《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称2022年课标）第二学段的“内容要求”提出“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”。“课程内容中的实例”中例26提出：“用无刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圆规，作一条与给定线段长度相等的线段……构建各种可以实现的图形。例如，作一个给定边长的等边三角形，感受用测量的方法无法精确完成这样的任务。”并且明确指出该内容的育人价值：“在操作过程中形成对几何图形的感觉，感受两点确定一条线段的意义；体会用直尺可以确定直线，用圆规的两脚可以确定线段的长短。”但在小学阶段没有出现“尺规作图”这一术语，这是否意味着该内容只是利用直尺（即使有刻度也“当作无刻度”）和圆规让学生在“玩、探、作”的过程中感悟点与线的关系以及公设的内容，初步培养几何直观和推理意识？
为便于表达，我们姑且称2022年版课标所要求的前述内容为“初级尺规作图”，欧几里得《几何原本》中的作图为“经典尺规作图”，以与传统的“几何画图”相区别。初级尺规作图主要是“作等长线段”，但其作图方法——在给定直线上用圆规截取与已知线段等长的线段，其核心在于“截取”（故称之为“初级尺规作图法”），不同于《几何原本》中的作图方法，也不同于传统课程中用有刻度的直尺画出给定长度的线段（放宽作图工具限制，即可以使用有刻度的直尺、三角板、量角器及圆规等工具进行的“几何画图”[1]）。那么这三种画图或作图方法的本质区别是什么？是否体现出不同的思维水平？其高低水平的排序如何？这三种方法各有哪些育人价值？尤其是育人价值，需要进一步追问清楚方能在实践中落实。例如，2022年版课标提出的“形成对几何图形的感觉”到底指什么？2022年版课标实例部分所给出的作图方法能否让学生真正“感受两点确定一条线段的意义”？这些问题都需要追问其内涵与本质，更需要在实践中探索出有效的教学方法和策略。
一、溯源尺规作图及其育人价值
尺规作图是《几何原本》中限定作图的工具，即仅用无刻度的直尺和圆规进行有限次的作图。无刻度的直尺（连接两点形成直线）与圆规（可寻找到到定点等长的所有点）既是操作工具也是数学思维中的工具模型，被称为欧几里得工具。（作者注：中国古代传说中的“规”与“矩”则是解决现实问题的工具，不是思维的工具。由此即可管窥中国古代与古希腊的差异，一个强调算法重视解决实际问题，另一个则强调逻辑推理重视演绎体系与理性精神。这是导致东西方文化传统与思维方式差异的缘由之一）利用尺规作图有五条公法，符合几何公理的作图基础，它们分别为[2]:
(1）过两个已知点作一条直线（两点定一线）。
(2）以已知点为圆心，已知长为半径作一个圆（一点一线定一圆）。
(3）确定两条已知直线的交点（两线定一点）。
(4）确定已知直线和已知圆的交点（一线一圆定点）。
(5）确定两个已知圆的交点（两圆定点）。
显然,公法（1）与当下教材中用有刻度的直尺画出一条5厘米长的线段不同，即几何画图与经典尺规作图的内涵与育人价值略有不同，各有其侧重点，后文将做分析。这五个公法是尺规作图的基础，任何一个作图问题是由若干次作出直线、作出圆和作出交点这三种基本操作构成。作图公法实际上给出了尺规能胜任的操作：连接两点确定一条直线，作圆，求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点（如果相交的话），也即直尺与圆规的三种功能，定线、作圆、求交点。这五条公法中，作直线的根本在于“找出两个点”并相连；作圆在于能找到到圆心的距离都相等的“无数个点”；另外三条给出了求新点的方法。所以本质上，尺规作图就是转化为求点的问题。
