从某种意义上，学习就是一种探索。只拥有相关的知识体系对学生来说，已经不是学习目的，经历知识的探究过程，在简单层次上成为科学家：寻找真正的问题答案，自己品尝科学家研究的艰辛和愉悦，才是学习的真正价值所在。因此，教师应努力帮助学生成为研究者，让学生在未知的领域中主动探究、有所发现。
苏教版教材在四年级下册《三角形、平行四边形和梯形》单元，分别从边和角两个要素研究三角形、平行四边形和梯形的特征。研究三角形，不但整体感知三角形的特点，还重点研究三角形三边关系、三角形内角和。在单元的最后，安排了探索规律——“多边形内角和”。从知识体系来讲，分别认识各种多边形特征，再运用探究三角形内角和的经验来探索多边形内角和，符合知识发生和发展的逻辑。但是，从学习者的角度，两次探究内角和，不仅把探究的问题分散，而且压缩了探究的空间、降低了探究的意味。
教学中能否把“三角形内角和”与“多边形内角和”有机整合，利用一个课时展开研究性学习？我们通过多次实践，努力聚焦具有较大探索空间“内角和”核心问题，为学生精心选择探究素材、递进安排探究活动，引领学生像科学家一样开展研究活动，让学生在获得数学结论的同时，积累了探究数学问题的活动经验、品味了科学探究的成功愉悦，发展了用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达的核心素养。
教学实践
一
认识研究的对象。
1.激活经验。
师：同学们已经认识了哪些平面图形？
生：三角形、长方形、正方形、平行四边形、五边形、六边形，等等。
师：边数最少的是哪个图形？
生：三角形
2.认识内角。
师：你对三角形有多少了解？请你介绍给同学们。
生：三角形：三个顶点，三条边，三个角；（标注角）
师：三角形的这三个角，通常称为：内角（板书：内角）
师：其他的图形各有几条边，几个角？
生：长方形、正方形、平行四边形都有：四条边，四个角
师：这些角也被称为“内角”（标注角）
生：五边形：五条边，五个角；（标注角）
师：都在图形的里面。这些角，我们称之为图形的内角。
师：找一找，六边形、七边形、八边形的内角。（板书：多边形的内角）
教学思考
数学探究要从认识研究对象开始。内角和，探究的是多边形内角的规律。课始，教师通过复习多边形，激活多边形有几条边就是几边形的认知经验，进而通过标、数和找，聚焦本课要研究的对象——内角，从而明确本课研究的内容是多边形内角和的规律。
二
研究三角形内角和。
1.简单猜想。
师：研究问题，我们往往从简单的入手，你们知道三角形的内角和是多少度吗？
生：三角形的内角和是180度。
师：很多同学都知道三角形的内角和是180°，但是，没有经过科学验证的结论我们只能把它叫做一种猜想。
2.研究特殊三角形。
出示两个三角尺及其上面每个角的度数。
师：要验证三角形的内角和是180°，我们不妨从身边最熟悉的三角形入手开始研究。这是两把三角尺，这两个三角形的内角和是多少度呢？
（预设：45°+45°+90°=180°、60°+30°+90°=180°）
引导：通过计算我们发现这两个含有直角的三角形的内角和是180°
师：那是不是所有直角三角形的内角和都是180度呢？
师：早在17世纪，法国数学家帕斯卡在12岁的时候就已经推导出了这个结论。让我们用数学的眼光去观察，看看他的验证过程对你有怎样的启发？
师：你知道任意的长方形和正方形，它们的内角和是多少度？
生：长方形和正方形的每一个角都是直角，所以，它们的内角和一定是360度。
出示下图：
师：将长方形沿着对角线平分，可以分成两个完全一样的直角三角形，这时，两个三角形有什么特点？
生：分成了两个完全一样的直角三角形。
师：这个直角三角形的内角和呢？
生：它的内角和是360度的一半，一定是180°了。
师：这是就是帕斯卡的思考，你能说一说吗？
