《义务教育数学课程标准（2022年版）》以核心素养统领课程标准的各部分，从而使其各个组成部分保持内在的一致性和统一性[1]。“一致性”一方面体现在课程内容上，课程内容各要素之间保持一致性；另一方面体现在教学活动中，教师教什么、如何教，学生学的过程、如何学以及学习结果的评价三者之间协同配合。研究表明，概念学习过程包括活动、程序、对象、图式、评价五个阶段。小学生的概念学习过程是“一种数学语言形式转换成已有认知结构中的学习者本人能理解的数学语言形式，或者从多种不同的语言形式中筛选、组合，最终转换成一种恰当的语言形式”[2]。在概念学习的各个阶段有目标地开展教学一致、教评一致、学评一致学习活动，借助数学语言转换，能有效帮助学生理解概念本质，促进核心素养的发展。
一、活动阶段：在操作与比较中转换，感受直观背景一致
概念建构的活动阶段，教师要根据学生的已有知识储备、生活经验和思维经验，结合教学需要，为学生提供与现实生活联系紧密、能直观支撑概念建构的感性材料，引导他们充分运用所提供的材料进行观察、测量、比较、实验、操作、讨论和交流等数学活动，促进学生在活动中感知概念的现实背景和意义。这里的数学活动可以是以观察、实验、测量等行为操作为主的外显活动，也可以是以猜想、判断、推理、交流等思维操作为主的内隐活动。学生如果能把操作的收获、体会用数学语言正确表达出来，就能达到概念“是什么”的工具性理解水平。
学习“面积”概念时，教师呈现一红、一绿两块长方形地毯图，先问学生从地毯图上能看到什么、想到什么，再让学生看一看、摸一摸课前准备的相关学具，并交流他们的发现或疑问。学生发现：两块地毯图都是长方形，颜色都在面上显现，虽然颜色不同、大小不同，但它们都有“角”和“边”；摸“面”的感觉是平平的、滑滑的一整片；摸“周”的感觉是直直的，就像一段细细的线连起来的；“周”和“面”都“生长”在长方形上；“面”在“周”的里面，“周”在“面”的外面……
“面积”和“周长”两个概念容易混淆。教师的教是为学生提供直观材料地毯图，学生充分观察、操作、比较和想象，从实物图形中剥离出与“面积”内涵有关的“周”“面”“角”“边”等知识，教与学目标一致，达成学生顺利运用数学语言表达出直观背景，图形语言转换为文字语言，学生不但能形象描述自己对“周”和“面”表象的认识，而且能沟通面积与已有知识间的联系，为学生进入概念学习的程序阶段奠定基础。活动帮助学生感知“面”的真实存在，数学语言转换帮助学生形成面积概念“是什么”的表象。
二、程序阶段：在辨识与抽象中转换，获取本质属性一致
概念建构的程序阶段，学生要对所经历的活动不断辨识、反思、内化和抽象。“对活动中操作和思维碰撞的反思和总结，‘活动’就会内化为一种‘程序’。此时，学生无须经历活动的刺激就能在头脑中实施‘程序’，因为学生经过加工形成了有关概念的内部认知结构”[3]。学生有效辨识直观背景，反思操作过程，会逐渐形成完整的操作程序，再通过压缩和归纳，发现知识的共同特征，并逐步抽象概括出数学概念。这种抽象过程需要借助数学语言的转换，学生才能由量变到质变，达到概念关系性理解水平。
教学“认识射线”时，教师引导学生观察激光笔射出的光线、想象“线”的样子并画出来。学生想象后尝试画出射线。于是，表示射线一端“无限性”特征就有了不同的语言表征形式，如“……”“→”“无限长”“画不完”等。学生先分享自己的学习成果，再向同伴提出建设性意见，最后总结射线的画法：先画一个点，再沿着这个点向一端画一条直直的“线”，表示所画的“线”有起点（或端点）、可以向另一端无限延长。学生由此用“无始无终”“有始无终”“有始有终”归纳直线、射线、线段特征。
“知其然，知其所以然”是数学概念学习基本目标。“射线无限长”的本质特征比较抽象，学生理解起来有困难。教师的教是用合适的情境把生活问题“数学化”，为学生自主的学提供个性化思维表征机会。学生在观察、想象、操作和辨识中对“射线”概念逐渐抽象并内化为“程序”，正确描述射线概念的内涵和画射线的方法。表述射线的特征是学生把所观察的实物图转换为文字语言；总结画射线的方法是学生把图形语言转换为新的文字语言。教与学的一致性引领学生经历“数学化”，抽象出“射线”本质属性并进入自动化程序阶段，学生再次观察生活中的灯光场景图，就能自动辨识并描述生活中“光线”与数学中“射线”的关系。
