张卜天数学领域最新译作！
英国数学家、科普作家伊恩·斯图尔特代表作之一！
豆瓣评分9.1的数学类科普名作！
《现代数学的概念》现已上市！
作者简介
伊恩·斯图尔特(lan Stewart.1945-)，英国数学家、科普和科幻作家，英国华威大学数学荣誉教授，因其大量优秀的数学科普作品而享誉世界。著书 60 多种，包括《给年青数学人的信》《自然之数》《对称的历史》《如何切蛋糕》《上帝掷骰子吗》，等等。
译者简介
张卜天，中国科学技术大学物理学学士，北京大学科技哲学博士，清华大学科学史系教授，研究方向为西方中世纪和近代科学思想史。精通科学史与哲学史翻译，译有60余部著作。其译文优美流畅，广受读者好评。
当你看到这个题目，可能会产生以下疑问：
到底什么才是现代数学？
伊恩·斯图尔特说：“现代数学”旨在鼓励人们理解数学，而不是盲目操纵符号。真正的数学家摆弄的不是数而是概念。
这些曾让你头疼欲裂的概念：
倍觉恐惧的图形：
枯燥乏味的公式：
有没有可能只是因为你没有搞清它背后的思维逻辑？
《现代数学的概念》解决的正是这个问题——
用生动有趣的语言和案例：
“你无法通过告诉一个孩子什么是数来教他计数，而会向他展示出现数的事例：两条狗、两个苹果、两本书、……。他逐渐注意到，“二性”这种性质是所有这些例子所共有的。这样他便形成了“数”的概念。”
……
“在寒冷的清晨，一个生物醒来，发现所有右手手套都找不到了，只找到了左手手套。这只足智多谋的莫比乌斯生物拿起一只手套，带着它围绕莫比乌斯带转了一圈……”
……
“我们允许集合只有一个元素，正是出于同样的理由，我们也必须允许集合一个元素也没有。据我所知，“目前居住在贝克斯希尔的所有独角兽”就是这样一个集合。
没有元素的集合被称为空集。（想想一个空的塑料袋。）”
……
“在这个意义上，对这个中心体的任何数学的应用都是对整个数学的应用。如果你坚持认为数学是通过提供应用来证明自己的正当性的，那么对一个部分的应用就能证明整体的正当性了。我们不能仅仅因为小提琴手拉琴时用不着脚就砍掉他的脚；同样，我们也不能仅仅因为群论不能付房租就抛弃它。”
……
200幅简洁直观的示意图：
带你透过困难重重的表象，理解数学的本质：
著名的英国数学家斯图尔特用清晰流畅、幽默风趣的语言阐明了群、集合、子集、拓扑、布尔代数等“新数学”的基本概念，他认为理解这些概念是把握数学真正本质的最佳途径。
此外，作者还对函数、对称、公理学、计数、拓扑学、超空间、线性代数、实分析、概率论、计算机、现代数学的应用等主题作了发人深省的讨论。
读者无需任何高等数学背景，只需对代数、几何和三角学略知一二，便可读懂本书的大部分内容。读罢此书，你会更清楚地理解现代数学家对图形、函数和公式的看法，以及“新数学”的基本思想如何有助于领会数学的本质。
当你读完本书，可能就找到了这些问题的答案：
为什么任何平面地图都可以用四种颜色着色？
现实中没有的空间就真的不存在吗？
《三体》中的高维空间是什么意思？
数学中最有用的集合为什么是“空集”？
学好数学能不能赚钱？
……
目录
第一章数学概论
抽象性和一般性
直觉和形式主义
图形
为什么？
第二章没有运动的运动
翻转欧几里得
反对运动的论证
对运动的修正
刚性
平移、旋转、反射
回到那个定理
第三章高等算术的捷径
小规模的算术
同余
除法
两条著名定理
第四章集合的语言
空集
子集
并集和交集
补集
几何学作为集合论
第五章什么是函数？
关于公式
更一般的函数
函数的性质
总结
第六章抽象代数初步
环和域
应用于几何作图
再谈同余
一种引入复数的方法
第七章对称性：群的概念
群的概念
子群
同构
图案分类
第八章公理学
欧几里得的公理
一致性
模型
为欧几里得辩护
其他几何学
第九章计数：有限和无限
无限算术
大大小小的无限
超越数
第十章拓扑学
拓扑等价性
一些不寻常的空间
毛球定理
第十一章间接思考的力量
网络
欧拉公式
非平面网络
另一项应用
第十二章拓扑不变量
欧拉公式的推广
构造曲面
标准曲面的欧拉示性数
对曲面分类
对断言A的证明
对断言B的证明