生2：任意一个长方形和正方形都可以分成两个完全一样两个直角三角形，每个直角三角形内角和都是180度。
生1：长方形的内角和是90°×4=360°。每个三角形的内角和都是长方形内角和的一半，360°÷2=180°。
师：：他们都具备了数学家的思维。掌声送给他们。
师：科学研究的方法往往从熟悉的，或者是简单的出发，我们刚才就是熟悉的平面图形长方形、正方形来思考的，我们现在再从简单的来研究。
3.研究一般三角形。
师：法国数学家帕斯卡还研究了一般三角形的内角和。
师：你能试着像数学家一样研究吗？老师给每组同学准备了四个三角形，用你的方法试着研究。
出示活动1要求：
（1）选一选：每人选择一种三角形，先标出内角；
（2）做一做：同桌商量，选择不同的方法完成研究；
（3）说一说：同桌交流，说说你发现了什么？
学生小组合作，老师巡视。
组织交流：
① 测量：
师：同学们，你们几个测量出来三角形的内角和都是180°吗？
生1：是的，将三个内角的度数加起来是180度；
生2：我算出来是181度。
师：这几位同学量出来的三角形的内角和大致都在180°左右。用量角器量角的时候可能会存在一些误差。需要我们特别细致。有误差的同学，我们过会儿用其他方法再试一下。
② 撕拼：
师：我们再看看其他同学的方法。
生：我将三个内角撕下来，再拼在一起。
师：拼在一起，怎么证明三个内角和是180度？
生：它们拼在一起组成了一个平角，就是180度。
师：三个内角拼在一起，把三角形的内角和转化成了一个平角，说明三角形内角和是180度。
师：让我们把掌声送给几位同学。数学是一门简洁的学科，转化的策略可以让我们的学习化繁为简。
③ 折叠：
师：其实，书上还为我们介绍了一种折叠的方法，在不破坏三角形的情况下，我们也能将三角形的三个内角转化成一个平角。一起去看看吧。
课件出示折叠的方法视频。
师：神奇吧，你们想来试试看？特别是刚才测量的同学，通过折叠，你能说明三角形内角和是180度了吗？
老师顺势介绍：其实这种折叠的方法有一个小窍门，我们要先找到两条边的中点，将这条边形成的角沿着中点连成的线段折叠，然后再去折叠另外两个角。
师：大家都想出办法，像数学家一样研究了三角形内角和，现在我们能够请确认三角形内角和了吗？告诉老师，三角形内角和是多少度？
教师取出一个三角形。
师：那么，帕斯卡又是怎么研究三角形的内角和呢？
将三角形沿着高拆分成两个直角三角形。
师：你有没有什么想法？
师：聪明的帕斯卡利用直角三角形的内角和是180°，在三角形中画了一条高。将这个三角形拆分成了两个直角三角形。你明白他的想法了吗？
生：直角三角形的内角和是180°，两个直角三角形就是360°，再减去两个90°）
评价：说的怎么样？掌声送给他。
出示各种各样的三角形。
师：利用帕斯卡的方法，你能说说这些三角形的内角和我们又该如何验证吗？
师：不论是什么形状大小的三角形，都能通过做高的方式来验证。帕斯卡用推理的方法也证明了三角形内角和是180度。他的研究至今还给我们启发。
4.简单应用：
（1）你能根据每个三角形中已知的两个角的度数，算出另一个角的度数吗？再判断一下，它们各是什么三角形吗？
（2）用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，拼成的三角形内角和是多少度？
教学思考
三角形内角和是本课研究的第一个内容，也是具有逻辑关系的第一个探究问题。本环节，教师既注重探究方法的指导，又注重探究过程的经历和探究经验的积累。从探究方法上，既引导学生借助操作开展数学实验，又从数学推理（逻辑证明）的角度两次组织学生理解帕斯卡研究同样问题的方法，不仅尝试理解数学家探究的方法和过程，而且亲自探究体验，像数学家那样自主研究数学问题。从探究过程上，教师引导学生既经历了从简单问题入手到复杂问题解决的过程，也经历经历了从特殊情况到一般情况的问题研究过程，还经历了从猜想提出问题，到验证得到结论，再到应用结论解决问题的过程。从探究经验上，学生不仅积累了从简单问题入手、从特殊到一般、观察—模仿—创造、发现—应用的研究经验。这些丰富的探究经验，又成为了进一步探究多边形内角和的基石。
