《义务教育课程方案（2022年版）》提出，义务教育课程九年一贯设置，应注重学段衔接，依据学生从小学到初中在认知、情感、社会性等方面的发展，把握课程深度、广度的变化，合理安排不同学段内容，体现学习目标的连续性和进阶性。小学阶段图形与几何领域包括“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题，初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题，各学段之间的内容互相关联、螺旋上升、逐段递进，体现几何思维水平发展的连续性。然而，由于小初分治的管理模式，加上小初衔接教学研究较少，导致教师缺乏整体把握素养目标和教学内容意识，小学和初中数学教学常常是“各扫屋前雪”。由此，数学学习的整体性、一致性和阶段性，沦为一种理想的课程设计。本文试以图形与几何领域为例，提供小初衔接阶段数学教学的一些思路。
一
范·希尔几何思维水平
每个学生都能够发展几何思维和推理能力，但这种能力需要通过一系列遵循发展路径、有意义的活动获得。20世纪50年代，荷兰教育家范·希尔夫妇提出学生几何思维不同发展阶段的描述，被称为范·希尔几何思维水平，并很快成为几何教学的基础理论，对提升学生几何素养具有理论价值与实践意义。
范·希尔模型是用于理解学生空间观念的层级体系，它由五个发展阶段组成，每个阶段都描述了学生针对几何内容的思维过程。尤其是，每个阶段都描述了学生在想什么（几何思维的对象）、学生能做什么（几何思维的结果）以及学生的思考过程。教师了解这些发展阶段,教学中不仅能把握学生目前所处的思维水平，还能明确接下来学生几何思维发展的方向，以及如何帮助学生在不同发展阶段之间建立联系。通常，高中生的几何思维水平达到水平3阶段。据此，本文重点关注0～2这3个水平阶段（见表1）。
表1.范·希尔几何思维水平分类表（水平0～水平2）
范·希尔几何思维具有发展性，不同年龄阶层的学习者都是从0阶段开始，通过适当的几何活动积累经验，发展到更高的阶段。表2是范·希尔理论的一些特征。
表2.范·希尔理论的特征
二
小初衔接阶段学生几何思维水平
小学阶段，学生初步认识了立体图形和平面图形，掌握了简单图形的周长、面积、体积的计算方法，初步认识了图形的平移、旋转和轴对称，能判断物体的方位，会用数对描述平面上点的位置，形成了初步的空间观念和几何直观。到了初中阶段，学生要进一步学习点、线、面、角以及三角形、圆等几何图形，从演绎证明、运动变化、量化分析三个角度研究这些图形的基本性质和相互关系。
为了给学生提供适切的学习活动，教师首先要确定学生当前处于范·希尔理论的哪个几何思维阶段。相关研究表明，六年级学生几何思维一般达到分析水平，少数学生停留于视觉水平，非形式化的演绎水平还存在发展空间。七年级学生半数以上处于分析水平，在解释图形之间的关联方面仍存在一定困难。由此可见，小初衔接阶段的几何思维水平处于从水平1向水平2进阶阶段。具体而言，这一阶段学生关注的不仅是图形性质本身，还包括依据性质进行逻辑论证。他们已经能够对图形及其性质进行非形式化的演绎推理，但这种“证明”更多是源于直觉、基于直观，并不严谨规范。调查分析表明，学生不能较好地把握图形之间性质关系、几何推理能力发展较慢、空间观念较为薄弱等问题，一直存在于小初衔接阶段。
依据范·希尔理论，处于某一思维阶段的学生，在积累当前思维阶段活动经验的同时，也需要探索、讨论或者操作更高思维阶段的内容。如果教师明确学生当前所处的几何思维水平，以及更高一级思维阶段的内容，并有针对性地开展几何教学活动，则能有助于学生几何思维水平进阶。
三
小初衔接阶段促进几何思维水平进阶的教学建议
范·希尔理论指出，教师在课堂教学及学生思维水平发展的过程中扮演着十分重要的角色。对应于几何思维的五个水平，范·希尔夫妇提出学生思维水平进阶（即从一个水平到下一个水平的发展）的五个教学阶段。这五个教学阶段既为学生独立学习提供一定的支持，又为教师教学提供一种辅助手段，具体内容见表3。
表3.范·希尔几何教学阶段表
1.学前咨询：了解学情基础。
做好小初几何思维水平的衔接，教师要全面了解小学和初中两个阶段几何知识的教学情况。小学数学教师要了解学生进入初中以后，将要学习哪些知识，几何思维要达到什么水平，如何为初中几何学习奠定基础；初中教师也应该了解小学数学情况，知道学生学了什么，几何思维水平到了什么程度，对于小学阶段知识缺陷如何补救。教师要善于评估不同阶段学生的几何思维水平，确定几何教学的起点，缩小教学内容要求与学生思维水平之间的差距，为不同水平学生提供有差异的学习任务和学习角色，使所有学生都能在原有思维水平上向前走。