《几何原本》中的尺规作图为何选择无刻度的直尺，且必须是有限次的作图要求？这要追溯到以欧几里得为代表的古希腊数学。无刻度的要求源自两个方面。一方面，欧几里得时代还未建立实数概念，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信念相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。几何上解释为：对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段，这两条给定线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位。但是后来毕达哥拉斯学派发现存在不可公度线段（无理量）。到欧几里得时代，他为了回避无理量的麻烦，采用了欧多克斯的比例论，可以由可公度量推广到不可公度量，适用于更广泛的几何命题。无刻度的直尺避免了线段的长度概念，实则回避了还未建立起的实数概念。另一方面，《几何原本》体现了古希腊人对数学的两大贡献：演绎法与抽象性。从朴素的、不加证明的定义与公设、公理出发，无刻度的直尺正好符合这种精神要求。作图时规定“有限次”运用尺规进行基本作图，表明这样的作图是可以操作实现的，经过“有限次”逻辑推理，能作出符合逻辑的“图”，“能作出”即意味着“存在”，通过尺规作图解决了“存在性”问题。
对作图工具的限制，表明了古希腊人对待数学的态度。直尺和圆规分别是直线、圆的实物对应物。总的说来，古希腊人在研究几何时，都仅限于直线、圆这两种图形，以及由此直接导出的图形。这种对直线、圆的自我约束与非理性的限制，目的是保持几何学的简单、和谐以及由此产生的美学魅力。以柏拉图为代表的古希腊学者，也强调了这种尺规作图的限制理由：如果利用其他复杂工具（如刻度尺或量角器），“几何学的优点”将荡然无存，因为我们又重新使几何学退回到了感性世界，而不是用思想中永恒的、超越物质的思维想象力去提高、充实它[3]。
因此，尺规作图的价值体现于两个方面：其一是古希腊的尺规作图问题本身的数学价值，其二是尺规作图对于学校数学学习的教育价值。古希腊限于无刻度的直尺与圆规，根据公理、公设提出了很多几何作图问题，其中有三个问题最为著名[4]，即化圆为方、倍立方、三等分任意角。化圆为方，即作一个正方形，其面积与一个给定圆的面积相等；倍立方，即构造一个立方体，其体积是已给定立方体体积的两倍；三等分任意角，即将任意一个角分为相等的三部分。从古希腊开始，至之后的两千多年，这些问题依然悬而未决。直到19世纪，终于被证实不可能用尺规作出这三个图形。而这三个问题的解决促进了数学发现，如开创了圆锥曲线的研究，产生了“穷竭法”的思想，三次方程的几何解法与正n边形的作法与方程、群论密切联系，推动了数学发展[5]。对著名问题孜孜不倦的漫长探索，表明了数学家们严谨的治学态度、坚韧不拔的精神。正是人类这种挑战智力的激情，使得数学家们试图从理论上解决作图问题，为数学及其他领域开辟了发展道路。
在学校数学课程中增加尺规作图的价值主要体现在两个方面：第一，作为几何操作工具与探索活动，有助于深入理解几何基本要素及其关系，培养学生的空间想象能力、几何推理能力，为数形对应的数学思想与能力提供实操抓手。完成作图的操作，学生将几何事实在头脑中具象化，从直观化中感悟图形的几何特征与关系。例如作图公法，两点间可以连成一条直线，直线由“看不见”到“看得见”；已知一个定点和一条定长线段，可作出一个圆，通过操作将圆的“一中同长”性质直观化。以作图公法为基础解决更多的作图问题能够在头脑中运用已形成的“表象”进行逻辑推理，获得结果。
第二，作为数学文化启蒙的载体，感悟尺规作图带来的数学力量、数学理性精神及数学美学的具体表现。欧几里得几何建立了最简单、最直观、最能为孩子所接受的数学模型：点、线、面、三角形、圆，又能通过操作尺规亲自体验数学推理的力量。《几何原本》中以尺规方式实现的作图竟会如此复杂，更难以置信的是，古希腊“三大不能”作图问题这样简单的问题竟然不能解决！这样富于挑战性的问题能够锻炼学生的科学思维与不畏困难的精神，培养积极的数学情感。
这些育人价值可否在小学阶段实现呢？目标达成毕竟要受限于小学生的知识基础和认知特点。《几何原本》中的经典尺规作图法与课程标准中的初级尺规作图法有何本质不同？思维水平上有何差距？为此需要深入对比分析，明确小学阶段能够达成的育人目标层级。