三
研究多边形内角和。
1.自主探究
出示活动2要求。
（1）选一选：每人选择一种图形，先标出内角；
（2）做一做：小组商量，你准备选择怎样的方法完成研究；
（3）说一说：小组交流，说一说你的研究方法，对其他同学的方法有什么疑问？
学生分组探究，老师巡视。
2.汇报分享。
师：我们还是从简单入手。
师：四边形的内角和是多少？（出示一般四边形）
生：它的内角和也是360度。
师：你是怎样发现的？
生1：可以拼，将四个内角拼一起；（撕拼）
生2：可以量，量出四个内角的度数，再加起来；（测量）
生3：可以画，将四个角画再一起；（画拼）
生4：我将四边形拆分成两个三角形，因为三角形的内角和是180度，两个三角形内角和加起来就是360度。
师：前面三位同学利用实验的方法，得到了四边形内角和是360度，后面一位同学像帕斯卡那样研究了，推理出四边形的内角和是360度。你们都是小小数学家，为你们点赞！
师：谁来介绍一下五边形？
生：我们可以把五边形拆分成三个三角形，一个三角形的内角和是180°，五边形的内角和可以用180°×3=540°。
师：六边形呢？七边形呢？八边形呢？
生1：把六边形拆分成四个三角形，一个三角形的内角和是180°，六边形的内角和可以用180°×4=720°。
生2：把七边形拆分成五个三角形，一个三角形的内角和是180°，七边形的内角和可以用180°×5=900°。
生3：把八边形拆分成六个三角形，一个三角形的内角和是180°，六边形的内角和可以用180°×6=1080°。
师：如果是十边形，十五边形，一百边形，你还继续这样分割吗？那这里是不是有什么规律呢？小组讨论讨论。
师：谁来说说你们的发现？
师：如果是n边形，它的边数就是多少？（n）可以分割成多少个三角形？（n-2），那内角和可以怎么求？（180°×（n-2））
教学思考
借助解决简单数学问题的研究经验，复杂问题也就迎刃而解。由简单的三角形内角和到复杂的多边形内角和，探究问题自然生成。本环节，教师给予学生更大的研究空间：让学生直面问题，自主展开研究，在汇报中，学生充分展示作为科学家的“研究范”：不仅有数学实验，还有像数学家那样展开数学推理，用数学的思维思考数学问题；不仅解决一个个具体的问题（四边形到八边形），而且能够主动发现藏在多边形内角和中的规律，用数学的语言表达自己的研究成果。
四
应用研究成果。
1. 十边形的内角和是（ ）度。
2.一个多边形的内角和为1260度，这个多边形有（ ）条边。
3.小明有一个设想:2024年奥运会在法国巴黎召开，他想设计一个内角和是2024°的多边形图案，这多有意义啊，小明的想法能实现吗？
教学思考
获得像数学家一样成功研究数学问题的高峰体验，是数学学习的强大内驱力。在发现多边形内角和规律的基础上，给予学生应用研究成果解决实际问题的机会，让学生在巩固应用中体验成功的愉悦，获得研究的满足感、幸福感，同时可以驱动学生进一步研究更有探索意味的数学问题，增强争做小小数学家的持续动力。
教学思考
数学是研究数量关系和空间形式的科学。多边形内角和，研究的是三角形、四边形等多边形内角之间的关系。无论是三角形内角和还是多边形内角和都有着丰富的研究内涵和较强的研究价值。如果从知识结论的角度，让学生知道三角形内角和是180°和知道n边形内角和=180°×（n-2）的公式，也只是分分钟的事情。但是从数学课程教育价值来审视这一内容，又充盈着丰富的探索空间。怎样让学生在面对这样的数学问题时，能够像科学家一样展开富有迷人魅力的研究活动？从而在自己发现数学结论的同时，体会数学研究的愉悦、积累数学研究的活动经验，发展数学核心素养？结合实践，我们认为，教学中要把握科学研究的四个要素。