三、对象阶段：在特殊与一般中转换，掌握概念性质一致
概念学习的对象阶段，是学生对数学概念的分析过程和灵活认识过程，学生要“把抽象的数学概念赋予形式化的定义与符号，实现数学概念的精致化，使数学概念成为一个具体‘对象’，并主动纳入自己已有概念体系中”[4]。因此，教师要引导学生主动、积极地把“程序”在整体变形、转换中凝聚为“对象”，并用文字语言、图形语言或符号语言转译描述，甚至灵活解决相关数学问题。这样，学生对数学概念的认识就会从特殊走向一般，达到概念形式性理解水平。
学习“百分数”时，学生通过比较，发现用百分数判断选手的投篮水平较为方便。从通分把一般分数转化为分母是100的特殊分数，到自觉选择百分数，清楚地反映了百分数作为“对象”表达比例、比率或分数值的方法，描述了数与数之间的大小关系。在此基础上，教师要求学生思考：“2号选手投篮水平是50%。他目前处于第1名，如果下周训练以后再上场，第1名一定是2号吗？为什么？”“既然2号命中的可能性会变化，那么，统计还有意义吗？”“关于50%的故事还可以描述……”学生围绕核心问题进行思考、讨论、分析。
“百分数作为一个虚拟统计量，其统计意义在于衡量、预测、推理整体水平，决策未来的发展”（史宁中语）。活动阶段获得百分数“是什么”的外形（包括读法、写法），程序阶段理解百分数意义（表示一个数是另一个数的百分之几），教师更好的教是深度的追问，引导学生深入思考，追问：“第1名一定是2号吗？为什么？”“既然2号命中的可能性会变化，那么，统计还有意义吗？”“关于50%的故事还可以描述……”百分数表示数的算术含义与表示统计量思想之间建立联系，百分数变成一种心理“对象”，学生通过对核心问题交流、辨析、合作学习，自觉将百分数符号语言表示的数据转换成图形语言，刻画和描述统计对象整体水平，推理数据变化规律的随机性与必然性。学生建构百分数概念的过程是文字语言、符号语言、图形语言相互转换的过程，“对象”阶段的百分数意义从特殊到一般，教与学的一致性是让学生体会百分数的统计性质，发展数据意识，培养决策性思维。数学语言转换引领学生实现概念形式性理解和思维方式转变。
四、图式阶段：在联系与结构中转换，形成概念体系一致
概念学习的图式阶段，是学生对活动阶段、程序阶段和对象阶段不断思考、压缩和融合的过程，是学生完善概念结构的过程。学生对概念学习过程中获得的数学信息进行过滤、筛选，形成有条理的整体性认识（即图式）。教学中，教师从关联视角出发，根据学习内容设计问题，设计语言转换实践活动，沟通新概念与已有概念之间的联系，形成“知识组块（结构）”，并储存到自己的大脑中。图式有助于学生形成稳定的概念体系，实现数学概念的整体性。
学习三角形和四边形概念时，教师设计学习任务：对已学习过图形进行分类整理，并根据分类理由从不同角度刻画图形的特点、关系和性质。（见图1）[5]
学生先独立思考再小组交流后分享成果：从空间维度视角，图形分为二维平面图形和三维立体图形；平面图形以构成线的曲直不同维度，分类曲线图形和线段围成的图形；由线段围成的图形，从边的数量不同维度分类三角形和四边形；四边形从构成图形角度数的特殊角度（90°）和一般角度分类平行四边形和长方形（正方形）。
厘清图形间的联系，有助于学生形成相关概念的知识结构。教师更好的教是设计联系的、开放性学习任务，引导学生把各个孤立图形知识转化为联系的网络结构知识，知识被重新认识为是有关联、有结构、有系统的。图式外在建构过程是图形语言转换为图形语言过程，内隐加工过程是文字语言转换为图形语言，图形的形状、边的长短关系、内角的大小和度量等特征都有联结，图式连接概念与图形、图形与模型关系。学生的学是对图形进行分类、操作、旋转、切割，组合、拓展等，建构整体概念图式，教与学的一致性将概念特征关系和概念各个图形都镶嵌到组织良好的概念体系中，形成完整的认知心理图式。
五、评价阶段：在评价与反思中转换，促进元认知发展一致