二、《几何原本》与学校数学课程中的尺规作图比较
尺规作图一直以来是基础教育领域内学习的知识，涉及基本作图、利用基本作图进行综合作图并进行证明等问题，意在训练学生工具操作、几何语言表述、空间观念与逻辑推理能力的培养，即“培养学生的实际动手操作能力，有助于理解和掌握几何的概念，也有助于对相关几何图形增加感性认识”。下面以“作等长线段”为例，对比分析《几何原本》中对应内容与课程标准要求的不同，体会《几何原本》中尺规作图的要义（步骤、依据原理等）以及教学启示。
《几何原本》全书共13卷[6]，第一卷开宗明义，首先给出23个定义，5条公设，5条公理，之后是48个命题；其余12卷体例类似，首先给出必要的定义，其次是命题。全书还有通用的5条公设、5条公理。2011年版课标中的基本作图问题有5个在《几何原本》中，但不是命题1至5，对比如表1所示：
表1
《几何原本》中的每个命题前后的逻辑关联性强，前面获得的定理性结论成为后面定理成立的基础。七、八年级教材中安排尺规基本作图的学习顺序为（1)—(2)—(3)—(5)—(4）；对应《几何原本》中的尺规作图顺序为命题2—命题23—命题9—命题11、12—命题10。“作一个角等于已知角”的难度大，《几何原本》放在比较靠后的命题23中，而2011年版课标将其作为第二个基本作图提出学习要求，可见教材并不是遵循《几何原本》中尺规作图的内容顺序。具体到特定尺规作图内容，其步骤是否一致呢？我们将以“过一点作一条线段等于已知线段”为例说明。
《几何原本》中的命题2依据公设1、公设2、公设3、公理1、公理3、命题1作出。其中命题1为：在给定线段上作等边三角形。具体表述为：给定一条线段AB，在AB上作一个等边三角形。命题2具体表述为：点A为给定点，BC为给定线段，求作：以点A为端点作一条线段等于BC。作法如下：（如图1)
图1
(1）从点A到点B连直线（公设1);
(2）在AB上作等边三角形ABD（命题1);
(3）延长DA、DB成直线DE、DF（公设2);
(4）以点B为圆心，BC为半径作圆CGH（公设3);(5）以点D为圆心，DG为半径作圆GLK（公设3);(6）由于点B为圆心，所以BC=BG；由于点D为圆心，所以DG=DL，而DA=DB，因此，余量AL等于余量BG（公理3);
(7）而BG=BC，因此AL、BC都等于BG，等于同量的量彼此相等，因此AL=BC（公理1）。
《几何原本》中并没有“过点A作任意一条直线”，而是先作了等边三角形ABD（第一卷命题1），为什么？这就回到《几何原本》中的本原逻辑：任意点的存在都是依据公设、公理生成的。因此，需要以线线（直线或曲线）相交的方式找到点D，以便由公设1获得A、D两点确定的直线。点D的存在性是通过两段弧线的交点得到的——连接AB并以其为边作等边三角形ABD。这样连接A和D两点确定一条直线，在这条直线上作出与BC等长的线段来。而所作线段的另一端点也需要通过“交点”来获得，并不是直接“截取”。求作线段另一端点由直线与弧线交点获得，这样即为步骤（5)(6)(7），每一步都依据了公设、公理获得最终的等量关系，逻辑链条清晰且严格。显然义务教育阶段的尺规作图内容以及作图方法不能照搬《几何原本》。
学校数学课程（2011版课标教材）中“过一点作一条线段等于已知线段”安排在七年级上学期学习，具体作法为：
(1）用直尺（无刻度）画射线AC;
(2）用圆规在射线AC上截取AB=a。
教材中的作图可以“过一点任意‘画’出一条直线”，在直线上用圆规“截取”出了与已知线段等长的线段。圆规一脚固定（圆心），另一脚“走过”的痕迹没有全部“画出来”，其与直线能够“相交”就需要学生展开空间想象，借助经典尺规作图的“形（圆或圆弧没有显示）”，未完全做“推理”之事，而是做了“量度”“空间想象”之事，这是二者本质差异所在。学校数学课程中其他基本作图与《几何原本》中的“经典尺规作图法”均存在类似差异。
三、小学阶段尺规作图的教学建议
