮部分也常常和黄金分割密切相关；音乐中的音符点组成音线，和声中不同音线可以构成音面，形成不同风格好似“立体抽象图形”的音乐作品，音乐中“点、线、面、体”组成了音乐的灵魂，和数学中几何“点、线、面、体”空间演进结构关系形成跨学科的神奇对应！这一系列音乐和数学的内在关联，从深层次说明了两学科之间是具有很多相似性和一致性的。因此，音乐和数学也都成了人类感受、再现和创造生活美的重要学科，融合形成“触动耳朵的情感思维”。
数学中最美公式e^iπ+1=0，在音乐中是否可以演绎出欧拉两百多年前的最美期待呢？
除了利用好音乐教材资源进行数学化外，在数学课中也可以恰当利用音乐内容的工具性协助数学学习，例如，在数学教学中为了帮助掌握知识和方法要点，可以编写富有音韵的儿童数学歌曲或者童谣；再如，学生思考与探究中可以以轻柔的背景音乐来衬托，以音乐记录时间，形成稳定的心境，让孩子习得数学，获得成功并享受到身心的愉悦。
数学追求的是数量关系、空间形式和思维超越的智性发展；音乐则追求音韵、情绪和思想的三方共鸣。数学与音乐其实是“孪生”、且共美的。
六
小学数学交集小学体育：静动相生
小学体育与健康可以为小学数学提供素材与问题的新资源，也能协助理解数学知识，在动静思维投入中，两者相融相生。
和其他学科一样，小学《体育与健康》（下称“《体育》”）常常会成为数学问题生发与教材开发的资源，承载着运动和健康的双重使命。义务教育阶段体育相关课程占比已经上升到10%-11%，《数学新课标》中也专门安排了“体育中的数学”主题活动，小学体育和小学数学交集的“面积”将越来越大，对师生素养提升的作用也日益凸显。以教学的小视角看，体育日常的队列训练中有很多数学元素都可以挖掘。例如“报数”活动渗透数的大小及分类知识，“走不同队形”渗透基本图形的认识理解，“转法”渗透对方向、位置和正负数知识的理解；当然，在游戏活动中也可以融入数学知识，例如“投球入筐游戏”，在设计的时候就可以让学生结合活动要求和对象知识经验，思考“如何根据学生人数，画、分一个让学生正好围和站的大圆？”“如何将球筐放在圆内的合理位置？”类似这样的问题设计其实就是《墨经》所记载的“一中同长”在体育游戏课中的呈现，还渗透“间隔排列”等有关知识的计算。
再如，在苏教版五年级《体育》教材中《迎面接力跑》的内容中也可以渗透目测、步测、估算和“身体上的尺”等知识，在强化“量感”训练中，促进学生“体感”“智感”的协调和同步，让小学数学在运动中实现“趣化”“抽象化”“策略化”发展。还有一些体育游戏在融入了更多学科的内容后，可以形成跨学科、大整合状态：如在灵敏性的体育训练中，传统案例是，给学生编号并围成一个圈，当老师报到一个成语，如“七上八下”“五花八门”“四面八方”，则这两个表示数字的学生迅速交换位置，两数字和若不大于10，表示和的学生就顺时针旋转一周，和如果大于10就逆时针旋转一周……当然，还可以多角度地继续数学化设计，如融入方向知识，利用“几点钟方向”进行拓展开发，形成更多的学科趣味融合。
还可以从更大的视域来感受体育中“数学味”的魅力。例如在进行韵律操队形设计或体育活动方案设计中，恰当运用数学的图形、比例、时间知识，统筹数据的测量和信息的收集，进行整理、运算、分析和表达。此处规划者不只是教师，也可以让学生全程参与，整体擘画、全面组织。可见，数学和体育的交集需要综合运用数学的多方面知识，需要多主体卷入共同参与的。
大家熟知的特级教师华应龙上的《阅兵中的数学故事》这一课，虽然教学内容不是来源体育课，但也启发我们：在与“阅兵”类似的体育课情境中，不管是数学老师还是体育老师，其实都可以深挖出更多的跨学科融合的探究资源，学生全主体参与活动分析，获得跨学科“立德树人”更丰实的思考。
若从健康的角度来看，可以用数学认识健康，如解读体重指数，了解人体骨骼、人体温度、知道睡眠质量等。
体育与健康几乎是以数学为支撑的，运动状态、运动成绩、健康质态等离不开数据，在大数据支撑下，健康、体质的优质提升可以通过数学表达和优化。
七
小学数学交集小学科学：知行相沿