1.明确研究对象。
数学研究，既要问题明确，更要对象明确。“内角和”，研究的对象是多边形的内角。而在小学数学教材编排体系中，学生认识的多边形的角，都是指内角。教材只是介绍是三角形的角，而没有给出内角的概念。所以，在实际教学中，部分教师可能认为“内角”是学生不教自明的概念。其实并没有这么简单。科学研究是一件严谨的事。研究对象不明确，就影响研究的结论。因此，教学的开始，教师通过经验激活和直观操作，让学生认识“多边形”和“内角”，为研究的深入开展定向。
2.感悟研究方法。
科学的数学研究是有方法的。小学阶段需要感悟和运用的研究方法主要有数学实验和数学推理。数学实验，是基于感性和操作，通过归纳推理的方式获得数学结论，小学阶段的数学结论大多通过这样的方法而获得。数学推理，是基于已有的数学事实和结论，通过有理有据的推导，得到新的数学结论的研究方法。这种方法是演绎推理的雏形，进入中学阶段，就是数学证明。
本节课，教师让学生在亲身体验中充分感悟这两种研究方法。三角形内角和的研究，先是通过熟悉的三角尺，初步发现不同的三角尺内角和是180°，接着介绍了12岁的帕斯卡通过数学操作将长方形、正方形分成两个完全一样的三角形，研究出“一般的直角三角形内角和是180°”，进而放手让学生尝试研究“一般三角形的内角和”，在研究中，学生不仅通过测量、撕拼、折叠等数学实验获得结论，还利用帕斯卡通过做高的方法来“证明”“三角形的内角和是180°”。
3.经历研究过程。
数学课程的核心素养，既是一种结果的积淀，也是一种过程的经历。从某种意义上看，过程的经历，其价值要大于结果的获得。像数学家一样研究，就是要让学生经历数学家研究数学问题的过程。本节课，教师十分注重引领学生经历数学研究的过程。
一方面，引导学生经历从简单问题到复杂问题的研究过程。本课研究的两个问题：“三角形内角和”与“多边形内角和”，前者较为简单，后者较为复杂。教师引导学生从简单问题入手，深入研究“三角形内角和”，积累研究经验，当面临“多边形内角和”复杂问题时，学生则主动迁移解决简单问题的经验和方法，实现“跳一跳摘桃子”。
另一方面，引导学生经历从特殊到一般的研究过程。研究“三角形内角和”，从特殊的直角三角形（三角尺），到一般的直角三角形，再到其他三角形（锐角三角形和钝角三角形），教师引领学生不断从特殊情况到一般情况，不断扩大研究的对象范围，从而得到数学结论。
此外，引导学生经历“观察——模仿——创造”的研究过程。在具体的研究方法上，学生受认知水平和知识体系的限制，所谓的“研究”，也不可能是“创新的行为”，而是有指导的“再创造”。因此，研究过程，要体现“观察——模仿——创造”的特质。教学中，教师两次出示帕斯卡的研究方法和其他数学家研究的方法，就是让学生用数学眼光观察，用数学的思维思考研究的方法，进而模仿数学家的研究方法，并在研究中创造自己的研究方法。
4.积累研究经验。
数学活动经验，作为数学课程目标的“四基”之一，既是数学教学的目标，也是数学核心素养的重要组成部分。数学问题怎样研究、数学结论怎样发现，不是教师告诉就能获得的，而是要让学生经历研究的过程，逐步积累、积淀而形成的。
本节课，教师注重帮助学生积累数学问题研究的经验：面对复杂问题时，可以从简单想起；问题比较多的时候，可以从特殊情况入手；获得的问题结论又可以作为新问题研究的依据；数学研究既可以通过数学实验展开，也可以通过数学推理展开；数学的结论可以用数学的语言来表达，等等。可以说，本节课，学生在经历数学研究的过程中，积累了丰富的数学研究经验，这些正是儿童探究更多数学问题的营养。有理由相信，有了这样的“像数学家一样研究”的经历和经验，会激发起儿童更多次的“像数学家一样研究”兴趣和意愿！
转自朱红伟名师工作室微信公众号，仅作学习交流，如有侵权，请联系本站删除！
