小学阶段“图形与几何”总复习不仅是全面梳理知识、夯实学习基础的最佳时机，也是促进学生几何思维水平进阶的关键节点。有关研究表明，六年级大部分学生的几何思维已达到分析水平，少部分学生停留于视觉水平，非形式化的演绎水平还存在发展空间。七年级半数以上的学生处于分析水平，然而在解释图形之间的关联方面仍然存在一定的困难，达到非形式化演绎水平的学生仅为15.1%。可见，小初衔接阶段，学生的几何思维水平正由分析水平向着非形式化演绎水平进阶。具体而言，这一阶段的学生所关注的已不仅是图形性质本身，还包括围绕性质的逻辑论证。他们已经能够开始针对图形及其性质进行非形式化的演绎推理，但这种“证明”可能更多的是源于直觉、基于直观，并不严谨规范。鉴于以上认识，为了更好地促进学生几何思维水平发展，实现小初衔接的平稳过渡，笔者围绕“平面图形的认识与测量”版块，按照范·希尔几何教学五阶段理论，开发了一节总复习拓展课。
壹
教学实录与思考
【阶段一】学前咨询：自主复习，知识定位
学生课前自主复习“平面图形的认识与测量”有关知识，用自己喜欢的方式记录下来。教师布置课前自主研究任务：用一根12米长的绳子，围成什么形状才能让面积最大？
范·希尔理论指出，学生几何思维水平进阶具有次序性，即学生如果想达到任何高一阶段的思维水平，那么他必须依次达到之前的所有思维水平。每一个阶段思维的结果也即是下一阶段思维的对象。因而，范·希尔几何教学的第一个阶段是“学前咨询”——教师通过预习检测等方式充分了解学情，以此衡量学生的思维水平。小学数学“图形与几何”的教学内容分散在一至六年级的教材中，学生在此前学习中所获得的认识不仅缺乏整体性和系统性，而且由于相关知识经验和认知水平的局限，他们对很多知识的理解往往比较直观，存在诸多认识上的困惑甚至盲点。课前的自主复习活动，引导学生回顾相关知识的学习历程，拾遗补缺，完善自己的认知结构。而自主研究任务不仅为拓展课的学习做了铺垫，教师也能借此了解不同学生几何思维所达到的水平。
【阶段二】引导定向：故事导入，唤醒旧知
出示阅读材料：
公元前814年，泰尔王国的狄多公主为免遭迫害，带着财宝和侍从逃亡到北非海岸。她想要在此避难，便对当地的部落首领说：“我们来自遥远的地方，一时难以回到故乡，请卖给我们一小块土地，哪怕只是牛皮大的一块地也行，让我们有个栖身之地。”于是，部落首领就给了他们一张牛皮，让他们按牛皮大小丈量土地。
师：如果这张牛皮是我们认识的平面图形，你能算出它的面积吗？
学生展示课前自主复习成果，分享交流所学的平面图形及面积计算方法。
在引导定向阶段中，教师对学生的启发与引导是借助教学情境的设定或教学活动的开展来实现的。本课在这一环节中，教师根据个体特点和知识序列为学生创设了一个故事情境，通过一则历史故事为学生提供积极思考的空间，从而帮助学生唤醒几何图形学习经验，激活头脑中已有的关于几何图形、图形要素及其性质的旧知，同时明确学习进行的方向，激发学习的内驱力。
【阶段三】阐明：探索“整体围”的面积规律
师：一张牛皮实在太小了，狄多公主会想出什么主意，以得到更多的土地呢？
生：她可以把这张牛皮剪成一条条的，然后连接起来，用牛皮绳围出一块土地。
师：她就是这样想的！那么问题来了——围成什么形状才能让面积最大呢？
生：围成正方形面积最大。我们课前以12米的绳子为例研究了这个问题，通过列举、计算、比较，发现周长相等时正方形的面积最大。
展示作品：
生：我认为围成圆的面积最大。
展示作品：
师：大家为何不考虑平行四边形呢？
生：周长相等时，平行四边形的面积一定比长方形的面积小，因为平行四边形的高小于长方形的宽。
师：有没有同学考虑了三角形呢？
生：假设围成的是等边三角形，那么底是4米，高一定小于4米，则面积小于8平方米。这样围成三角形的面积一定比围成长方形的面积小。
展示作品：
