“多边形的内角和”是苏教版小学数学教材四年级下册一次“探索规律”的活动课。笔者在前一届毕业班的一节复习课时，提出这样一个问题“你们还记得多边形内角和的计算公式吗？”，大部分学生都摇摇头，只有个别学生经过回忆尚能说出计算公式。在求多边形内角和时，大部分学生又都能算对。引发了我的思考，学生在探索多边形内角和的规律时，能理解并掌握将多边形转化成多个三角形，再利用三角形内角和来求多边形内角和，但对多边形内角和计算公式却记忆不深。究其原因，是学生没有充分经历自主探索规律、建构多边形内角和模型的过程。因此，当笔者再次执教这一课时，对教学内容的关键问题进行具体的梳理：为什么要将多边形转化成多个三角形？怎样才能转化为多个三角形而不改变内角和？转化成的三角形个数与多边形的边数有怎样的关系？在教学时，笔者根据这三个问题来设计教学层次，尝试引导学生在比较的过程中选择策略、优化方法、归纳算法，自主建构计算多边形内角和数学模型。
实践
片段一：在比较中感悟策略
师：（课件出示四边形）刚才有同学猜四边形的内角和是360度，你们同意吗？有什么办法可以求出这个四边形的内角和？自己试一试。
生1：我用量一量的方法，量出每个角的度数，再加起来，求出四边形的和是 360°。
生2：我把四边形的四个内角拼到了一起，组成了一个周角，是360°。
生3：我将四边形分成了两个三角形。
我从四边形的一个顶点出发，画一条对角线，将这个四边形分成了两个三角形。一个三角形的内角和是180度，两个三角形的内角和就是360度。
师：比较三位同学的方法，你更喜欢哪一种？
生1：我喜欢量一量的方法，直接就量出来了。
生2：我更喜欢分一分的方法，把四边形分成了两个三角形，两个三角形的内角和加起来就是四边形的内角和，算得更快！
生3：分一分，量一量都可以，但是把四个角拼到一起不太方便。
师：刚才同学们用三种方法都求出了这个四边形的内角和。老师有一点疑惑，这个四边形的内角和是360度我们就说所有的四边形内角和都是360度吗？
生1：不能。
生2：多找一些四边形求一求内角和，看它们的内角和是不是都是360度。
师：找来了四个各不相同的四边形，请你们来求一求它们的内角和是不是360度。
教师组织学生独立探究。
师：你能说说你的发现吗？
生1：我把这四个四边形每个都分成了两个三角形，每个四边形的内角和都是两个三角形的内角和，所以是：180°×2＝360°。
生2：我想用量角器量，好像也都是360°，但是这几个四边形的内角不太好量。
师：那你现在还想用量一量的方法吗？
生：一个一个角量太慢了，用分一分的方法更快。
师：通过分一分，我们很快就求出这四个四边形的内角和都是360度。像这样各不相同的四边形找得完吗？
生：找不完。
师：它们的内角和一定都是360度吗？
生：不管什么四边形都能用分一分的方法分成两个三角形，所以四边形的内角和一定是360度。
师：像这样通过分一分把四边形变成两个三角形来计算内角和的方法，在数学上有个更好听的名字，就叫作——转化！
评析
这一环节的教学设计分为三个层次。第一层次，从相对“简单”的直角梯形入手，让学生自主探索求四边形内角和的方法，在交流中呈现“量一量”“拼一拼”“分一分”等方法，在比较中初步体会不同方法的优劣；第二层次，由一个到多个，让学生自主研究四个不同形状四边形的内角和，在研究的过程中，学生会感知到“量一量”“拼一拼”这样的方式会显得操作困难或者不够精准，学生在比较中会发现，“分一分”的方式能够更便捷地发现这四个不同形状的四边形内角和都是360°，初步感知了其中的奥秘；第三层次，由一些到普遍，教师引导学生从具体操作到理性思考，任意一个四边形都可以通过“分一分”转化成两个三角形，且两个三角形内角之和就是这个四边形的内角和，所以，四边形的内角和一定是360°。通过拾阶而上的学习层次，学生由利用学习三角形内角和时的方法和经验来研究四边形内角和，到利用“转化”这种策略来研究四边形内角和，从具体形象思维逐步走向抽象思维，理性思维得到了进阶。
片段二：在比较中优化方法
师：五边形内角和是多少？你有什么猜想？
生：三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，我觉得五边形内角和有可能是540°。
