《义务教育数学课程标准（2022年版)》聚焦了学生核心素养，在课程目标中，强调了核心素养主要表现之一的数学推理的重要性，提出“能根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，建构数学的逻辑体系”，明确小学阶段对“推理意识”的要求是“对逻辑推理过程及其深层含义的初步感悟”。要求推理意识的培养首先要明确推理意识的内涵意蕴和个性表现，同时结合数学学科不同知识领域的教学，思考培养小学生推理意识的有效策略。
一
“推理”与“推理意识”的内涵意蕴
1.“推理”的内涵意蕴
推理的本质是从已知的事实或命题出发，通过一定的规则推导出新的命题。数学推理作为一种推理形式，其本质在于逻辑严密性，且内在蕴含着连续性的传递特质。逻辑推理的传递性特征涵盖了两大主要方面，即关系传递性与性质传递性。
2.“推理意识”的内涵意蕴
“推理”在小学、初中、高中的数学教学中有着不同的目标指向，小学指向推理意识、初中指向推理能力、高中指向逻辑推理，三者进阶体现了新课标对培养学生核心素养的一致性、阶段性要求。[金妤茜.着眼素养断层 赋能小初衔接——以“代数推理”的进阶培养为例[J].新教师,2023(06):43-45]
新的课程标准对小学阶段的推理意识阐释，我们可以分定义、表现、作用和地位四个维度去理解（如下图）。
二
“推理意识”在不同领域的个性表现
与传统数学知识的学习不同，在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”以及“综合与实践”这四大领域中，“推理思维”均以其独特的形式显现，也体现了其在不同数学分支中的不同发展要求。
1.“数与代数”领域中的代数推理
在“数与代数”的领域中，推理能力的培养侧重于引导学生从直观的数字操作逐步过渡到深层次的符号思考。这一深化过程涵盖了几个关键的转变：首先，是运算方式的转换，即从具体的数字运算过渡到抽象的符号运算；其次，是思维模式的转换，即从针对特定问题的解决方案推广到一般性的思考模式；最后，是认知结构的转变，即从简单的操作步骤上升到对整体数学结构的理解和把握。这些转变相互交织，共同构建起了“代数推理”的核心框架，为学生进一步深入理解和应用代数知识奠定了坚实的基础。
2.“图形与几何”领域中的空间推理
在“图形与几何”的领域中，空间推理体现为学生对空间对象特征的描绘、运动的描述以及对操作过程的想象等心理活动。空间推理的应用可划分为两个核心层面：一是对内容和结果的推理，二是对方法的推理。内容和结果的推理聚焦于对几何对象本身及其固有属性的深入理解，学生需要通过对图形的基本特征、属性以及它们之间的关系的分析，来形成对几何知识的深刻认识；方法的推理则侧重于研究方法和推理过程的掌握，要求学生不仅要理解几何知识，更要学会如何运用这些知识来灵活应对各种复杂的几何问题。
3.“统计与概率”领域中的统计推理
在“统计与概率”领域中，统计推理是人们以统计思想作推理和理解统计信息的方法，可以理解为“学生能运用已有数据对统计中的不确定性问题做出合理推测的推理过程”，主要包含“推测数据之外的信息”“运用数据解释推测”“反思推测不确定性”等。
4.“综合与实践”领域中的综合推理
在“综合与实践”领域中，主要聚焦于现实问题和跨学科实践，尤其注重通过主题活动的方式实施。这种教学方法不仅有效整合了数学领域的知识，并促进了其在实际操作中的应用，而且还极大地推动了数学与其他学科乃至现实生活的交叉融合，进一步拓宽了数学的应用领域。综合推理可以被视为数学推理多种形式的综合运用，并体现在实际生活中的具体实践之中。
三
推理意识在不同领域的发展策略
在日常的数学教学中，教师应当将推理意识的培养融入各个板块的数学学习中，通过指导学习推理方法、实施推理实践任务，引导学生积极主动参与到数学知识的学习与探究中，以此培养学生的推理意识。
1.“数与代数”：渗透代数推理
“数与代数”领域中，小学阶段的教学呈现出一个渐进和深化的过程。在第一学段，学生主要学习整数的认识和整数四则运算等基础知识，这些内容为后续学习奠定了坚实的基础。随着学习的深入，第二学段可以通过迁移、类比等方式，将第一学段的知识进行推广和深化，进一步丰富数系和拓展运算范围，这体现了数学知识的一般化过程。到了第三学段，学习内容开始涉及更高级的代数知识，如字母表示数、等式、方程、正反比例等。这些知识的学习要求学生更加注重结构和关系，通过形式化的表达来理解和解决问题。这种重结构和重关系的思维方式，正是关系性思维推理过程的体现。可见，小学阶段的“数与代数”领域提供了丰富的素材来培养学生的代数推理能力。
