教隐藏在知识背后的知识

教材往往将数学知识以例题的形式呈现，按由浅到深、由易到难、螺旋上升的原则进行编排。教材在呈现知识时往往借助问题情境，以对话的形式较为详细地呈现一般的思考过程及解题步骤、答案，让教师一看就知道教什么，学生也能独立学习。教材内容往往以一个个知识点散状排列，没有以结构化方式呈现；教材呈现的内容往往是显性知识，无法呈现知识背后的数学本质。这反映出教材编排的局限性。但是，教与学却不能停留在知识的浅层、表层，有时还要将隐藏在知识背后的知识呈现给学生。

那么，什么是隐藏在知识背后的知识呢？以人教版《数学》五年级下册“分数的意义”一课为例，这节课是在分数初步认识的基础上进行学习的。从第一阶段的学习过渡到第二阶段的学习，平均分的对象从原来一个物体或一个图形过渡到由一些物体组成的整体；平均分的理解也从形状、颜色、大小的平均分抽象到数量的平均分，不再强调组成这个整体的个体是否完全相同，只要每份分得的数量相等即可，这是对平均分的再认识。然而，遗憾的是教材上对此没有涉及，教学参考书上也找不到相关内容。但是，这样的知识点恰恰是学生思维的碰撞点，是学生进行审辩式思维的好素材，也就是隐藏在知识背后的知识。笔者曾在处理平均分的再认识时现场向学生借了8支笔，再请学生拿出这8支笔的1/4。学生迅速将8支笔分成了4份，拿出其中1份（2支），且全班学生都表示赞同。稍作停顿，学生在仔细观察这8支笔后便会改口，理由是这些笔的长短、粗细都不同，不属于平均分，不能用1/4表示，且多数学生对此观点予以附和。赞同的学生则认为，它们都是笔，属性相同，且支数相同，就是平均分，可以用1/4表示。笔者紧紧抓住这两种完全不同的观点，引导学生展开辩论。当辩论到多数学生赞同时，教师开始介入，以家庭总人数为例作说明，即计算家庭人数时，是不考虑家人年龄、性别、高矮、胖瘦的；同理，以班级人数这一真实情境为例，将全班分成人数相同的4个小组，则每个小组人数占全班总人数的1/4，也是不用考虑同学性别、高矮、胖瘦等非本质因素的。这样，借助辩论、联系生活实际，达到对平均分的进一步认识。

在“隐藏在知识背后的知识”这句话中，前一个知识是显性的、看得到的，后一个知识是隐性的、看不到的。前者在知识的浅层或表层上，后者在知识的深层或内核处。后者对前者进行补充，学生才能看到并形成一个完整的知识结构。教师“教”隐藏在知识背后的知识，学生才有可能“学”隐藏在知识背后的知识。只有这样，才能让学生真正从“在知识外围打转”走向对知识内核的深度思考，构建知识的整体性、系统性与内在联系。

如何让学生体会到隐藏在知识背后数学知识的价值呢？下面，以章勤琼教授执教的一年级数学课“小明的一天”为例，谈谈如何基于学生视角感受教隐藏在知识背后的知识的价值。课前，学生已经认识了整时，知道钟面上分针指向12时，时针指向几就是几时。上课伊始，教师让学生在钟面上表示出8时。学生先将圆形钟面等分成12个大格，分别写上1～12各数，然后画出时针指向8，分针指向12，表示8时。那么，为什么8时时分针要指向12呢？为了让学生明白这背后的道理，教师提问：谁能在钟面上找到第13个数？通过寻找，学生发现躲在12背后的这个数是“0”。钟面上8：00，时针指向8，分针指向12即指向0，0是隐藏在12后面的数，有了0，分针再顺时针走1小格，钟面显示的就是8：01，学生就能很好地理解了。同理，当分针指向12时，它是一个小时的结束，找出的背后的0就是下一个小时的开始。24时记时法也是如此，时针走完24小时，指向12这个数时，它是一天24小时的结束，背后的0告诉我们它也是第二天的开始。找出钟面上12这个数背后的0，就打通了时间的循环。

教隐藏在知识背后的知识，需要教师在备课时能挖掘出、寻找到隐藏在知识背后的知识，并在此处展开教与学；教隐藏在知识背后的知识，需要教师具备扎实地、创造性地处理教材的能力；教隐藏在知识背后的知识，需要教师准确把握学情，在教材与学生之间架起一座桥梁。

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