曲面上的地图着色
第十三章代数拓扑
孔、路径和圈
同伦
圆的基本群
射影平面
第十四章进入多维空间
多胞形
四维图
堆放截面
24 维空间中的宇航员
欧拉公式的进一步推广
更多代数拓扑
第十五章线性代数
一个问题
一种几何观点
模式线索
矩阵
一种抽象表述
第十六章实分析
无限求和
什么是极限？
完备性公理
连续性
证明分析中的定理
第十七章概率论
组合概率
进入集合论
独立性
悖谬的骰子
二项偏差
随机游走
第十八章计算机及其用途
二进制记数法
一台滚珠计算机
计算机的结构
编写程序
计算机的用途
第十九章现代数学的应用
如何将利润最大化
八重道
突变理论
第二十章基础
害群之马（半黑的绵羊）
两种补救措施
希尔伯特纲领
哥德尔数
对哥德尔定理的证明
不可判定性
尾声
附录它仍在移动……
四色定理
多项式和质数
混沌
真实的数学
现在就让我们来做一个数学游戏吧！
尝试一下，你可以纯粹地描述一个数字吗？不带计量单位的那种。
你无法通过告诉一个孩子什么是数来教他计数，而会向他展示出现数的事例：两条狗、两个苹果、两本书、……。他逐渐注意到，“二性”这种性质是所有这些例子所共有的。这样他便形成了“数”的概念。
数是集合的性质。有两个元素的是苹果或狗的集合，而不是任何个体的苹果或狗。我们计数的不是一个对象，而是对象的集合。数学家在思考究竟什么是数时，发现了这个事实。他们还意识到，说两个数何时相同要比说它们是什么更容易。
如果一个孩子有两只杯子，每只杯子都位于各自的杯碟上，那么某一时刻他会意识到，他必定也有两只杯碟。玩抢座位游戏时，如果有7位玩家和6个座位，就会有人没有座位。如果一位剧院经理看到剧院里的每个座位正好坐着一个人，他就知道人数和座位数完全相同。他无需知道有多少个座位就能知道这一点。
这意味着“相同的数”的概念并不依赖于“数”的概念。同样，你可以在不知道长度的情况下把两根绳子并排放置，以判断它们是否长度相同。或者，你可以用一个梁式天平来判断两个物体是否有相同的重量。在所有这三种情况下，说两个给定对象何时具有相同的性质，要比一般地说这种性质是什么更容易。你只需要知道如何就这种（尚未定义的）性质对对象进行比较。
就长度或重量而言，不难确定比较的方法。那么“数”呢？
让我们回到剧院座位上的人的例子。为了确保数完全相同，我们需要知道：
（1）每个人坐一个座位。
（2）每个座位坐一个人。
如果设S是座位的集合，P是人的集合，那么对于每个人p∈P，可以定义f（p）∈S为他所坐的座椅。于是，f：P→S是一个双射（一一对应）。首先，f符合我们对函数的定义：其定义域是P，目标域是S。由（1）可知，为p指定f（P）的规则是明确的。f是满射，因为由（2）可知，每个座位坐一个人；也是单射，因为同样由（2）可知，每个座位只坐一个人。
通常，当且仅当两个集合之间存在一个双射时，它们才有相同数目的元素。这种情况如下图所示。
为了避免语言上的问题，我们说，如果两个集合之间存在一个双射，则它们等势。这与“相同的数”有相同的含义，但它更清楚地表明，我们不需要知道数是什么。我们可以按照把整数集Z切分成同余类的方法，把所有集合的集合切分成类，使得两个集合等势当且仅当它们处于同一个类中。每个类可以通过给出它的一个成员来指定。包含{a，b，c，d，e}的类也将包含与{a，b，c，d，e}等势的每一个集合，而这些正是有5个元素的集合。这种情况如下图所示。
在这个意义上，数5由以下两条来指定：
（1）给出某个集合，声称它有5个元素；
（2）声称与给定集合等势的任何集合也有5个元素。
事实上，正如弗雷格（Frege）所指出的，这里的情况非常奇特。我们无法定义“数”这个神秘而奇妙的概念。存在着一个非常务实的概念，即一个给定的集合所属的类。两个集合有相同的数，当且仅当它们属于相同的类。由此可知，如果知道了关于类的一切，就会知道关于数的一切。
——选自《现代数学的概念》第九章计数：有限和无限
转自：“商务印书馆学术中心”微信公众号
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