科学学科将起始年级提前到一年级，足以见得课程改革对科学学科的重视。数学和科学的交集大量呈现在知识学习和工具应用中，是学习内容、方法、策略和结论的沿袭和迭代。
以江苏地区为例，现行教科版三年级上册《科学》教材中的《水到哪里去了》一课，要求学生利用集合图比较水和水蒸气的异同（如图5），其对数据的关系分析方法，为后期学习数学概念、定义、定律、定理、公理等关系的分类、整理及进一步分析理解提供方法支撑。
再如，对于苏教版四年级上册《数学》教材中“相交”“垂直”和“平行”就可以用集合图来表示三者关系；而苏教版《数学》五年级下《因数与倍数》单元，两数的“公因数”或“公倍数”的关系展示则可以用图5形式呈现数据，通过学科交集进一步寻找和理解两数的公因数和公倍数的实践内涵。
又如，教科版三年级上册《科学》教材，在《测量气温》这课中融入温度计的读写，为苏教版五年级上册《数学》教材的《负数》（新课标中，“负数”放入第三学段“主题活动”及初中）的教学奠定基础；同册《科学》教材《测量降水量》这课，融入了条形统计图知识，为苏教版《数学》四年级上册《统计表和条形统计（一）》单元的学习提供前置知识储备；《观测风》这节课则将“风向”概念和小学数学中的方向知识也进行了融合。
在整个教科版《科学》三年级上册教材中，大量融入了数学的观察、猜想、实验、验证和发现，和数学探索一脉相承、互为呼应。例如二下教科版《科学》配套《活动手册》中“观察我们的身体”，和苏教版《数学》教材二年级上“我们身体上的尺”内容相呼应。四年级的科学“凤仙花的一生”（如图6），让学生制作凤仙花高度变化统计图（折线统计图的雏形），这和苏教版数学教材五年级下册“蒜叶的生长”（如图7）实践活动相呼应。通过学科融合，科学探索，促进了学生问题解决能力的综合提升。
八
小学数学交集小学劳动：践思相共
数学学习源于生活、启于实践、成于思考。数学与劳动的结合，体现手脑并用、践思并举的健康发展质态。
小学劳动学科教材中，有很多和数学课程不谋而合的内容，例如，苏教版三年级上册《劳动与技术》（现为《劳动》）教材中的《剪纸团花》一课，运用四折法剪纸形成图案。通过折叠、设计、绘制、剪切来想象和剪制各种美丽的图案，其中蕴含了对轴对称图形知识的初悟。《剪纸团花》这一课正好和苏教版《数学》教材三年级上册《平移、旋转和轴对称》知识对应，数学教材上对“轴对称”的引入也是基于对折，通过折剪图形再深入认识轴对称图形。
在“双减”和新课标的双重背景下，小学劳动成为中小学一门独立学科，在与小学数学的交集中，互相促进、互为补充。
其实，以小学数学为核心学科，围绕“数学味”，各个学科往往是与数学多层次相互叠加和交集并存的。例如：“组合图形”作为“数学味”的关键内容，小学数学教材在多处都有安排，重视在组合图形的周长和面积探究中培养学生的转化思维能力；而人美版六年级美术有《图形的魔术组合》这节课，重点激发学生以“打开脑洞”的方式，运用“重组、比例、重叠、倒置、替换、添加”等方法，促进学生物、形组合创新能力提升；小学信息技术也有用绘图软件绘制组合图形和用编程绘制组合图形的相关内容。通过对基本图形的辨别、组合图形组成规律的寻找和编程语言的逻辑化转译，促进了学生多角度综合理解组合图形能力的发展。上述例举的三门学科都以组合图形为对象，但培养侧重点不同，实践和逻辑起点也不一样，通过多学科学习代偿和整合提炼，学生组合图形认知会更丰富和完整。
综上，小学数学和小学各科内容，看似有边、却是无界。随着新课标的落实，“数学味”将会更深入、更深度地融入到诸多学科学习和现实实践中，从内容、实践、反馈建立跨学科评价体系，形成师生跨学科核心素养。
《道德经》中有句名：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，数学与其他学科的交集，将不断激发和派生出更多的知识与理解。对于小学各科交集出的“数学味”，教师如果仔细寻找、用心体悟、及时积累，会发现更多的小学数学与其他学科交集的“凡例”“范例”和“特例”，亦会迁移和挖掘出语文、英语等学科与其他学科的交集。
转自朱红伟名师工作室微信公众号，仅作学习交流，如有侵权，请联系本站删除！