师：同学们思考和讨论得都很充分！与一般的求面积的实际问题不同，这个问题是在不确定形状的情况下，已知周长求面积。同学们结合以前的学习，分别讨论了几种不同形状的平面图形，通过有序列举发现围成四边形时正方形的面积最大，又经过计算与比较，最终发现周长相等时圆面积最大。
板书：S圆＞S正方形＞S长方形。
在经历前两个阶段的学习之后，学生能够理解并掌握部分基础知识。在这一阶段中，学生在教师的帮助与引导下，较为清楚地表达自己对新知识的看法。基于课前的自主探索，学生综合运用所学的图形知识，较好地建立起常见平面图形周长与面积之间的联系，对新知识的内在结构进行联结与表达。由此，学习的关系系统开始形成。
【阶段四】自由定向：探索“借一边”的面积规律
师：还是同一根牛皮绳，有没有可能围得更大一些？作一点小小的提示——刚才故事中提到，这里紧靠着北非海岸。
生：狄多公主可以借用海岸线来围，这样围成的土地面积会更大！
师：为什么这样围，面积会更大？
生：因为借用了海岸线，那么海岸线的长度也算作图形的一部分周长，这样周长就变长了，所围的图形面积就会变大。
师：假设海岸线是直的，怎样围面积最大？
学生分别提出围半圆、围正方形和围长方形等几种设想，并根据“整体围”的情况提出面积大小猜想：S半圆＞S半正方形＞S半长方形。
师：你们打算如何验证？
学生认为分别讨论这几种平面图形的情况，并通过有序列举、计算比较等数学方法验证猜想。以绳长12米为例，在学习单上写出思考过程。
师：通过同学们的思考与讨论，我们发现，长方形的面积比正方形的面积大，半圆的面积最大。同学们通过直观想象和合情推理得出的猜想有对有错，直觉能打开思路，但猜想不一定总是对的。
师：为什么长方形的面积反而比正方形的面积大呢？我们再来仔细观察一下这个面积比较大的长方形，它究竟有什么特征呢？
生：我发现这个长方形的宽是长的一半。
师：刚才我们计算半圆的面积时，是先算出整个圆的面积，再来算半圆面积的。现在宽是长的一半，那么是不是也可以用这样对称翻折的方式来思考呢？我们以海岸线为对称轴，画出另一半。
出示：
生：我发现，这个长方形是正方形的一半，这个正方形就是长方形的一半。
生：因为S圆＞S正方形＞S长方形，所以S半圆＞S半正方形＞S半长方形。
师：原来，“整体围”的图形平分为两份以后，面积的大小关系是不变的。所以，“借一边”的规律和“整体围”是一致的。继续往下想，你又想到了什么？猜一猜，“借两边”围成什么形状面积最大？依据是什么？
在这个环节，教师给出了一个更复杂的问题——已知半圆周长求半圆面积、已知三边周长求正方形和长方形面积。在这个问题情境中，学生自由探索，先根据直观想象和合情推理提出面积大小的猜想，再综合运用所掌握的知识，沿用“整体围”的思考方法来寻找问题的答案，并积累“自由定向”阶段的学习经验。在此过程中，学生学以致用，总结学习经验和解题思路，明确学习与探索的领域方向，进而厘清学习对象间的关系。这一环节对于小初衔接阶段学生提升几何思维水平有着促进作用。
【阶段五】整合：逻辑论证，拓展延伸
师：刚才我们假设海岸线是直的，引发了很多思考，但实际上，海岸线常常不是直的。
出示地图，指出狄多公主所建的“迦太基”的位置，并介绍：其卫城名为“柏萨”，意思就是“一张牛皮”。
师：今天这节课，我们借着这张牛皮，讨论了等周图形的面积问题。你们有哪些收获？
生：我掌握了已知周长求面积的方法。
生：以前我们讨论的都是单个的平面图形，今天的课上把这些平面图形都联系起来了。
生：我知道了平面图形周长和面积的关系。
生：碰到比较复杂的图形问题，我们可以先通过观察与想象提出猜想，再分别讨论猜想的几种情况，用有序列举、计算比较等方法验证猜想。
生：我对平面图形的周长和面积计算知道得更多了。
