概念教学要让学生感受概念形成的过程
数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程，数学教与学的方式不能再是单一的、枯燥的、被动听及“以练习为主” 的方式，课堂教学应充满生命活力。作为整个数学教学中的一个重要组成部分——数学概念教学，在方式上不能只停留在以“告诉”为主，让学生“占有”新概念，把学生置于被动接受的地位。我们可以为学 生创设一些情景，让他们也像数学家那样去“想数学”，经历一遍再发现、再创新的过程，使之经历观察、分析、类比、猜想、归纳、概括、推演等思维活动，探究、发现规律，体验数学概念的建立过程，提高他们认识数学的水平， 从而领悟数学思想，掌握数学方法，培养数学能力。
1、体验过程有利于对概念的理解
知识的理解，是学生在教师指导下，根据已有的知识、经验，结合丰富或典型的感性材料，通过思维活动认识事物之间的种种联系，进而认识事物的本质的过程。数学学科正是研究形、数结合的学科，是左右脑并用的学科，图形的教学过程更是如此。如果教学过程中只是把这部分知识所得的结论、公式直接呈现给学生，他们看似理解，但到运用时却往往无从下手。
对于长方形周长的计算公式学生并不难理解。如果教学中只是把长方形的周长计算公式——“长方形的长加上宽再乘以2”直接告诉学生，那么在我们教完正方形的周长公式——“边长乘以4”后，学生就可能弄不清长方形的周长到底是边长(长或宽)乘以4还是乘以2。原因是学生没有经历这个公式的获得的过程，他们对公式的意义没有完全理解。
在教长方形和正方形公式的时候是这样操作的：让学生准备一根绳子、尺子。前提是，学生已知道“周长”的概念。
提问：有什么方法可以测量出书的周长？
有的学生想到通过用小绳把书围起来，理解什么是长方形和正方形的周长，学生再用尺子量一量围书的这根绳子有多长，这个书（图形）的周长就有多长。
有的学生想到不用绳子，他们用尺子量出书（长方形和正方形的）周长，学生在量的时候，是一段一段地量，量好后再把所得的长度加起来，而不是像用小绳围图形直接量绳子那样。
于是提出两个问题：
1)你量出来的一段一段的长度是谁的长度?
2)你在把这一段一段的长度加起来的时候发现了什么?
实际上，学生明白这一段一段的长度就是长方形长和宽的长度，把这一段一段的长度加起来就是长方形的周长。(而正方形的4个边长是相等的。)
求长方形周长的方法各式各样，有的同学把量得的4个长度加在一起；有的同学把长边的长度乘以2，把短边的长度乘以2，最后把2次乘得的结果相加；有的同学发现长方形的周长实际上就是2个长加宽的和，只要求出1个长加宽就容易求出长方形的周长。
几种方法摆在学生们的面前，他们很快就能分辨出哪种方法更简单一些。这样得出长方形周长的计算公式，学生记的牢，印象深，不会错。
长方形周长的计算公式的推导过程是在学生围、量、算的各项操作活动中自己摸索出来的。“围”的目的是让学生理解什么是长方形的周长，“量”的过程是让学生理解长和宽与周长之间的关系，而“算”的过程是让学生发现规律并得出长方形周长的计算公式。在整个过 程中，学生参与的积极性高，他们体验了知识的形成过程，通过观察、操作等活动又加深了对知识的理解。
２、概念形成过程的一般方法
概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。其具体过程可以概括如下：
（1）辨别各种刺激模式．这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例．但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括．例如，形成矩形概念，先让学生辨认他们所熟悉的实例，如桌面、墙壁、黑板、书本等的表面．
（2）分化出各种刺激模式的属性．为了理解该类刺激模式的本质属性，就需要对各种刺激模式的各个属性予以分化．例如，桌面是木制的，可看成是四边形，两组对边分别平行并且相等，四个角相等，等等．墙壁黑板、书本表面等也有各自的属性．
（3）概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设．上例中，共同属性有：可抽象地看成平面四边形；四个角相等；两组对边分别平行且相等；等等．共同关键属性可假设为：a．两组对边分别平行且四个角都是直角的四边形是矩形；b．两组对边分别相等且四个角都是直角的四边形是矩形；c．四个角都是直角的平面四边形是形；等等这里，提出关键属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合.
（4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性．检验过程中，采用变式是一种有效手段．如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为关键属性．
（5）概括，形成概念．验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键属性，使新概念与认知结构中的已有相关观念分化，用语言概括成为概念的定义．上例中，a、b 中的"四个角都是直角"与"有一个角是直角"具有从属关系，而四边形只要有"两组对边分别平行"及"一个角为直角"，那么就能推出"两组对边分别相等"和"四个角都是直角"．因此，只要取前两个关键属性即可．于是将矩形定义为"两组对边分别平行且有一个角为直角的四边形".
（6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去．这既是在更大范围内检验和修正概念定义的过程，又是一个概念应用的过程，从中我们可以看出，概念的本质特征是否已经被真正理解．因此在这个过程中，我们可以用一些概念的等价语言来让学生进行判断和推理．上例中，"对角线相等且平分"就是矩形的等价语言．事实上，这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起实质性联系的过程．因此，这是概念形成的一个非常重要的步骤．
（7）用习惯的形式符号表示新概念．通过概念形成的上述步骤，学生比较全面地了解了概念的内涵，而且还掌握了许多概念的具体例证，对于概念的各种变式也有了较好的理解．总之，学生对概念的内涵和外延都有了比较准确、全面的理解．这时，就应该及时地引进数学符号．引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征．
事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么符号的掌握可以提高学生的抽象能力、概括能力．数学中的逻辑推理关键就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握．在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质含义的情况是经常发生的，这时符号将使知识学习产生困难，导致数学推理的错误．例如在函数的学习中，对函数的一般表达式y=f(x)中x、y、f的意义不理解时，类似于f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)的错误是经常发生的．
由于概念的形成在本质上是一种抽象过程，因此大多数数学概念都可以通过概念形成的方式而获得．
但问题是，从上述概念形成的一般过程可以看出，通过概念形成的方式来学习概念并不是一件容易的事．为此，斯根普（Skemp,1971）提出两条教学原则：
●超过个人已有概念层次的高阶概念不能用定义方式来沟通，只能搜集有关的例子供其经验，再靠他自己抽象以形成概念．
●在数学中，由于与所学概念相关的例子中常常又会含有其他概念，因此在提供例子时必须确定学生已经形成这些预先概念．
这两个原则导致两个结论．首先，如果在连续抽象的某一步被误解，那么此后每一步都要冒不少风险．
另一结论是在学习新概念时，所谓的先前概念必须唾手可得，才能顺利地获取新概念，因此，概念学习必须强调层次性．
用概念形成方式进行概念教学时，教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤。如果没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，很容易造成对概念的片面、孤立甚至是错误的理解。因为当前所学概念，在将来就成为了“前概念”，要让学生尽可能的“前概念”与将来的准确概念相吻合，就要在当前“概念形成”获得相对正确的内涵。
教师应当引导学生在认清概念的内涵以后再进行概念应用，引导学生在揭示概念内涵的丰富内容的基础上形成新概念，在建立新概念与已有认知结构中有关观念的实质性和非人为的联系上下功夫，而不仅仅是在字面上逐字逐句地再现概念。否则，将给学生的知识保持带来困难，而且也会使学生的思维训练受到危害，因为在没有清晰地把握概念的本质特征时就去应用概念只能是一种盲目的应用，这时的思维也会是杂乱无章的。所以，上述过程的重点是前四个环节。
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