《义务教育课程方案（2022年版）》提出，义务教育课程九年一贯设置，应注重学段衔接，依据学生从小学到初中在认知、情感、社会性等方面的发展，把握课程深度、广度的变化，合理安排不同学段内容，体现学习目标的连续性和进阶性。《义务教育数学课程标准（2022年版）》将九年的学习时间划分为四个学段，核心素养的表现体现在每个学段的具体目标之中，各个学段相互联系、螺旋上升，体现了核心素养的整体性、一致性和阶段性。可见，小学和初中阶段的数学课程是一个不能分割的整体，无论是学习内容、学习方法，还是素养要求，都具有延续性和连贯性。
一
小初数学学科衔接教学的困境与挑战
小初衔接阶段的学生正经历着身心发展的剧变。首先是生理发育加速，出现了生长期的又一个高值点，其次是思维从具体运算阶段开始进入形式运算阶段，信息加工能力明显增强。与此同时，他们的自我意识明显增强，对亲人师长的关系从依赖走向独立。随着年龄增长、学段升高、环境变化，多数学生在小初衔接过程中会有不同程度的苦恼。据有关调查显示，41%的初中生在小初衔接阶段感到学科学习困难，51%的教师认为是上下学段教材、教学、管理等缺乏衔接，67%的教师认为学生原有学习方法不适应新的教学内容、形式，31%的教师认为教材和教师教法不科学，18%的教师认为是学生接受水平不适应教师的教学方法。
1.学生面临的学习挑战
从数学学科来看，初中数学知识更趋向于抽象与理性，常识性知识比小学明显减少，规律性、逻辑性知识学习明显增多；在逻辑思考方面，小学侧重于归纳推理，而初中则逐步趋向于演绎推理；在问题解决方面，初中阶段更注重知识的综合运用与分析，对学生数学阅读能力、分析和解决问题的能力提出了不小的挑战；在课堂容量方面，初中的数学课堂无论是呈现知识点的例题，还是作为巩固应用的习题，面更广、量更大，教师教学节奏加快。因此，学生的数学学习方法必然随之而改变——应更自觉、独立、主动地参与课堂学习，以理性抽象的方式深入思考，以严谨的逻辑思维展开推理，具备一定的元认知和自我监控能力。可见，小初数学学科衔接的关键在于学习方法上的衔接，而非学习内容上的衔接。
2.衔接教学的现实困境
《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确了各学段的课程内容、学业质量和课程实施等要求，但是小学和初中数学教师往往只关注于自己所任教学段相关的内容，小学教师只看“小学部分”，初中教师只看“初中部分”，缺乏整体把握素养目标和教学内容的意识，缺乏“小初”连贯一致的标准和评价方式，难以为学生搭建螺旋式递进、高阶进级的学习阶梯。与此同时，“小”“初”教材缺乏“一致性、连贯性”系统规划，两个学段的教师都只熟悉自己所任教的学段的教材。而小初分治的管理模式，使得相关的小初衔接教学研究活动极为稀缺，教师得不到相应的培训，也没有机会对这一方面作更多的了解和研究，因而普遍缺乏九年教育一致、整体和可持续发展的教育教学观，要让“小初”衔接工作从认知层面转向实践层面更是难上加难。
二
小初数学学科衔接教学的思路与策略
1.亮观点：基于小初数学衔接症结主动作为
当前，学段衔接问题已得到了广泛关注，如《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010-2020年）》强调人才培养体制改革要“树立系统培养观念，推进大中小学有机衔接”，教育部《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》也指出“高校、中小学课程目标有机衔接不够”的问题，并提出了解决办法、要求和目标。然而，大多数教师、家长和学生对于小初衔接有着较为狭隘的理解，认为小初衔接的症结在于学习内容和知识难度的增加，于是乎在小学升入初中的暑假期间，很多家长和学生选择到“小初衔接班”提前学习，以一种“抢跑”的方式，试图缓冲小初衔接过程中带来的问题。
然而，学生在跨学段学习过程中产生的明显的学习障碍，导致的学习成绩滑坡，其根本原因并不在于学习内容本身，而在于学生在小学阶段掌握的学习方法、形成的学习习惯已不再适应初中阶段的教学内容和教学形式了。调查显示，小初衔接阶段的初中生中，有48%感到学习困难的原因是不知道自己该怎么学，有32%表示知识难、听不懂，有25%觉得教师教法不适应。