师：今天同学们积极思考，解决了很多复杂的图形问题。但是，我们用小学的这些数学方法，还不能说明这个结论就一定是正确的。比如，三角形和梯形的类型很多，我们并没有一一讨论，而且我们也还不会计算它们的面积；在举例时我们只考虑了12米，如果换成其他长度，不确定结论是否还依然成立。所以，这只能说是数学猜想，只有经过严格的数学证明为正确，才能成为数学定理。聪明的狄多公主早在公元前814年就运用了这条规律，但是数学家们前赴后继，经过了2000多年才真正证明了这一规律，并命名为“等周定理”。同学们即将步入初中学习，会逐渐开始学习数学证明的方法，今天我们不妨先来了解一些。
出示：
师：最早尝试证明等周定理的是公元前2世纪的古希腊数学家芝诺多罗斯。他的证明分成两步：先证明等周的多边形中，正多边形的面积大；再证明等周的正多边形中，边数越多面积越大。证明这两步都要用到初中的三角形知识。学到这里，你们对这节课有哪些感受呢？
生：我想知道这两步究竟是如何证明的。
生：我希望快点上初中，可以解开其中的奥秘。
生：我想，初中的数学学习一定会更丰富、更有趣。
师：预祝你们在初中的数学学习中获得更多的知识和数学学习的乐趣。
在这一阶段中，教师引导学生总结所学到的新知识和解决问题的新方法，并内化到自己的知识系统中，形成一个全新的思维领域。教师对这一思维领域进行系统且全面的评价，帮助学生完成学习过程，从而促进学生几何直观能力的提高和空间观念的发展。经过以上五个阶段，学生不仅巩固了小学阶段平面图形测量的有关知识，展望了初中的数学学习，更为重要的是，推动学生几何思维水平从水平1向水平2进阶。
贰
教学启示
1.创设主题式复习情境，促进知识有机联结
小升初阶段的总复习课，一般都是由教师带领着学生，对小学阶段所学的知识进行回忆和重现，逐步构架出知识结构图，而后按部就班地运用知识解答一系列习题，以达到思路自动化、解题快捷化。正如张奠宙先生在《难见好的复习课》一文中所言：“常常见一些教材有‘本章小结’一栏，仔细看去，却是一张本章知识的逻辑框图，真的是把‘美丽动人’的数学女王，拍成了一张 X 光下的一副骨架，实在未达到‘小结’的境界。”这样的话不能不让人警醒：总复习课的目的究竟是什么？如何让学生自主建构具有生长力的认知结构，而不是将知识结构图仅仅呈现在黑板或复习资料上？
这节课给出了一个样例。教师围绕“平面图形的认识与测量”这一版块，寻找到一个有趣的学习主题——一张牛皮的故事。以“怎样围面积最大”为核心问题，引领学生自主回忆所学的平面图形，综合运用图形的特征、周长与面积计算等相关知识来解决问题。在这个过程中，学生自主关联图形之间的性质关系和图形性质之间的关系，在猜想、列举、计算、比较、分析、思辨等活动中，不断审视之前所学的知识，弥补空白，延展认知，真正实现知识联结和主体内化。
2.遵循范·希尔几何教学，促进思维有序进阶
小初衔接阶段是学生几何思维从水平1向水平2进阶的关键时期。这一时期，学生对图形性质的理解不断深化，渴望探索不同图形之间的性质关系，逐步从直观几何走向论证几何。范·希尔理论指出，教师在课堂教学及学生思维水平发展的过程中扮演着十分重要的作用，并提出了学生思维水平进阶（即从一个水平到下一个水平的发展）的五个教学阶段，这五个教学阶段既为学生独立学习提供一定的支持，又为教师教学提供一种辅助手段。本课遵循范·希尔几何教学的五个阶段：学前咨询—诊断思维水平，确立教学起点；引导定向—创设主题情境，明确学习方向；阐明—师生双向互动，建立图形关系；自由定向—学生自主探索，积累学习经验；整合—总结提炼方法，拓展思维领域。学生在完整经历五个学习阶段的过程中，不仅建立了知识关联，深化了对旧知的认识，有效地提升了几何思维水平，而且也打开了一个更为广阔的学习空间，建立起进一步学习的兴趣和信心，减缓小初衔接阶段的认知与心理坡度。
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