在小学阶段学习“初级版”的尺规作图，意在强调几何直观，增加动手操作环节，增强对数学的感觉。溯源尺规作图的历史，其产生的背景正是严格遵守逻辑演绎推理的，从公认的、最少的原理获得不容置疑的结论。每一步操作都有据可依，把严密的逻辑视作至上原则。从尺规作图的直观操作中获得万物原理、事物的普遍性质，如“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，在几何操作中训练理性思维与理性精神。
对应于尺规作图的教育价值，以及尺规作图历史的启发，不同学段的尺规作图教学应有不同侧重，对于小学阶段的尺规作图教学提出如下几点具体建议。
第一，教师要厘清“几何画图”“经典尺规作图”与2022年版课标中的“初级尺规作图”的学习进阶层级。例如，从学生思维由具体到抽象的层级来看，“用直尺画5厘米长的线段”，与用两种不同尺规作图方法作“一条线段等于已知线段”属于三个不同学习进阶层级，从画图走向作图，体现出不同的推理与空间想象水平。
水平1：度量思维水平。用有刻度的直尺画线段的本质是“单位线段的累加”，这是度量思维的具体体现，从学生认知角度看画图过程较为具体，学生可观、可测，“线虽然没有粗细”但画出来后即可关注到它的长短属性：“单位线段的累加”或者“数出已知线段长度中包含单位线段的个数”。如果所画线段不局限于在水平方向上画，则更能打破学生的思维定式，把握线段本质——有限长，与摆放的位置和方向无关，有助于培养学生的空间观念。
水平2：强调几何基本要素的关系水平（也可以叫“初级尺规作图水平”，即课标要求）。2022年版课标的要求是“作一条与给定线段长度相等的线段”，与经典尺规作图相比，相同点是：不关注给定线段的具体长度——舍弃线段的度量属性，只需要找到两个端点，用无刻度的直尺连接即可得到所求线段。不同点是：先利用直尺画一条直线，再在这条直线上选定一点，圆规一脚固定此点作为圆心，另一脚在直线上截取已知线段长，其交点为线段另一端点。这种作图方法虽然也用了尺与规，但不需要从公理、已知命题出发的演绎推理过程，降低了推理难度，但仍然强调“两点”确定唯一一条“线段”，进一步认识“点”与“线”之间的关系，确信“两点之间线段最短”这一几何基本事实。
水平3：演绎推理水平。《几何原本》第一卷命题2的作图方法是演绎推理水平，即培养学生从公理、已知命题出发进行严谨的作图以及推理，在此过程中体现“无中生有”的构造能力，也是培养学生空间想象能力的重要载体，所以这种作图方法比前面两种的思维水平高。例如，“无”体现在“没有已知直线”，学生事先看不到要作的线段在哪里，必须通过推理一步一步地找到“两点”，再连接两点成一条直线（即“有”）。这种方法在小学阶段难以落实，可以作为初中数学的课程内容。
第二，从课程视角扩展尺规作图内涵，设计跨学科实践活动。由无限制、半限制的几何作图扩展到严格限制的尺规作图，以作图为抓手落实几何教学的育人目标：发展几何直观、空间想象、推理能力。小学中、高学段以及初中分别体验上文中从画图到作图的几何思维发展的三个层级，注重几何作图对数学逻辑思维能力的培养；高中阶段体验“几何公理化”思想，以《几何原本》中的“构造‘点’以确定‘直线’”进行作图。小学阶段可依据工具的不同限制来开展跨学科主题活动，如劳动技术、美术等学科结合，在数学学科中的几何学习融入审美能力与创新能力的培养。
第三，教师要把握有效落实尺规作图育人功能的教学策略。首先，创设必要的问题情境，激发学生进行初级尺规作图的操作需求。其次，诊断学生尺规作图的学习难点并给予充分探究的时空，其难点是找到“点”、在寻找“点”的过程中感悟数学的严谨性。再次，通过初级作图感悟几何基本概念与基本事实，为学生后续进入逻辑演绎结构的数学学习做好铺垫。如，经过两点能且仅能画一条直线，感知点没有大小，两点之间线段最短等。又如，三角形三条边分别“等长地‘截取’下来并首尾相连”，以此深入理解三角形的周长、两边之和大于第三边。
在小学阶段，理解图形的性质、关系与规律的最好方式仍然是重走“操作”之路，在画图、初级作图过程中学会思考，深入理解图形的性质、特征，以此为活动载体培养空间观念与推理意识。
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