可见，我们所要做的“小初衔接”并不是知识内容层面的衔接，而更应该是学习方式、认知心理上的衔接。小初衔接阶段的学习困难问题，虽然发生在初中刚入学时，但为了让学生能够平滑而顺畅地度过衔接期，我们应该尽可能减缓衔接坡度，拉长衔接过程，小学教师应该主动作为，从五、六年级开始有意识地与初中教学进行对接，而不是让学生在初中入学发生问题后，再由初中教师来面对衔接问题。首先，小学高段数学教师应走进初中数学课堂，了解小学高年级学生在思维方式、思维能力、学习习惯等方面和初中起始阶段的要求存在的差异和断层，从而树立衔接意识，重视衔接教育。其次，小学教师也要研究初中数学课程标准和教材，把握教材体系中的连接点，了解学习内容上的盲点、断点和交叉点，从而对接学科知识，整合课程内容。再次，小初数学教师要开展跨学段教学研究活动，研讨小初数学教学特点，共同面对小初衔接问题，展示各自的课堂教学，从而交流教学方法，搭建衔接台阶。另外，小学数学教师也要根据小初衔接阶段学生数学思维发展的特点，设计衔接课程，把握当下知识的生长点，看到知识的发展点，在高年级阶段适当延伸教学内容，拓展学生的数学思维，提高学生自主学习能力，为初中的数学学习搭桥铺路。
2.寻锚点：分析小初数学学科素养衔接断层
我们可以做什么？——尊重学科知识内在逻辑体系要求，尊重学生学习心理发展的内在要求，把握“小初”教材体系的内在联系，梳理结构与内容，找到小初数学学科知识和学习方法的衔接点、断层点，为“教”的科学过渡铺设平缓坡道，让学生在衔接区尝试感受新的学习方式，实现学科逻辑与学生心理逻辑的统一。下面以几何思维水平为例阐述这一观点。
学生的几何思维水平要不断地通过一系列遵循发展路径、有意义的活动来获得。荷兰教育家范·希尔夫妇将学生几何思维水平划分为五个发展阶段（如图1）：
对照《义务教育数学课程标准（2022年版）》学业质量标准，我们可以发现，第三学段（即小学5~6年级）要求学生能认识常见的立体图形和平面图形，计算图形的周长、面积（或表面积）、体积，能描述图形的位置和运动，形成量感、空间观念和几何直观；第四学段（即初中阶段）要求学生知道运动过程中的不变量、图形运动的变化特征，能运用几何图形的基本性质进行推理证明，初步掌握几何证明方法，进一步增强几何直观、空间观念和推理能力。可见，五、六年级的学生已经认识了常见的立体图形和平面图形，并能够根据其性质将图形分类，建立起其中的种属关系，即达到了几何思维水平1（分析），他们的几何思维也开始向着水平2（非形式化的演绎）发展——学生从了解图形的性质，逐渐转向探索图形之间的性质关系。
有研究表明，七年级学生的几何思维水平分布差异性较大，81.37%的学生的几何思维水平处于水平1，也就是说大部分学生依然处在感官学习图形的水平上，只有16.67%的学生几何思维水平达到水平2，这部分学生能从图形性质的角度把握图形。然而，七年级教材中水平2的知识点急剧增加，根据范希尔理论的不适配性，此时“教”与“学”的几何思维水平产生较大落差，学生将很难理解教师的讲课内容，从而产生困难。可见，在“图形与几何”领域，小初衔接阶段的衔接锚点在于建立图形之间的性质关系，夯实小学阶段几何知识基础，不仅要深化知识理解，更要建立结构化知识体系，从而帮助更多的学生实现从水平1到水平2的进阶，缩小差距，链接断层。
3.接断点：建构小初几何思维水平进阶通道
小初衔接阶段的数学教师应锚定小初衔接断层，对接初一的教学要求与模式，思考“教什么”“怎么教”以及“教到什么程度”这三个问题，通过学习内容的深化、学习方式的活化和知识体系的结构化，打通小初数学学科素养进阶通道，链接断点，形成一种更为适合初中学习的认知方式，改善学生学习心理，帮助学生科学衔接、平缓过渡。
（1）深化：建构知识关联的进阶通道
“教什么”是小初衔接教学的核心问题。小学和初中在“图形与几何”领域的学习内容不同，却有着紧密的联系，小学的学习内容是初中的基础，初中的学习内容是小学的延伸，层层递进，螺旋上升。数学教师应首先对小学和初中的相关知识进行梳理和比照，深入几何知识本质，建立小初知识之间的关联，以“递进”或“补充”等多样化的方式确定衔接内容，导向知识生长方向，帮助学生在小学阶段就走好小初进阶的第一步。
比如，以“图形与几何”领域“图形的位置”版块为例，我们很容易梳理出小学和初中的具体内容与内在联系，如图2：
平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，小学阶段所学的“用数对表示位置”是“用坐标表示平面上点的位置”的雏形。学生在认识数对时，常常不理解为何数对中要将“列”写在前，而将“行”写在后，只能靠死记硬背记住这一规则。事实上，这是与平面直角坐标系中的纵坐标、横坐标相关联的。教师在深入理解这一几何知识本质后，就应当在小初衔接阶段提前引入平面直角坐标系，让学生理解坐标的意义，通过对图形位置与运动的观察和表达，体会坐标表达的重要性，为初中学习数形结合奠定基础。因而，通过小初数学教学内容的比较和关联，教师能够更好地把握数学知识的来龙去脉，以更高位的课程观设计教学，通过揭示知识本质引领学生进行有意义的深度学习。