（1）关注基本事实，渗透代数推理意识
史宁中教授认为教学中应渗透代数推理意识，并在谈论到新课标时指出，“数与代数”板块的内容还需要进行补充修改，引入两个基本事实，以丰富其理论基础。首先是“传递性”原则，它表述为：若存在两个等式关系a=b和b=c，则可以推导出a与c之间的等价关系，即a=b，b=c→a=c；其次是“等式性质”，它表明当两个量相等时，它们与任意第三量的和或差也相等，表示a=b→a+c=b+c。基于这两个基本事实，整个义务教育阶段的代数推理证明过程得以顺利进行和深入发展。在第一学段学习“＝”符号的过程中，教师应有意识地引导学生体会“＝”两边量（式）之间的等价、对等及均衡关系。同时，鼓励学生尝试用数学语言精确描述这种相等关系，以便为后续代数推理的深入学习奠定坚实的基础。
例如，苏教版小学数学教材从一年级开始除了让学生填写常见算式5＋3＝□，也会特意安排如5=□+□、3+4=□+1、4+□=5+□等多种多样的例题或练习来帮助学生加深对“＝”符号中相等关系内涵的感悟和理解（如下图）。
当一年级学生通过练习得出5=1+4、5=2+3时，教师可以进一步组织教学活动，强调：“因为5与5相等，因此我们可以推导出1+4与2+3也相等。”在另一个练习中，当学生得出5+5=2+8和2+8=3+7时，教师可以引导他们进行比较，发现5+5与3+7相等，从而让学生感受到等式的传递性，并渗透代数推理的概念。此外，教师还可以鼓励学生不必直接计算结果，而是通过观察等号两边数字的特征，运用等值推理来解答问题，从而培养学生的观察力和逻辑推理能力。
（2）聚焦核心内容，发展代数推理能力
在代数推理的领域中，“一般化”与“符号化”两种思维方式占据了核心地位，它们对于代数推理过程具有至关重要的影响。学生首先接触的是具体、明确的数字值，然而，随着数学知识体系的扩展和深化，他们需要转向更为抽象的表达方式，即“用字母表示数”。通过引入字母来表征未知或变化的数值，学生能够进行更为复杂且精细的运算和推理。这种表达方式不仅优化了数学表达的简洁性，也为他们进一步深入代数学习奠定了坚实的基石。尤其是，对字母的深刻理解是进行方程等价关系和函数变化规律研究的基础，这无疑是进行一般运算和高级推理的关键。
2.“图形与几何”：生成空间推理
“图形与几何”领域中，安排了两方面内容：“图形的认识与测量”以及“图形的位置与运动”。其中，“图形的认识与测量”这一主题聚焦于学生对图形的认知，并引导他们经历面积、体积计算公式的推导过程。此外，平面图形与立体图形之间的相似特征，为学生发展类比推理能力提供了宝贵的素材和依据。“图形的位置与运动”则是对学生空间感知能力的进一步挑战，在这一部分中，学生需要理解和描述图形在空间中的相对位置，以及图形的运动状态。
（1）关注核心内容的一致性
在“图形与几何”中，从三角形一直到四边形，从周长到面积，从平面图形再到立体图形，整个过程中可以以“度量”的整体视角来理解图形的周长、面积和体积（如下图）。通过对这些常见图形周长、面积和体积计算方法的学习，学生们不仅能够掌握具体的计算方法，更重要的是能够从中感悟数学度量方法，并运用度量帮助学生有效理解数学本质，逐步形成量感和发展推理意识。
（2）重视操作想象的互补性
学生的推理思维的发展与实践活动密不可分，唯有通过学生的自主探索与发现，方能深入洞察数学现象背后的本质规律。通过具体的实践活动和丰富的想象力培养，学生能够更好地理解数学概念，提高其空间观念及空间推理能力。例如，在处理苏教版四年级数学上册中的“三视图”学习时，学生通过亲自搭建模型，能够从不同角度观察同一物体，从而理解三维物体在不同视角下的二维表现形式。这样的实践活动不仅加深了学生对几何图形的认识，也锻炼了他们的空间想象能力和推理能力。动手操作与动态想象是小学生发展推理意识的两大支柱。通过结合这两者的教学方法，不仅能帮助学生建立起坚实的几何直观基础，还能够促进他们想象能力和演绎推理能力的发展。
3.“统计与概率”：体验统计推理
“统计与概率”领域中，教学内容主要涵盖数据的分类、收集、整理与表达，以及随机现象的研究。但统计教学的核心并不止于直观的数据解读，而应深入探索数据背后的潜在信息。基于数据的调查与整理，教师应引导学生进行信息的分析、推理与预见，引导学生从看似无序的数据中揭示出有序的规律，通过样本数据对总体情况进行推断，并基于现有数据进行分析、预测等统计描述与推断活动。
