数学在某种程度上是一个工具。通过数学，来研究别的事情。
在本质上数学研究三类问题：一个是研究数量的问题，一个是研究空间图形的问题，还有一个研究随机现象。
就是有的事情可能发生，也可能不发生，这样的问题。数学也进行研究，作为研究这三类问题。
随着社会的发展，数学的应用就越来越广泛了，在我们的日常生活中几乎随处可见，而且学习其他学科的时候，也要更多地用到数学。
数学专业学些什么呢？
一类是分析类的，比如像在大学中学习的微积分、实变函数、泛函分析这样的一类课程；
还有一类跟图形有关的，比如拓扑学、微分几何这样的一类课程；
还有一类就是研究随机现象的课程，比如概率论，就是一件事情可能发生，也可能不发生，发生的可能性有多大，比如今年的GDP增长，跟去年的GDP之间有什么关系，我们如何预测一件事情；
还有，比如像卫星、反导弹，如何一个导弹过来，这个导弹怎么打上去，这样的一类课程。
数学思想主要有哪些？
数学思想，我认为有三个：抽象、推理和模型。
数学是把现实生活中的一些东西抽象到数学内部来，而数学内部的发展则完全依赖假设和推理，然后再借助模型把数学的结果应用到外部世界。
抽象只是针对两种情况，一是数量和数量关系；二是图形和图形关系。抽象之后的东西是如何存在的呢？
这就是哲学问题，我称之为“抽象的存在”。我用这个道理来解析形而上和形而下。其中的“形”是什么？我认为就是抽象的存在。
什么是抽象的存在呢？
就是当你看到了足球，看到了乒乓球，就会想到圆。但是，如果没有足球，没有乒乓球，你脑子里仍然有个圆，而且你能画出这个圆来。
这个圆绝不是简单的复制，因为现实的圆是三维空间的，而在纸上画的圆是二维空间，所依赖的头脑中圆的存在就是抽象的存在。
我认为，古代先哲所说的形而上的“形”就是这种抽象的存在。
为什么要在形而上和形而下之间构建一个“形”呢？因为形而上的“道”太遥远而不可及，形而的“器”太具体而不可信。
推理有两种，演绎推理和归纳推理。
研究演绎推理时，我非常想知道中国古代先哲是如何思考问题的，他们思考的逻辑是什么。
我苦思冥想老子的“道”是什么意思，孔子的“仁”到底指什么。
后来，突然想到老子说的“道”，孔子说的“仁”，也许只是认识问题的出发点，即“道”就是好的，凡事需从“道”出发，与西方哲学一样，出发点本身是不用讨论的。
这或许就是老子所说的“道可道，非常道。名可名，非常名”的真正含义。而对于具体的事物，就可以用这个出发点“道”来进行判断。
相比西方哲学，中国古代哲学中没有演绎推理，是一种更实用的哲学。
演绎推理是从大命题走向小命题的推理，因此不能用于发现只能用于验证。
那么，中国古代没有演绎推理，许多事情是怎么推理出来的呢？我认为是分类，借助的思维方法是归纳推理。《系辞》中说物以类聚。
孔子说“仁”，把“仁”分为许多类。大概可以认为，中国古代哲学最高层次的是“道”，其次是“仁”或“德”，再往下是“礼”，“礼”都不在了，整个社会就崩溃了。
学习数学对一个人的发展有多大好处？
你不一定是一辈子都从事数学的研究，
比如你从事经济学的研究，你习惯于定量分析的话，那你有较好的数学知识就很好；
比如对于生物学的研究，如果你对基因的遗传规律感兴趣的话，那你可以学习数学知识；
比如对于物理，物理中更多的量化的事情，要感兴趣的话，那你学习数学。数学是一个基础性的学科。
对于一个学生。
你希望进行习惯于理性思维，并且希望以后进行一些理性思维的话，学习数学当然有很大的好处，
一方面他学会了计算，还有一方面学会了比较逻辑的思考问题，这个是很有用的。
如何让孩子对数学产生兴趣？
让孩子产生兴趣，你就得有有趣的问题，让他这个问题解决过程中，感觉到一些乐趣，这个是大概是很重要的问题。
你看这个孩子对什么样的问题感兴趣，比如这个孩子喜欢音乐，那你就知道，这个音乐跟数学什么关系呢？
这个时候，非常有趣的故事了，就是传说，古希腊的一个叫做毕达哥拉斯，这么一个大数学家，他经过铁匠铺的时候，就发现有的铁匠铺敲的声音非常好听，有的铁匠铺不好听，他就进去研究，后来发现，锤子的重量之间成比例的就和弦，要不然就不和弦，然后他就创造了音乐，音乐就是这个弦拉的一样紧，这个弦之间成比例关系的话，敲出来的就（和弦），要不然就不（和弦），所以现在的胡琴什么的，都是这么样创造出来的，这就有很有趣了嘛。根据孩子具体情况，提出具体的问题，引导他，这是很重要的。
学数学要做大量的题目吗？
学数学不做题是不行的，但是大量做题也不一定是必须的。
因为你做的每一道题是经过思考得到的是很重要的，而不是靠训练得到的，所以我倒是建议做一个题做的稍微难一点。
只有稍微难一点的题，你才能经过认真地去思考，不要做个题10分钟，20分钟都能做出来，有时候你做一道题，用一天或者两天时间，做出来的时候，你会突然感觉你明白了很多事情。
但是现在的高中阶段这个老师教学中，我总是批评有的老师就是，两个小时做出来的时候，你恨不得马上就把答案告诉学生，其实不一定这样，你可以让学生很认真地去想。
只有经过学生思考之后，学到的东西才是他自己的，要不它永远是老师的。
有人认为，数学家整天计算做题。
数学家不一定整天计算，不一定是做题，他在很多时间是在思考，根据现实的情况来构造一个模型，来解释这个现象，这是很有趣的一件事情，然后在这个模型之后，求解的过程中才是做题。
研究数学，最大的乐趣在于什么？
最大的乐趣，就是有时候研究一个没办法解决的事情，后来你突然想出来一个办法，把它解决掉了以后，用起来很好用的时候，你会感到非常高兴。
就是前一段时间，来解决一个叫做市长公开电话，就是市民给市长打电话，打完电话之后呢，接听员听了之后，希望通过计算机自动分类，说这件事情是哪个区处理的，这个事情是公安局处理，这个事情是民政部处理……
这样的事情。用计算机能不能处理这件事情。
一开始觉得没有办法，后来想出来一个办法，把这件事情处理了。而且计算机会自动学习，原来分辨率是60%多，越来越好，越来越好，现在90%多了，这个时候你会感觉非常高兴。
就是数学，刚才我们谈到了，数学是应用非常广泛，比如现在网页搜索，这些东西底下都是数学。
学习数学最重要的是什么呢？
我给学生们的建议有两个——
一个是要有兴趣，你在学习的过程中，特别是克服了困难过程中，你感到乐趣这是很重要，因为兴趣是学习的最根本的动力。
还有一个学习数学要会思考，尤其刚才说的希望理性思维，这样的才适宜学数学。
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