（2）活化：建构学法转换的进阶通道
小学阶段侧重于直观几何、实验几何，要求学生通过观察、操作、探索等亲身经历的活动，认识图形的特征与性质，发现图形性质之间的关系。而初中阶段则侧重于论证几何，要求学生通过观察、发现、猜想、说理和论证等过程，逐步实现围绕性质的逻辑论证。小初衔接阶段，学生的几何思维水平正由分析水平向着非形式化演绎水平进阶。此时，学生已经认识了一些常见的平面图形和立体图形，了解了一些图形的性质特征，比如三角形的特征与分类等。遥望初中数学课程内容，同样是这些图形，但要深入探索图形之间的性质关系和图形性质之间的关系，比如三角形的内角和定理、勾股定理等。因而，除了学习内容上的深化关联以外，教师更应注重学生学习方法的转换，适时渗透论证几何的逻辑演绎方法，让合情推理与演绎推理并行，打开学法转换的通道，促进学生几何思维水平进阶。
比如，学生在四年级的学习中已经知道“三角形的内角和为180°”这一事实。对于这一图形性质，小学生是通过“用量角器测量三个角的度数并算出总和”“将一个三角形的三个角剪下并拼成一个平角”等测量、操作、运算的方法发现的，而这一性质在初中需要进行严格证明（如图3）。
小初衔接阶段，教师就应在学生原有的认知基础上进行适当的拓展和深化。准备三个完全相同的三角形，相同的角标上相同的序号，并引导学生将三角形的三个角拼在一起（如图4）。在学生发现三角形的三个角拼成了一个平角后，引导学生观察：“你能在这幅图中找到几组平行线？你能找到平行线中相等的角吗？”当学生直观认识了平行线间同位角相等、内错角相等之后，很容易借助一组平行线来证明三角形的内角和是180°（如图5）。这样，学生就能够从直观几何、实验几何向着演绎推理、论证几何前进一小步，也能初步了解初中阶段几何知识的学习方法，感受到学习方法的转换，做好了学习心理准备，缓解衔接焦虑。
（3）结构化：建构认知系统的进阶通道
小学数学中“图形与几何”领域的教学内容分散在一至六年级的教材中，学生在各年级的学习中所获得的认识不仅缺乏整体性和系统性，而且由于相关知识经验和认知水平的局限，他们对很多知识的理解往往还比较直观，存在诸多认识上的困惑甚至盲点。正是因为此，小学阶段学生对于图形性质之间的联系不是十分明确，常常“只见树木不见森林”，这在很大程度上影响了学生几何思维水平从水平1过渡到水平2，即从了解图形的性质，逐渐转向探索图形之间的性质关系和图形性质之间的关系。布鲁纳曾说：“无论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构”。对知识结构的透彻理解能够缩小“高级”知识和“初级”知识之间的间隙，为知识的衔接提供良好的过渡。小初衔接阶段，应先引导学生基于知识自身的发展逻辑，梳理并建构知识结构，掌握图形性质及其关系，进而为几何思维水平的进阶提供可能。初中数学教材中，涉及到小学已学的知识一般不再重新学习，而是直接在例题或习题中加以运用。因此，小初衔接阶段，从“数学化”角度出发，重视横向与纵向关系，帮助学生把已经学过的几何图形知识点进行整合，发现共同规律，建构相对完善的知识与方法体系，必要时适当引入初中阶段的上位概念，促进学生对原先浅层次的几何知识的再认识，为后续的学习提供思考导向。
比如，学生对“立体图形”进行了结构化梳理（见图6），学生不仅逐个分析了这些学过的立体图形的特征、表面积和体积计算方法，还能进一步发现图形性质之间的联系，如长方体的长宽高相同时就成为了正方体，因此正方体是特殊的长方体；再如长方体、正方体和圆柱的体积公式虽然不同，但通过回顾这些立体图形体积公式的推导过程，得出“上下一样粗的柱体的体积都可以运用V=Sh这个公式”，等等。在回顾知识的本源意义中实现意义的沟通、运用的拓展，有效扩张知识结构网的容纳度，有效地提高学生几何思维水平。
小学数学教师需要“瞻前顾后”，准确定位当下的教学，同时遥望初中数学，为学生数学学习的“下一站”铺一段、“渡”一程，巧妙地解决小初衔接不畅的现实问题。本文基于范·希尔几何思维水平理论，主要讨论了“图形与几何”领域的衔接问题，事实上，以上理念与策略同样适用于小初数学学科衔接的其他领域。
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