小学数学中图形与几何内容分散在一至六年级，学生在六年学习中所获得的知识，都是点状存在，缺乏系统性和结构化，他们对很多知识的理解仍存在认知困惑甚至盲点。六年级总复习阶段是学生提高几何思维水平的关键期，把握这一关键期有助于学生进一步积累几何学习经验，提高图形与几何的学习能力，促进几何思维水平进阶。总复习教学中，教师可以设计引导学生自主学习的任务单，以问题串形式驱动学生回顾整理已经学过的几何知识，发现问题，查漏补缺。比如，在复习平面图形时，设计“我们学过哪些平面图形？”“三角形是怎样分类的？”“在一个三角形中最多有几个直角？”三个问题分别对应几何思维水平0、水平1和水平2，能准确了解学生几何思维所达到的水平。当然，初中开始几何学习之前，教师也应通过设计自主学习单或访谈形式了解学生几何思维发展水平，进而有针对性地开展教学活动。
2.引导定向：细化要素分析。
实现小初几何思维水平的平稳衔接，前提是学生几何思维达到分析水平，即认识几何图形及其性质，能够全面表征几何图形、分析几何图形各要素等。图形表征是几何图形在人脑中的呈现和反映，丰富的图像表征，是促进学生的几何思维从感性认知到理性认知的基础。全面表征图形，需要从整体到局部、再从局部到整体观察、分析、辨别图形特点。几何要素主要指构成几何对象的成分，如认识三角形时，需要分析三角形的构成要素，明确三角形是由“角”和“边”两种要素组成。在研究三角形角的方面特征时，教师可以借助几何画板，移动三角形一个顶点的位置，使学生直观体会其中一个内角变大（小），其他两个内角就相应变小（大），而内角和始终不变，从而建立三角形内角大小关系的图形表征。再如，认识三角形高时，依据小学生认知水平，教师在教学中一般只呈现三角形内部的高（见图1）。在小初衔接阶段，教师可以给出更全面的图形表征（见图2），促进学生深刻认识三角形及其组成要素，也为初中进一步学习三角形的性质做好铺垫。
3.阐明理解：强化图形关联。
几何图形存在内部关联和外部关联，外部关联多表现为定义的不同。给几何图形下定义有很多种方式，下定义需要遵循以下规则：定义要相称、定义不循环、定义要简明、定义一般不用否定形式。例如，小学生对三角形的分类与性质不够清晰，教师可以引导学生通过下定义（“属 + 种差”）在图形之间关联。三角形是被定义图形的上位概念，而被定义项是三角形的下位概念，它们之间是包含与被包含、一般与特殊的关系。这样分析，学生就能明确图形定义与被定义间的关系，进而厘清图形之间联系。为了帮助学生理解三角形的分类，教师可以提出如下问题：“有一个角是锐角的三角形一定是锐角三角形吗？”“你能找到一个三角形既不是锐角三角形，也不是直角三角形或钝角三角形吗？”引导学生根据三角形内角和性质，推断出一个三角形中至少有2个锐角，进而明确“如果一个三角形中最大的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形”。学生经历这样的非形式化逻辑论证过程，容易厘清不同类型三角形之间的性质关系（见图3）。这种依据性质进行的演绎推理也是初中几何学习的重要方法。
4.自由定向：探索性质关系
对于逻辑推理的强调是非形式化演绎水平的标志性特征。除了图形判定以外，逻辑推理还用于检验提出的某些条件是否足以“判定”图形，或者是不是“最简洁判定条件”。实际上，“最简洁判定条件”之一就是图形的定义。由此，在“阐明理解”环节的基础上，学生可以利用图形性质及其关系寻找解决问题的方法，积累学习经验，进一步提升几何思维水平。比如，为了进一步探索三角形的性质，教师可以设计“三角形分类表”（见表4）。要求学生在每个空格里画出相应的三角形，并思考“哪两个空格里无法画出？为什么？”学生完成后，引导他们观察、分析三角形边与角的对应关系，发现3条边相等的三角形3个角也相等，有2条边相等的三角形也有2个相等的角，大角对大边、小角对小边，等等。此时，再让学生找出各类三角形“最简洁判定条件”，他们就会更深刻认识三角形的组成要素及各要素间的关系。
5.整合内化：优化认知路径。
学生参与一系列有意义的数学活动，能够积累丰富的几何活动经验，为进一步探索三角形相关知识打下了基础。在三角形复习阶段，教师引导学生回顾学习过程，梳理“几何图形表征-几何要素分析-几何关系推理-几何语言表达”等学习阶段，进一步理解几何图形概念、明晰几何图形性质、开展几何关系推理、形成几何认知结构、积累几何学习经验、优化几何认知路径。学生从一开始的“感知、介绍、描述、讨论和拼摆几何图形”，到“通过观察得到几何关系”，再到有意识地“验证几何关系”，几何认知路径逐步明晰。这样，学生将所学新知识和解决问题的新方法，内化为自己的经验系统，形成全新的思维领域，实现几何思维水平从分析水平到非形式化演绎水平。而这样的认知路径，同样适用于图形与几何领域中其他内容的学习。
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