（1）分析数据背景，感受样本和总体
样本和总体的概念，对于小学生来说的确有一定难度，但是我们可以借助一些简单模型帮助他们获得初步的感受。例如在研究“班级中喜欢吃水果的学生数量”时，教师应该引导学生将样本数据进行多方位对比，分析数据背景，从而揭示样本与样本、样本与总体之间的相似性和差异性。这样不仅可以让学生认识到每个学生都有各自不同的特点，而且还能从多角度了解他们之间存在着哪些差异。接着引导思考“如果在全校学生中调查，又会怎样？”不断加强学生对样本和总体概念的感知，从而促进了学生对整体的认知和理解。
（2）开展概率分析，体验结论的随机性
探讨随机现象时，我们通常采用两种不同的数学方法来进行描述和分析。这两种方法分别是基于统计学的方法以及基于概率的方法。它们虽然都用于描述不确定性事件，但在应用方式和侧重点上存在显著差异。基于概率的方法又可以分为两种：一种是基于“所有可能的结果”进行判断，通过考虑一个随机试验的所有可能结果及其对应的概率；另一种则是从总体出发，用样本数据来推断总体分布规律，即通常所说的参数估计和假设检验。一种可行的方法是通过反复实验，利用事件的频率来推断其概率。在教学“可能性的大小”一课时分两个层次：首先，根据随机事件中所有可能的结果，判断事件发生的可能性大小；然后，组织摸球实验，重复3次、6次、20次和30次。学生通过实验能够体会到两层意思：一是每次摸球的结果是不确定的，但当摸球的次数足够多的时候，就能从中发现规律，渗透数据的随机性；二是出现一些非常规的情形，摸球20次，摸到红球的次数反而比黑球少，这也是一种可能，从而真正理解随机现象。
4.“综合与实践”：运用综合推理
“综合与实践”领域中，学习活动打破了传统学科间的界限，促进了不同学科知识的融合与交叉。实施跨学科主题学习，不仅要借助教材内容来引导学生进行综合推理，更要紧密结合现实生活场景与学生的个人实践经验，以丰富学生的学习体验。教学可以创编书本知识，将抽象的数学概念与学生的日常生活相联系，注重培养学生的应用意识和综合推理能力，鼓励学生运用所学的数学知识去解决实际问题。
（1）提供综合推理的机会
数学“综合与实践”活动特别强调解决现实中真实问题，往往需要真实的情境作为背景，以便更好地吸引学生的注意，激发他们学习的兴趣。2022年上半年，北京举办了冬奥会，这为数学教学提供了一个绝佳的实践机会。通过聚焦冬奥会中的数学知识，我们可以让学生在解决真实问题的过程中进行综合推理，从而深化对数学知识的理解。众多的冬奥数学知识中，我们选择了“冬奥雪花”作为研究重点。大雪花由多少朵小雪花组成？为什么小雪花能正好拼出大雪花？这些问题不仅涉及了比例、角度、图形等基础数学知识，还涉及到了空间思维和几何变换等更深层次的数学理论。学生在探究这些问题的过程中，不仅可以巩固和深化对数学基础知识的理解，还可以提高自己的问题解决能力和创新思维能力。
（2）突出表达解释的必要
素养的形成需内化于心，外化于行。推理意识的发展能促进学生的数学表达，而数学表达也正是推理意识的外形，助力学生推理意识的形成。“有根有据地思考”与“有条有理地表达”是推理意识落地的“脚手架”，在日常教学中促进“思维可视化”是落实推理素养的重要途径。例如在计算冬奥雪花中正六边形的数量时，给予学生充分的时间思考，继而引导学生将自己的过程清晰地表达，学生可能会直接数一数，有可能会联系图形的特点和已经学过的知识，可以根据图形的特点，将其分割成相同的部分再计算；也可能利用转化的策略，用梯形的面积公式解决数量问题（如下图）。整个过程每个孩子自主表达，解释自己答案的由来，不仅提高了综合运用所学知识解决问题的能力，同时也发展了数学思维。
核心素养的培育是一项长期且系统的工程，其中推理意识乃至推理能力的构建，亦非短期内能够一蹴而就，需要学生不断积累推理经验，经历从一般到特殊、特殊到一般的过程，合情推理与演绎推理相辅相成，贯穿了小学数学教学的始终。教师应在各个板块的数学学习活动中，鼓励学生在螺旋上升、循环往复的学习过程中不断积累推理的经验，掌握推理的方法，教会言之有理、言必有据，从而形成推理意识。
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