导读
10月31日，2022年达摩院青橙奖揭晓，国内15位不同研究领域的青年学者脱颖而出。
来自上海数学中心的周杨是今年“青橙奖”的获得者，周杨从小对数学感兴趣。在他看来，“数学研究像是大自然出的一道题，没人限制你怎么解”。
对于此次获奖，周杨表示，“我能够在数学这座壮美的大山中不断攀登，并有幸做出一点属于自己的小结果，离不开恩师与同学、同事的帮助，以及家人朋友们的支持。“
周杨（上海数学中心）| 撰文
我的研究领域是基础数学中的代数几何，具体的研究方向是枚举几何，特别是Gromov-Witten理论，也涉及更一般的模空间的问题。经典的枚举几何研究的是如何计算满足一定条件的几何对象的数目，这是数学中最古老的领域之一。古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（Apollonius, 公元前240-190年）研究了平面上与给定的三个圆相切的圆的个数。这大概是最早的枚举几何问题。
近几十年来，由于数学物理的发展，这个领域出人意料地重新焕发了生机，成为了非常热门的领域。物理学家利用一些难以在数学上严格证明的“原理”，成功地预言了许多经典的枚举几何难题的答案。不仅如此，理论物理的发展还预示着，不同的枚举几何问题的答案不仅仅是一些孤立的数字，而是组成了更复杂更深刻的结构。我的研究与数学物理，特别是超弦理论有一定的交叉。但我主要还是用代数几何的工具，从纯数学的角度来研究。
01
我的脑袋是实验室，大部分时间都在尝试失败
2022年，我最主要的一篇文章正式发表在Inventiones mathematicae上，文章的标题是Quasimap wall-crossing for GIT quotients。在论文中，我证明了几何不变量商空间的拟映射不变量的穿墙公式。
简单地说，Gromov-Witten理论通过“数”从黎曼曲面到高维流形的映射数目来定义流形的不变量。拟映射不变量是Gromov-Witten不变量的推广。对很大一类流形，可以构造一族拟映射理论，被一个参数ϵ来代表。只有当ϵ越过一些特殊值时，理论才会发生变化，这被称为穿墙现象。当ϵ越过很多墙，最终趋于无穷时，就会回到Gromov-Witten理论。而随着ϵ越来越小，黎曼面的“有理尾巴”越来越少。所以穿墙公式表示出了“有理尾巴”对Gromov-Witten不变量的贡献。在可以具体计算的情形中，穿墙公式恰好等于超弦理论中镜对称原理里的镜映射。
在我的工作之前，穿墙公式只在一些特殊情形被证明。这些证明用到了具体流形的特殊的性质，例如特殊的对称性，或者其拟映射的不变量的特殊构造。而我希望找到统一的几何证明，这会给穿墙公式一个几何解释。我一开始就坚信这样的证明应该存在。
我的博士论文也是关于枚举几何中的穿墙现象的，但是要简单很多。我博士论文中的技术，已经可以用来处理仅有一个“有理尾巴”的情况了。但当“有理尾巴”的数目比较多的时候应该如何处理，却困扰了我很久。
在很长的时间里，我一直处于一种求之不得、辗转反侧的状态。我感觉到一定有那样一个我想要构造的东西存在，却抓不住它，看不清它的细节。我需要把正确的构造“猜”出来，所以我只能不断地在大脑中尝试各种可能性。不仅计算机帮不上什么忙，甚至拿起笔来，也很难作具体的计算。大部分时间我就只能全神贯注地苦思冥想，要么是在校园里踱步，要么是躺在办公室的沙发上，等待着灵感的到来。
我大部分时候都是在尝试失败。某次讨论班后聚餐，我边吃边想，突然感觉到自己找到了正确的构造。聚餐结束后，异常激动的我立即以最快的速度骑车飞奔到办公室，把刚刚得到的想法写下来，但很快便发现构造出的并不是我想要的空间。事实上，这和我最终的构造相去甚远。
终于，我在听师兄的一个报告时受到了启发，引入了一个关键构造，我将其称为“纠缠的有理尾巴”。它可以让多条有理尾巴“纠缠”起来，表现得像一条。得到灵感后，我快速检查了几个我需要的性质，发现都能够对得上，感觉整个世界一下子变得特别晴朗。虽然当时还没有仔细地检查证明的逻辑细节，但我很确信这就是我一直众里寻他千百度的那个构造。