师：这位同学觉得有这样的规律，可能大家有各自的猜想，你能试着研究一下五边形内角和吗？
学生们取出教师提供的五边形，同桌一起研究五边形内角和。
师：大家来交流一下研究成果。
生1：我们把这个五边形分成了三个三角形，五边形的内角和就是3个180°,是540°。
生2：我们把这个五边形分成了五个三角形，五边形的内角和就是5个180°，我们算出来是900°。
生3：我们也把这个五边形分成了三个三角形,我们的分法和第一位同学不一样，但我们发现五边形的内角和是540°。
师：现在有两种不同的结论，你们认为哪种方法更合理？为什么？
生1：我们也是分成3个三角形，他们两种分法不一样，但分成三个三角形，内角和也都是540°。
生2：分成五个三角形分多了。
师：你是指哪里多了？
生：这五个三角形中间角的度数也算进去了。
师：你指的是这五个角吗？它们是这个五边形的内角吗？
生：它们不是五边形的内角。
师：这五个角合起来形成了一个什么角？有多少度？
生（异口同声）：是周角！周角是360°。
师：原来问题出在这儿。如果照这种分法，五边形内角和还要去掉哪些？是多少度？
生：还要减去中间的周角，也就是900°-360°=540°。
师：原来还是540°。那你们觉得把五边形怎样分，能够更方便地算出内角和？
生：3个。
师：第一位和第三位同学的分法不一样，但有什么共同的地方？
生：我发现他们画的起点不一样。
师：虽然分的时候起点不同，但什么是相同的？
生：他们选定一个点，然后从这个点出发，连接其他的点。
师：观察得真仔细，他们的方法其实是一样的。正好能分成三个三角形，这样的分法比较方便。
师：如果是六边形，它的内角和又是多少？
生：（异口同声）720°。
师：下面是几个同学的分法，可以这样分吗？
出示下图：
生：都分成了4个三角形，它们的内角和都是720°。
师：你更喜欢哪种分法？
生：他们有的是从同一点出发分的，有的是从不同点出发。我喜欢从同一点出发，这样画的更快，而且不会重复。
师：它们的分法是不是都把原来六边形的内角分？有没有增加其他的内角？
师：看来分也有窍门。从同一个点出发依次连接不同的点，这样的分法更清楚、更有序，更方便我们计算图形的内角和。
师：回顾刚才四边形，五边形，六边形的分法，再请同学来说说怎样才能有序地把多边形分成三角形？
生：从同一个顶点出发，连接其他的顶点。
评析
在前一环节的研究中，学生已经发现“分一分”的方法比较便捷，这一环节要让学生思考“怎样分”比较合理。教师以五边形作为突破口，通过两次比较，引导学生对“分一分”的方法有理性思考：先对五边形分成三角形个数不同的两种方法进行比较，通过比较可以发现，不增加分割出图形的内角时，比较简单、比较精确，感受把多边形分成最少的三角形最方便；再对分成三角形个数相同但起点不同的两种方法进行比较，体会只要从一点出发连接其它不相邻点，这种方法的清晰、有序。通过两次比较，学生体会到三种方法之间的区别与联系，在比较中明晰，在比较中融通。在研究五边形的基础上，再去思考六边形内角和，不仅巩固了“分一分”的方法，还有利于学生发现和提炼规律。考虑到学生前面已有多次“分”的经历，在学习六边形内角和时，教师呈现了三种不同分割方法，需要学生去理性思考，再作出合理判断，在理解多种“分”法的基础上，去进一步体会从同一点出发的方法更有序、更简洁。最后，通过对四边形、五边形、六边形“分”的方法进行回顾和比较，纵向概括与提炼出多边形内角和的计算方法。
片段三：在比较中建构模型
师：你们现在能够很快知道七边形、八边形、更多边形的内角和吗？你是怎么得到的？
……
师：通过刚才对多边形内角和的研究，现在我们一起把这张表格填一填。
师：观察表格中的数据，你有什么发现？
生1：我发现分成的三角形的个数总比多边形的边数少 2。
生2：我发现每多一条边，内角和就多180°。
生3：要求多边形的内角和只要把分成三角形的个数乘180°。
师：你们真会发现，已经找到了多边形内角和的小秘密。
师：（出示十二边形）它的内角和多少呢?你能说出方法吗？
生：十二边形的内角和是1800°，可以用“180°×（12－2）”得到。
师：谁能用一个式子来表示多边形内角和的计算方法?