概念学习过程中有意识对概念学习情况进行评价，从“学”的立场出发，围绕学生思维要到哪里、到了哪里、还有多远来设计评价量规，分析学生学习作品，了解每一个学生思维达到的水平层次。学生通过对比，评价自我学习和同伴学习结果，相互借鉴、相互改进。教师也可以设计评价标准，指导学生对比自己作品与评价标准的差距，在自我反思中提升学习品质，发挥评价真正统领学生的学、教师的教的作用，更好地改进教的方式和学的效果。
学生学习梯形概念时，通过具体实物图→几何图→几何图变式，帮助学生认识梯形概念从原有感性经验上升到理性认识，抽象出梯形概念内涵。练习时，根据学生已经认识平面图形长方形、正方形、平行四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形的学情，设计学习任务：请用示意图对“四边形进行分类”，结合分类标准，说一说图形之间的关系。
水平一，学生只能说出以上四边形都有4条边、4个角，它们都属于平面图形。图形语言转换为符号语言，依靠视觉表象，说出图形外形，不关注图形特征和本质属性，概念学习水平处于活动阶段，需要借助表格聚焦图形各自特征，对比异同，发现图形关系。
水平二，学生能识别正方形是特殊的长方形，等腰梯形是特殊的梯形，并且可以用集合图分别表征它们之间的包含关系，图形语言转换为图形语言。分类过程中理解长方形和正方形特征相同点和不同点，区分四条边相等与对边相等包含关系，概念水平达到程序阶段，能够初步抽象出两个概念的从属关系。还需要提示学生从角的大小关系（直角和非直角维度）对比识别图形之间的异同。
水平三，学生能够观察、操作图形，结合图形特征，从两组对边平行、角的大小度数不同，找到平行四边、长方形、正方形之间的关系，画出三个图形之间从属关系的集合图，并通过实物操作进行角度大小变形，把平行四边形框架拉直转化为长方形，说出两个实物图形相互转化的过程中周长不变；学生通过阅读名称直角梯形、等腰梯形，找到它们都属于梯形，从角的特殊性分出直角梯形，从边的相等关系上分出等腰梯形。图形语言转换为文字语言，概念学习水平达到对象阶段。厘清概念内涵关系，教师还需要加强学生学习成果交流辨析，建构概念系统性关系。
水平四，学生能清楚地分析平行四边形、长方形、正方形之间是从属关系；等腰梯形和直角梯形是并列关系，平行四边形和梯形之间是并列关系；具有并列关系的两类图形都属于四边形， 它们和四边形之间是从属关系。学生还结合生活经验举例解释，四边形相当于四（1）班集体，四（1）班集体中的成员可以按组系分类：大组→小组→成员，它们之间是从属关系；四（1）班集体还可以按学生性别分类，学生→男生和女生， 它们之间先是从属关系， 再是并列关系。生活事例与数学概念建立一一对应关系，学生能够正确厘清四边形是梯形的上位概念， 平行四边形与梯形是并列关系，文字语言转换为新的文字语言，很好地建构概念体系图（如图 2），概念学习水平达到图式阶段。
概念学习理解水平层次，可以记录学生课堂真实表现并对其进行增值性评价，教师的教是设计合理的学习任务（或任务群），组织学生自主进行整理分类，收集学生学习结果，进行分值量化（按水平层次分别记1分、2分、3分、4分），分析影响学生概念理解水平背后的原因，包括学习方法、思维方式，强化数学语言转换促进概念理解水平的作用。课堂交流重点观察每一位学生对概念理解水平过程之间转化情况，保证评价对不同学生都有增值的效能。也可以在学习结束后，呈现概念体系图（图2），学生对照自己的学习结果进行自我评价，思考自己的学习状态，改进和完善自己的学习策略，通过自我评价激发学习动力，提高元认知水平，更好地建构概念体系，发展高层次思维水平。
概念学习五个过程中，教师采用不同的教的策略，提供恰当直观背景，合理把生活问题“数学化”，设计不同问题链、任务群，建构知识体系图等，都很好促进和干预活动阶段、程序阶段、对象阶段、图式阶段中内化、压缩、解压等心理机制的转化。学生在感知、抽象、辨析等活动中展开自主学、合作学、评价学，借助数学语言转换很好地实现从操作—程序—对象—图式的转化。各环节能够客观评价自我、同伴真实的学习水平，反思和改进学习策略。教学评一致性目标指向评价学习效果，改进教学策略，落实核心素养得以达成。
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