02
数学研究像是大自然出的一道题，没人限制你怎么解
数学最吸引我的地方在于，虽然它的研究对象看起来虚无飘渺，但总有那样一个个精巧的结构在那里等着人们去发现。对我来说，那一个个精巧的结构是真实存在的，而且毫无瑕疵，永恒不变。所以我有点强迫症，一个证明总要写很多遍。直到找到一个我认为最简约、最优美的证明，我才会满意。
比起其他学科，数学研究大概是更接近于“做题”的。但是这种“题”和那种人为凑出来的，用来考试的题目完全不同。数学研究里的题目没有出题人，相当于是大自然给我们出的题目，甚至题目本身都等着我们去发现。考试的题目往往有预定的标准答案和解题套路，需要解题人用限定的时间，在划定好的范围内，找到最省力的解法。而在数学研究中，我们需要解决的是前人从未解决过的问题，并没有人限制我们的方法和思路。我们可以有充分的时间来慢慢理解这个问题，发挥创造性，引入一些新概念、构造、甚至一套理论，来探索出一条新的道路。
我认为数学很有意思的地方在于，它并不是一堆死气沉沉的逻辑，而是有“反馈”的。实验学科通过实验，可以得到大自然的反馈。数学研究中的反馈要更微妙。在做那种人为设计的习题时，如果算出一个非常复杂的数，那我就知道自己大概是算错了，不过也有可能是出题人没有把数凑好。但是大自然出的题目，比起人为凑出的题目，要精妙无数倍，而且没有题目出错的可能性。
例如，当我找“纠缠的有理尾巴”的灵感之后，其实还有非常多的细节需要补充。这花了我一两年的时间，最终形成了80页的文章。但有意思的是，因为我找到了正确的构造，每遇到一个看上去非常不显然的小结论，我需要它成立的时候，都正好能够过得去。那种感觉真的非常奇妙。
03
从小就对数学感兴趣，数学契合我的思维模式
我从小就对数学比较感兴趣。小时候倒没有参加过什么重大比赛，但是我特别喜欢自己想一些问题，看一些课外的东西。比如我曾有一本小本子，专门记录自己的一些想法。我的中学的图书馆有一些大学数学教材，我对其非常感兴趣，便自己拿来看。虽然不得章法，但还是有幸遇到了几本好书，受益匪浅。
中学时我兴趣比较广泛，除了数学之外，还看了好多物理和计算机的书。刚上大学时，我对数学研究是什么样子的一无所知。选专业时，我也曾经考虑过学物理或者计算机。出于先打好数学基础的想法，我加入了浙大的丘成桐数学班。学了数学之后才发现，数学确实契合我的思维模式。回过头来看，我的思维模式一直是抽象的、形式化的、追求逻辑严密性的，我的真正兴趣所在一直是数学。
本科时，我有幸参加了黄兆镇老师组织的讨论班，也由此认识了一批同样有志于研究数学的同学。黄老师的奉献精神以及同学们对数学的热爱彻底点燃了我学习数学的激情。读研究生时，我的导师李骏手把手教会了我怎样一步步迎难而上地解决新问题，帮助我完成了从一个数学学习者到研究者的转变。后来我又有幸在丘先生那里做了三年博后，扩展了我的视野。我衷心地感谢他们。
04
那个我最想解决的代数几何问题，我想另辟蹊径
未来，我最想解决的问题是，希望对高亏格的不变量有更深的理解，最好是通过更加几何的方法可以将高亏格联系到低亏格。关于这个问题，物理学上有很多的猜测，例如费曼求和公式，Virasoro猜想等。前者目前在数学界已经有了相当多进展。一方面，我希望学习这些进展并添砖加瓦；另一方面，我内心深处还是梦想着能另辟蹊径，从别的角度给出几何解释。
此外，我希望自己能够做得更广泛一点。上海数学中心有很多各领域的年轻学者，充满活力。我希望能够跟他们多学一些东西，让自己的视野更宽广一些，扩展自己的研究领域。学东西的时候是比较轻松愉悦的。科研常常被卡住，而学东西是欣赏别人已经打磨了很久的优美杰作。学习是贯穿终身的，毕竟我自己做的东西比起那些大师们做的东西，还是有很大很大差距的。所以我希望能够学到他们的技术，理解他们的思想，这也是非常享受的一个过程。
转自：“深究科学”微信公众号
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