生：多边形的内角和＝180°×（边数－2）（板书）
师：如果是n边形的内角和呢，你又该怎样写？
生：n边形内角和＝180°×（n－2）（板书）
师：这里的n－2表示什么？
师：为什么分成的三角形的个数总比边数少2呢？（课件出示四边形、五边形、六边形分割图）
师：少的这个2就藏在图中，仔细观察，你找到了吗？找的同学上台圈一圈，画一画。（鼓励学生思考，帮助学生组织语言，探究原因。）
生1：因为从一个顶点出发连接其他顶点，和这个顶点相邻的两个顶点不需要连接，所以总是n-2。
生2：总有两个三角形的两条边是多边形的边，其他三角形的都只占一条边。
师：你们观察的真仔细，我们不仅会计算四边形内角和，还知道了为什么这么计算。
评析
这一环节的教学中，依托学生前面的探究，通过学生观察、比较、分析去概括、提炼多边形内角和的计算公式。学生会利用计算公式求出多边形的内角和，但这并不代表学生真正建构出了数学模型，还需要进一步的思考。在教学中，教师不仅让学生“知其然”，而且还让学生知道“所以然”，通过数形结合的方式，引导学生再去理解“边数-2”，就是表示的是分成的三角形个数，从而有意义地建构出多边形内角和的数学模型。
总 评
学科教学不仅是学习知识、掌握方法和能够应用，更重要的是借助学习的过程发展能力和提升素养，进而真正实现“育人”的追求。同样，本课时的学习，不仅是掌握多边形内角和的计算方法，会用这一方法计算出多边形内角和，还要在学习的过程中感悟知识产生、发展的过程，学会探究、建构的方法，领会其中蕴含的数学思想，促进数学思维进阶，真正提升学生的数学核心素养。
自然界的每一事物都是在同其他事物的相互联系中表现出自己的许多属性。在这些属性中，既有相同的属性，也有相异的属性，只有把握这些相同点和相异点才能对事物有所认识。因此，比较是分析与综合，抽象与概括不可缺少的条件。在多边形内角和的学习中，教师多次引导学生进行比较，在比较中明晰，在比较中发现，在比较中思考，在比较中提升。
1.在比较中优化。在学习四边形内角和时，学生凭借他们已有的知识和经验，提出了“量一量”“拼一拼”“分一分”等方式来计算四边形内角和，通过学生实际操作和交流分享，学生自然而然地会对这几种方法进行比较，在比较中学生能体会到“分一分”的方法，既方便又准确，是解决四边形内角和比较好的方法；在学习五边形内角和时，同样是“分一分”，有的学生将四边形分成三个三角形，有的学生则分成五个三角形，在比较中帮助学生理解五边形分成三个三角形，求它的内角和更合理、更简便；在学习六边形内角和时，都分成了四个三角形，通过对不同分割方法的比较，让学生感悟到从一点出发分，更有序、更策略有学生分成五个三角形，在比较中理解怎样分更合理、更简便。利用不同表征进行比较，能够让学生更加深刻体会方法、策略的优势。
2.在比较中勾连。无论是四边形内角和的教学中，还是五边形、六边形内角和的教学中，教师也是多次引导学生进行比较，类似“用怎样的方法比较好？”“虽然三角形个数相同，但什么不同？”“虽然起点不同，但是什么是相同的？”这样的问题，引导学生通过比较激发学生深入思考，从而在异中求同，发现并揭示本质，求多边形内角和时，都可以将多边形“转化”多个三角形，借助三角形内角和的知识，可以很快求出多边形内角和。而在分割为多个三角形的过程中，从同一点出发去分割，这样的分比较简洁。在比较中勾连知识的本质，能够让学生更深刻地认识规律，发展数学思维。
3.在比较中建构。数学学习不应该仅仅停留在“分”的方法和“算”的方法上，而应该在理性思考的基础上概括规律、建构模型。有专家认为，掌握了模型建构的方法才是真正拥有了认识世界的工具。在本课时的教学中，教师利用比较对“分”的方法和“算”的方法进行了勾连，但没有止步于此，而是进一步对不同边形的多边形的“算”法进行比较，在实际问题的表象中提取本质，去抽象建构起数学模型，又通过“数”与“形”的比较，引导学生在“形”中找“数”，借助数形结合，突破了多边形边数与分割成三角形个数之间的内在联系，帮助学生真正理解和构建多边形内角和的数学模型。这样的数学学习能更好的发展学生数学核心素养。
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